【正文】 離散傅里葉變換的定義 離散傅里葉變換的基本性質(zhì)頻率域采樣DFT的應(yīng)用舉例第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)四種傅里葉變換形式的歸納時(shí)間 函數(shù) 頻 率函數(shù)連續(xù) 和周期 非周期和離散連續(xù) 和非周期 非周期和 連續(xù)離散和非周期 周期和 連續(xù) 上面討論的三種傅里葉變換對上面討論的三種傅里葉變換對 ,都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,因?yàn)橹辽僭谝粋€(gè)域因?yàn)橹辽僭谝粋€(gè)域 (時(shí)域或頻域時(shí)域或頻域 ),函數(shù)是連續(xù)的。因?yàn)閺臄?shù)字函數(shù)是連續(xù)的。因?yàn)閺臄?shù)字計(jì)算角度計(jì)算角度 ,我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況離散和周期 周期和離散第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 傅里葉變換和 Z變換是數(shù)字信號處理中常用的重要數(shù)學(xué)變換。對于有限長序列，還有一種更為重要的數(shù)學(xué)變換，即離散傅里葉變換 (DiscreteFourierTransform，DFT)。 DFT之所以更為重要，是因?yàn)槠?實(shí)質(zhì)是有限長序列傅里葉變換的有限點(diǎn)離散采樣 ， 從而實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，使數(shù)字信號處理可以在頻域采用數(shù)值運(yùn)算的方法進(jìn)行，這樣就大大增加了數(shù)字信號處理的靈活性。更重要的是， DFT有多種快速算法，統(tǒng)稱為快速傅里葉變換(FastFourierTransform， FFT)，從而使信號的實(shí)時(shí)處理和設(shè)備的簡化得以實(shí)現(xiàn) 。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 離散傅里葉變換的定義 設(shè) x(n)是一個(gè)長度為 M的有限長序列， 則定義 x(n)的 N點(diǎn)離散傅里葉變換為X(k)的離散傅里葉逆變換為第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)DFT的定義N為 DFT變換區(qū)間長度（ N≥M）IDFT［ X(k)］ 的唯一性 為整數(shù) 為整數(shù) 因?yàn)?0=m=N1,且 n=0所以 M只能取值 0第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)證明：所以， IDFT［ X(k)］ =x(n),0≤n≤N1可見， ()式定義的離散傅里葉變換是唯一的。 復(fù)正弦序列的正交性例 x(n)=R4(n)，求 x(n)的 8點(diǎn)和 16點(diǎn) DFT第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)解：變換區(qū)間 N=8， 則設(shè)變換區(qū)間 N=16， 則第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)可見： x(n)的離散傅里葉變換結(jié)果與變換區(qū)間長度 N的取值有關(guān)。N=4DFT與傅里葉變換、 Z變換的關(guān)系 比較上面二式可得關(guān)系式設(shè)序列 x(n)的長度為 N， 其 Z變換和 DFT分別為：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l()式表明： 序列 x(n)的 N點(diǎn) DFT是 x(n)的 Z變換在單位圓上的 N點(diǎn)等間隔采樣 。l()式則說明： X(k)為 x(n)的傅里葉變換 X(ejω)在區(qū)間［ 0,2π］上的 N點(diǎn)等間隔采樣 。DFT的物理意義的物理意義第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)DFT的隱含周期性 均為整數(shù) 同理： x(n+mN)=x(n)因此： ()式和 ()式中的 X(k)隱含周期性， 且周期均為 N。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)實(shí)際上， 任何周期為 N的周期序列 都可以看作長度為 N的有限長序列 x(n)的周期延拓序列， 而 x(n)則是 的一個(gè)周期， 即第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)一般稱周期序列　　中從n=0到 N－ 1的第一個(gè)周期為　　的 主值區(qū)間 ，而主值區(qū)間上的序列稱為　　　的 主值序列 。 ?因此 x(n)與　　的關(guān)系可敘述為： 　是 x(n)的 周期延拓序列 ， x(n)是　　的主值序列 。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 為了以后敘述簡潔 :? ? 　　　　　　　　　　　　　　 ? 　　　　　　 式中 x((n))N表示 x(n)以 N為周期的周期延拓序列，((n))N表示模 N對 n求余。l即如果： n=MN+n10≤n1≤N－ 1,M為整數(shù) ?l則　　　　　　　 ((n))N=n1?　　 　 例如：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　注意： 若 x(n)實(shí)際長度為 M，延拓周期為 N，則當(dāng) NM時(shí)，()式仍表示 以 N為周期的周期序列 ，但()和 ()式僅對N≥M時(shí)成立。圖 x(n)及其周期延拓序列第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 　 如果 x(n)的長度為 M，且　　　　　　，N≥M ，則可寫出　　的離散傅里葉級數(shù)表示式()()()第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)表明： 有限長序列 x(n)的 N點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)正好是 x(n)的周期延拓序列 x((n))N的離散傅里葉級數(shù)系數(shù)　　的主值序列?！　