【文章內容簡介】 1( ) ( )[ ( ) ]21 ()21 ( ) * ( )2j j j nnjjjjY e H e x n e dH e X e dH e H e?? ? ? ??? ? ? ?????????? ??? ? ??????????()()1( ) ( )[ ( ) ]21 ()21 ( )* ( )2j j j nnjjjjY e H e x n e dH e Xe dH e H e?? ? ? ??? ? ? ?????????? ??? ??????????? x ()()1( ) ( )[ ( ) ]21 ()21 ( ) * ( )2j j j nnjjjjY e H e x n e dH e X e dH e H e?? ? ? ??? ? ? ?????????? ??? ? ? ????????()()1( ) ( )[ ( ) ]21 ()21 ( )* ( )2j j j nnjjYe He xne dHe Xe dHe He?? ? ???? ? ??????????? ??? ???????????X( ) ()()1( ) ( )[ ( ) ]21 ()21( )* ( )2j j j nnjjY e H e x n e dH e Xe dH e H e?? ? ? ??? ? ? ???????? ??? ???????????e 序列的傅里葉變換的定義和性質 7. 帕斯維爾 Parseval定理 222**1( ) (21( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) )]2jnj j nn n nx n x e dx n x n x n x n X e e d? ??? ?????????? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ????? ?? ? ? ?222**1( ) (21( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) )]2jnj j nn n nx n x e dx n x n x n x n X e e d? ??? ?????????? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ????? ?? ? ? ?222**1( ) (21( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) )]2jnj j nn n nx n x e dx n x n x n n X e e d? ??? ????????????? ? ????? ??? ????? ?? ? ? ?） 定理說明 ： 信號時域的總能量等于頻域中的總能量。 2*1 ( ) ( )211( ) ( ) ( )22j j nnj j jX e x n e dX e X e d X e d? ?????? ? ?????????? ? ? ??????????2*1 ( ) ( )211( ) ( ) ( )22j j nnj j jX e x n e dX e X e d X e d? ?????? ? ?????????? ? ? ??????????證明： 周期序列的離散傅里葉級數及傅里葉變換表示式 周期序列 不滿足絕對可和條件 ，其 FT是不存在的，由于具有周期性，可展開成離散傅里葉級數，當引入 奇異函數 ?，其 FT可用公式表示 。 1. 周期序列的離散傅立葉變換 (DFS變換 ) 設 是以 N為周期的周期序列 ， 可展成傅里葉級數的形式： 式中 ak是傅里葉級數的系數 ， 為求系數 ak， 將上式兩邊乘以 ， 并對 n在一個周期 N中求和 ~()xn2~() j k nNkkx n a e??? ? ?? ?2j mnNe?? 周期序列的離散傅里葉級數及 傅里葉變換表示式 k和 n均取整數， 當 k或者 n變化時， 是周期為 N的周期函數，所以系數 也是周期序列， ak=a k+lN，令： 式中 : 因此 : 21 ~01 ()N j kmNkna x n eN ?? ??? ?n 21 ~01 ()N j kmNkna xneN?? ????2~() j k nNkkx n a e??? ??? ?2 2 21 1 1~ ()0 0 021 ()0( ) [N N Nj mn j mn j k m nN N Nkkn n k k nN j k m nNnx n e a e a ee? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? ? ? ? ??] [ 2 2 21 1 1~ ()0 0 021 ()0( ) [N N Nj mn j mn j k m nN N Nkkn n k k nN j k m nNnx n e a e a ee? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ??? ?? ??????? ? ? ? ??2 2 21 1 1~ ()0 0 021 ()0( ) [N N Nj mn j mn j k m nN N Nn n k k nN j k m nNnx n e a e a ee? