[理學(xué)]第三章圖像變換(已修改)
2024-12-20 01:09 本頁面
【正文】 第三章 圖像變換 圖像變換的目的在于： ① 使圖像處理問題簡化； ② 有利于圖像特征提取； ③ 有助于從概念上增強對圖像信息的理解 。 圖像變換通常是一種二維正交變換 。 一般要求： ① 正交變換必須是可逆的； ② 正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜； ③ 正交變換的特點是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上 ， 邊緣 、 線狀信息反映在高頻率成分上 ，有利于圖像處理 。 因此正交變換廣泛應(yīng)用在圖像增強 、 圖像恢復(fù) 、 特征提取 、 圖像壓縮編碼和形狀分析等方面 。 基礎(chǔ)知識 點源和狄拉克函數(shù) 一幅圖像可以看成由無窮多極小的象素組成，每一個象素都可以看作為一個點源，因此，一幅圖像也可以看成由無窮多點源所組成。 數(shù)學(xué)上，點源可以用狄拉克 δ 函數(shù)來表示，二維 δ 函數(shù)定義為： 且滿足： ??? ???? 00,0),( yxyx?01),(),( ??? ???????????dx dyyxdx dyyx狄拉克 δ函數(shù)性質(zhì)： (1) δ 函數(shù)為偶函數(shù)，即 ),(),( yxyx ?? ???? ???? ??? ??? ??????? ddyxfyxf ),(),(),(),(*),(),( yxyxfyxf ??),(*),(),( ????? ????? yxyxfyxf(2) 位移性 或用卷積符號 *表示為 (3)可分性 )()(),( yxyx ??? ?因此有 (5)篩選性 ),(),(),( ????? fdx dyyxyxf ???????當(dāng)且僅當(dāng) α ＝ β ＝ 0時 ????? dx dyyxyxff ),(),()0,0( ?(4)乘積性 ),(),(),(),( ???????? ????? yxfyxyxf頻域世界與頻域變換 任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和 ( a )( b )( c )( d ) 二維線性位移不變系統(tǒng) 滿足此條件的運算稱為二維線性運算，由它描述的系統(tǒng)稱為二維線性系統(tǒng)。 f(x,y) g(x,y) δ (x,y) h(x,y) ),(a),()],([a)],([)],(a),([221122112211yxgyxgayxfTyxfTayxfyxfaT?????T[.] T[.] 二維線性系統(tǒng)一般表示 位移不變系統(tǒng) ? ? ??? ?? yx , ? ? ?? ?? yx ,h 當(dāng)輸入為單位脈沖 δ (x,y)時，系統(tǒng)的輸出便稱為脈沖響應(yīng)，用 h(x,y)表示。在圖像處理中，它便是點源的響應(yīng)，稱為點擴散函數(shù)。 ????????????????????ddyxhfddyxTfddyxfTyxfTyx? ?? ?? ????????????????????),(),()],([),(]),(),([)],([),(g 對一個二維線性位移不變系統(tǒng)來說，如果輸入為f(x,y)，輸出為 g(x,y),系統(tǒng)加于輸入的線性運算為 T[.]，則有： 上式表明：線性位移不變系統(tǒng)的輸出等于系統(tǒng)的輸入和系統(tǒng)脈沖響應(yīng)（點擴散函數(shù)）的卷積。 ),(*),(),(g yxhyxfyx ?簡記為： 連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 1. 一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 令 f(x)為實變量 x的連續(xù)函數(shù) ， f(x) 的 傅立葉 變換用F(u)表示 ， 則定義式為 若已知 F(u)， 則 傅立葉 反變換為 以上稱為 傅立葉 變換對。 )()()( 2 ?? ? ??? ? dxexfuF uxj ?)()()( 2 ?? ? ??? dueuFxf uxj ? 傅立葉變換 這里 f(x)是實函數(shù) ， 它的傅立葉變換 F(u)通常是復(fù)函數(shù) 。 F(u)的實部 、 虛部 、 振幅 、 能量和相位分別表示如下： ? ?)2c o s ()()( ??? ? ?? dxuxxfuR ?實部)()2s i n()()( ? ??? ? ?? dxuxxfuI ?虛部)()](2)(2[)( 21??? uIuRuF振幅)()()()()( 222 ???? uIuRuFuE能量)(])( )([t a n)( 1 ?? ? uR uIu?相位)(2s i n2c o s2 ???? uxjuxe uxj ???傅立葉變換中出現(xiàn)的變量 u 通常稱為頻率變量。 2. 二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換 傅立葉變換很容易推廣到二維的情況。如果 f(x， y)是連續(xù)和可積的，且 F(u， v)是可積的，則二維傅立葉變換對為 ? ???? ????????????)(),(),()(),(),()(2)(2dudvevuFyxfdx dyeyxfvuFvyuxjvyuxj?? 二維函數(shù)的傅立葉譜、相位和能量譜分別為： |F(u， v)∣ =[R2(u， v)+I2 (u， v)]1/2 φ(u， v)=tan1 [I(u， v)／ R(u， v)] E(u， v)=R2(u， v)+I2(u， v) 例：求如圖所示的函數(shù)的傅立葉譜 ????? ?????o t h e rYyXxAyxf00,0),(x y f(x,y) A YvyjXuxjxxYvyjXuxjYvyjXuxjvyuxjvyuxjevjeujAdxccxdandedxevjvyjdeujuxjdeAdyedxeAd x d yeAd x d yeyxfvuF020202020202)(2)(2212)(2)2(2)2(),(),(????????????????????????????????????????????????????? ?? ??vYvYeuXuXe
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