【正文】 ）作圖表循環(huán)卷積與線性卷積的性質(zhì)對比循 環(huán) 卷 積 線 性卷 積是 針對 FFT引出的一種 表示方法信號通 過線 性系 統(tǒng)時 ，信號 輸 出等于 輸 入與系 統(tǒng)單位沖激響 應(yīng) 的卷 積兩序列 長 度必 須 相等 ，不等 時 按要求 補 足零 值點 。所以 直接對 ()式兩邊進行 DFT如果 X2(k)=DFT［ x2(n)］lN2h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積?！“凑帐剑?）寫出 h(n)與 x(n)的4點循環(huán)卷積矩陣形式為：h(n)與 x(n)的 8點循環(huán)卷積矩陣形式為第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)h(n)和 x(n)及其 4點和 8點循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖 ?l第 1行以后的各行均是前一行 向右循環(huán)移 1位形成的。L－ 1］的序列值再從左邊移進。依次類推，當(dāng) n和 m均從 0變化到 L1時，得到一個關(guān)于 x((n－ m)L的矩陣如下： ==x(0)… ,m=0,… ,1,第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　當(dāng) n　其中X(k)=DFT[x(n)]N　 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)x(n)及其循環(huán)移位過程M=6,?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 移位　這里包括三層意思：設(shè) x(n)為 長度 M的 序列， M≤N ，則 x(n)的循環(huán)移位定義為1)將 x(n)周期延拓2)移位3)取主值運行結(jié)果 % 計算 xn的 32點 DFT?　 % 以下為繪圖部分（省略）程序運行結(jié)果如圖 。1調(diào)用 fft函數(shù)求解本例的程序 :? 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 %分別計算 X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上的 16點和 32點等間隔采樣，并繪制 X(ejω)采樣的幅頻特性圖和相頻特性圖。當(dāng) N小于 xn的長度時， fft函數(shù)計算 xn的前面 N個元素構(gòu)成的 N長序列的 N點 DFT，忽略 xn后面的元素。fft第二種物理解釋（物理意義）： X(k)實質(zhì)上是x(n)的周期延拓序列 x((n))()()()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)表明： 有限長序列 x(n)的 N點離散傅里葉變換X(k)正好是 x(n)的周期延拓序列 x((n))N的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)　　的主值序列。()式僅對N≥M時成立。? 　　　　　　　　　　　　　　 ? 　　　　　　 式中 x((n))的一個周期， 實際上， 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)同理： 其 Z變換和 DFT分別為：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l()式表明： 序列 x(n)的 N點 DFT是 x(n)的 Z變換在單位圓上的 N點等間隔采樣 。N=4 0≤n≤N1IDFT［ X(k)］ =x(n),為整數(shù) 設(shè) x(n)是一個長度為 M的有限長序列， 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 離散傅里葉變換的定義 DFT之所以更為重要，是因為其 實質(zhì)是有限長序列傅里葉變換的有限點離散采樣 ， 從而實現(xiàn)了頻域離散化，使數(shù)字信號處理可以在頻域采用數(shù)值運算的方法進行，這樣就大大增加了數(shù)字信號處理的靈活性。因為從數(shù)字計算角度計算角度 ,我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況我們感興趣的是時域及頻域都是離散的情況離散和周期 周期和離散第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 傅里葉變換和 Z變換是數(shù)字信號處理中常用的重要數(shù)學(xué)變換。頻率域采樣對于有限長序列，還有一種更為重要的數(shù)學(xué)變換，即離散傅里葉變換 (Discrete更重要的是， DFT有多種快速算法，統(tǒng)稱為快速傅里葉變換(Fast則定義 x(n)的 N點離散傅里葉變換為因為 0=m=N1,且 n=0所以 M只能取值 0第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)證明：所以， 復(fù)正弦序列的正交性例 x(n)=R4(n)解：變換區(qū)間 N=8， l()式則說明： X(k)為 x(n)的傅里葉變換 X(ejω)在區(qū)間［ 0,任何周期為 N的周期序列 即第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)一般稱周期序列　　中從n=0到 N－ 1的第一個周期為　　的 主值區(qū)間 ，而主值區(qū)間上的序列稱為　　　的 主值序列 。