?現(xiàn)在解釋 DFT［ R4(n)］ 4=4δ(k)。根據(jù) DFT第二種物理解釋可知， DFT［ R4(n)］ 4表示 R4(n)以 4為周期的周期延拓序列 R4((n))4的頻譜特性，因?yàn)?R4((n))4是一個(gè)直流序列， 只有直流成分（即零頻率成分） 。 第二種物理解釋（物理意義）： X(k)實(shí)質(zhì)上是x(n)的周期延拓序列 x((n))N的頻譜特性。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)l　 　 MATLAB提供了用快速傅里葉變換算法 FFT計(jì)算 DFT的函數(shù) fft，其調(diào)用格式如下 :?lXk=fft(xn,N)； ?l調(diào)用參數(shù) xn為被變換的時(shí)域序列向量， N是 DFT變換區(qū)間長度，當(dāng) N大于 xn的長度時(shí)， fft函數(shù)自動(dòng)在 xn后面補(bǔ)零。函數(shù)返回 xn的 N點(diǎn) DFT變換結(jié)果向量 Xk。當(dāng) N小于 xn的長度時(shí)， fft函數(shù)計(jì)算 xn的前面 N個(gè)元素構(gòu)成的 N長序列的 N點(diǎn) DFT，忽略 xn后面的元素。 ? ?l　　 Ifft函數(shù)計(jì)算 IDFT，其調(diào)用格式與 fft函數(shù)相同。用 MATLAB計(jì)算序列的 DFT　 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　 【 例 】 設(shè) x(n)=R4(n)， X(ejω)=FT［ x(n)］。分別計(jì)算 X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上的 16點(diǎn)和 32點(diǎn)等間隔采樣，并繪制 X(ejω)采樣的幅頻特性圖和相頻特性圖。 　　　　 解： 由 DFT與傅里葉變換的關(guān)系知道， X(ejω)在頻率區(qū)間［ 0， 2π］上的 16點(diǎn)和 32點(diǎn)等間隔采樣，分別是 x(n)的 16點(diǎn)和 32點(diǎn) DFT。調(diào)用 fft函數(shù)求解本例的程序 :? 　第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 % 例 ?　 %DFT 的 MATLB計(jì)算 ?　 xn=［ 1111］ 。% 輸入時(shí)域序列向量xn=R4(n)? Xk16=fft(xn,16)。% 計(jì)算 xn的 16點(diǎn) DFT?　 Xk32=fft(xn,32)。% 計(jì)算 xn的 32點(diǎn) DFT?　 % 以下為繪圖部分（省略）程序運(yùn)行結(jié)果如圖 。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)圖 程序 運(yùn)行結(jié)果 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　 　 如果 x1(n)和 x2(n)是兩個(gè)有限長序列，長度分別為 N1和 N2，且y(n)=ax1(n)+bx2(n)??式中， a、 b為常數(shù)，取 N=max［ N1,N2］ ,則 y(n)的 N點(diǎn) DFT為 ?線性性質(zhì) 　　 ? 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) ? ?Y(k)=DFT[y(n)]N=aX1(k)+bX2(k)0≤k≤N－ 1　　　　　　　　　　　　　　　　 ()?其中 X1(k)和 X2(k)分別為 x1(n)和 x2(n)的 N點(diǎn) DFT。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) 移位　這里包括三層意思：設(shè) x(n)為 長度 M的 序列， M≤N ，則 x(n)的循環(huán)移位定義為1)將 x(n)周期延拓2)移位3)取主值循環(huán)移位性質(zhì)循環(huán)移位性質(zhì)第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)n0 5例：1)周期延拓2)左移 2n0……n0……主值區(qū)間取 N=6n03)取主值N1n0 51)周期延拓n0……2)左移 2n0……主值區(qū)間取 N=8n03)取主值N1l　 循環(huán)移位的實(shí)質(zhì)是 將 x(n)左移 m位，而移出主值區(qū)(0≤n≤N － 1)的序列值又依次從右側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。 “循環(huán)移位 ” 就是由此得名的 。l　由循環(huán)移位的定義可知，對同一序列 x(n)和相同的位移 m，當(dāng)延拓周期 N不同時(shí)，y(n)=x((n+m))NRn(n)則不同。第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)x(n)及其循環(huán)移位過程M=6,N=8,m=2時(shí)， x(n)及其循環(huán)移位過程如圖所示。 ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)表明： 有限序列的圓周移位，在頻域引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移，對幅度沒影響?！∑渲蠿(k)=DFT[x(n)]N　 0≤k≤N－ 1?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)由于上式中求和項(xiàng) 　　　　　　 以 N為周期，因此對其在任一周期上的求和結(jié)果相同。將上式的求和區(qū)間改在主值區(qū)，則得： ?令 n+m=n′，則有證明：第 3章 離散傅里葉變換 (DFT)　　　　如果X(k)