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? ? ? ??2 2 21 1 1~ ()0 0 021 ()0( ) [N N Nj mn j mn j k m nN N Nn n k k nN j k m nNnx n e a e a ee? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ??? ?? ??????? ? ? ? ??,0,N k mkm??2 2 21 1 1~ ()0 0 021 ()0( ) [N N Nj mn j mn j k m nN N Nkkn n k k nN j k m nNnx n e a e a ee? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ??? ?? ??????? ? ? ? ??2 21 1 1~ ()0 0 021 ()0( ) [N N Nj mn j mn j k m nN N Nkkn n k k nN j k m nNnx n e a e a ee? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ????? ? ? ??∞k∞ n 21~01 ()N j k mNkna x n eN?? ??? ????????? ???ke)n(x~Na)k(X~ knN2j1N0nk?周期序列的離散傅里葉級數 周期序列的離散傅里葉級數及 傅里葉變換表示式 周期序列離散傅立葉反變換 (IDFS變換 ) 如上式兩端乘以 ， 并對 k在一個周期中求和 ， 得到 2j klNe ????? ?????????????????????1N0k)nl(kN2j1N0nklN2j1N0kknN2j1N0n1N0kklN2je)n(x~ee)n(x~e)k(X~?????????1N0k)nl(kN2je?N， k = n 0， k ≠ n 由于： ??????? ??????? 10210)(2 )(~1)(~ 。 ,0。, NkknNjNnknlNj ekXNnxnlnlNe ?? 得代入由于 周期序列的離散傅里葉級數及 傅里葉變換表示式 總結： 一個周期為 N的周期序列 DFS變換對 為 意義 ： 表明將周期序列分解成 N次諧波， 第 k個諧波 頻率為ω k=(2π/N)k ， k=0, 1, 2 … N1，幅度為 ， 基波分量 的 頻率是 2π/N ， 幅度是 ~(1 / ) ( )N X k~(1 / ) (1)NX一個周期序列可以用其 DFS表示它的 頻譜分布規(guī)律 。 ? ? knN2j1N0ne)n(x~)n(x~D F S)k(X~???????? ? knN2j1N0ke)k(X~N1)k(X~I D F S)n(x~???? ?? 周期序列的離散傅里葉級數及 傅里葉變換表示式 [例 1] 設 x(n)=R4(n)， 將 x(n)以 N=8為周期 ， 進行周期延拓 ， 得到如圖所示的周期序列 ， 周期為 8， 求 的 DFS。 解 ： 按照 DFS變換公式 ~()xn ~()xn273~~8 4004444 2 2 24 8 8 8( ) ( )111 ( )1 ()j k n knnnjkjkj k j k j kjkj k j k j k j kX k X n e eeee e e ee e e e? ???? ? ?? ? ? ?? ??????????? ? ????????? ???38si n2si n8jkkek?????幅度特性表明周期序的 DFS : (1) 與 N有關 ； (2) 在頻域中是個 離散的周期序列 273~~8 4004444 2 2 24 8 8 8( ) ( )111 ( )1 ()j k n knnnjkjkj k j k j kjkj k j k j k j kX k X n e eeee e e ee e e e? ???? ? ?? ? ? ?? ??????????? ? ??????????? ???j 周期序列的離散傅里葉級數及 傅里葉變換表示式 周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統中 ， 的 傅里葉變換 是在 Ω=Ωo處的單位沖激函數 ， 強度是 2π， 即 在 時域離散系統 中 ， 對于 x(n)=e jω on， 2π/ω o為有理數 ， 其 FT也是在 ω=ω 0處的單位沖激函數 ， 強度為 2π ， 由于 n取整數 ，下式成立 0() jtax t e ??00( ) [ ( ) ]2 ( )jt jtaaX j FT x t e e dt??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?00( ) [ ( ) ]2 ( )jt jtaaX j FT x t e e dt??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?00 ( 2 ) ,j n j r ne e r? ? ???r取整數 00( ) [ ] 2 ( 2 )jnjrX e F T e r?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? 則： 在 ω 0＋ 2πr 處的單位沖激函數 周期序列的離散傅里葉級數及 傅里葉變換表示式 對于一般周期序列 ，其離散傅里葉級數為： 對其進行傅