N表示 x(n)以 N為周期的周期延拓序列，((n))N表示模 N對 n求余?！　?現(xiàn)在解釋 DFT［ R4(n)］ 4=4δ(k)。N的頻譜特性。(xn, ? 用 MATLAB計算序列的 DFT　 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 【 例 】 　　　　 解： 例 ?　 %1］ 。% 計算 xn的 16點 DFT?　 Xk32=fft(xn, ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 如果 x1(n)和 x2(n)是兩個有限長序列，長度分別為 N1和 N2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)??式中， a、 b為常數(shù)，取 N=max［ N1,線性性質(zhì) 　　 ? 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) ? ?Y(k)=DFT[y(n)]N=aX1(k)+bX2(k)0≤k≤N－ 1　　　　　　　　　　　　　　　　 循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)n0 51)周期延拓n0……2)左移 2n0……主值區(qū)間取 N=8n03)取主值N1l　 循環(huán)移位的實質(zhì)是 將 x(n)左移 m位，而移出主值區(qū)(0≤n≤N － 1)的序列值又依次從右側(cè)進入主值區(qū)。N=8,由于上式中求和項 　　　　　　 以 N為周期，因此對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。循環(huán)卷積定理 ? 　　　 1. 兩個有限長序列的循環(huán)卷積 ? 　　式中， L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度 ， L≥max［ N， M］。=x(1),x(L－ 1)}。的后面。2,0,… ,令 nm1,L1，由 x((nm))L形成的序列為　 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)稱為 x(n)的 L點 “循環(huán)卷積矩陣 ” ?l矩陣的各主對角線上的序列值均相等。按照上式，可以在計算機上用矩陣相乘的方法計算兩個序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。計算下面給出的兩個長度為 4的序列 h(n)與 x(n)的 4點和 8點循環(huán)卷積。(a)、 (b)、 (c)和 (d)所示。 有限長序列 x1(n)和 x2(n)，長度分別為 N1和 N2， ］。X(k)=X1(k)令 nm=n′， 循環(huán)卷積亦滿足交換律 :兩序列 長 度可以 不等 。則X1(k)=DFT［ x1(n)］ ?X2(k)=DFT［ x2(n)］ 0≤k≤N13 .頻域循環(huán)卷積定理 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)()()()有限長共軛反對稱序列： DFT的共軛對稱性 1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列表明： 有限長序列共軛對稱序列是關(guān)于 n=N/2點對稱。()并取復(fù)共軛，得：() ?　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)設(shè) x(n)是長度為 N的實序列， X(k)共軛對稱，即l　　 X(k)=X*(Nk)k=0,()l(3)奇數(shù)時，計算 X(k)的前面 (N+1)/2點，其他點按照 X(k)=X*(Nk)即可求得?！?這樣可以減少近一半運算量。 　　 ??解　構(gòu)造新序列 x(n)=x1(n)+jx2(n)，對 x(n)進行 DFT，得到：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)?? 所以，由 X(k)可以求得兩個實序列 x1(n)和 x2(n)的 N點 DFT：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l時域采樣定理告訴我們，在一定條件下，可以由時域離散采樣信號恢復(fù)原來的連續(xù)信號。且 X(z)收斂域包含單位圓 (即 x(n)存在傅里葉變換 )。上式表示在區(qū)間［ 0,0≤n≤N1第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)1()()說明： X(z)在單位圓上的 N點等間隔采樣 X(k)的 N點 IDFT是原序列 x(n)以 N為周期的周期延拓序列的主值序列。在頻域 0~2π之間等間隔采樣 N點， 帶入上式， 上等間隔 16點采樣 X16(k)。　　 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)MATLAB求解程序 ： ?%ceil(M/2)1:1:0。xb］ 。N/2)。 由于 存在時域混疊失真 ，因而 x16(n)≠x(n)； 使 DFT在數(shù)字通信、 仿真、 醫(yī)學(xué)、 用 DFT計算線性卷積 因而常用 DFT(FFT)計算循環(huán)卷積 ,DFT經(jīng)常需要計算兩個序列的線性卷積， M］ 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　　 因線性卷積取值長度為 N＋ M1， 循環(huán)卷積計算線性卷積的條件：l