【正文】 微分方程模 型 新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系 167。 微分方程的幾個簡單實例 在許多實際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題， 本節(jié)將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。 例 1 （理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。 從圖 31中不難看出，小球所受的合力為 mgsinθ，根據(jù) 牛頓第二定律 可得： sinm l m g????從而得出兩階微分方程： 0si n 0( 0) 0 , ( 0)gl??? ? ????? ?????（ ） 這是理想單擺應(yīng)滿足的運動方程 （ ） 是一個兩階非線性方程，不易求解。當(dāng) θ 很小時， sinθ≈θ， 此時，可考察（ ）的近似線性方程： 00( 0) 0 , ( 0)gl??? ? ??????????（ ） 由此即可得出 2 gT l?? （ ）的解為 : θ(t)= θ0cosωt gl? ?其中 當(dāng) 時 ,θ(t)=0 4Tt?42gTl??故有 M Q P mg ? l圖 31 （ ）的近似方程 例 2 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為 60哩，潛水艇最大航速為 30節(jié)而巡邏艇最大航速為 60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。 這一問題屬于對策問題，較為復(fù)雜。討論以下簡單情形： 敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直 線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 設(shè)巡邏艇在 A處發(fā)現(xiàn)位于 B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以 B為極點， BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為 r=r(θ)，見圖 32。 B A A1 dr ds dθ θ 圖 32 由題意， ，故 ds=2dr 2ds drdt dt?圖 32可看出， 2 2 2( ) ( ) ( )ds dr rd ???故有 : 2 2 23 ( ) ( )d r r d ??即 : 3rd r d?? （ ） 解為： 3r Ae?? （ ） 先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離 ,然后按 （ ） 對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。 追趕方法如下： 例 3 一個半徑為 Rcm的半球形容器內(nèi)開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為 Scm2的小孔在 t=0時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？ 解 : 以容器的底部 O點為 原點，取坐標(biāo)系如圖 。令 h(t)為 t時刻容器中水的高度，現(xiàn)建立 h(t)滿足的微分方程。 設(shè)水從小孔流出的速度為 v(t)，由力學(xué)定律，在不計水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有： ( ) 2t gh? ?因體積守衡，又可得： 2dV r dh s dt??? ? ?易見： 22()r R R h? ? ?故有： 2[ ( ) ] 0. 6 2R R h dh S gh dt?? ? ? ?220 . 6 2[ ( ) ]S h gdhd t R R h??? ??即： 這是可分離變量的一階微分方程，得 220 [ ( ) ]0 .6 2RR R hT d hS g h?? ? ?? ?302( 2 )0 . 6 2 R R h h d hSg?????535 20224 2 14 2 9 2RRRh hS g S g?????? ? ?????R x y S O 圖 33 h r 例 4 一根長度為 l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為 T1，另一端溫度恒為 T2，（ T T2為常數(shù)， T1 T2）。金屬桿橫截面積為 A，截面的邊界長度為 B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為 T3，（ T3 T2， T3為常數(shù)），導(dǎo)熱系數(shù)為 α，試求金屬桿上的溫度分布 T(x)，（設(shè)金屬桿的導(dǎo)熱率為 λ） 一般情況下，在同一截面上的各點處溫度也不盡相同，如果這樣來考慮問題，本題要建的數(shù)學(xué)模型當(dāng)為一偏微分方程。 但由題意可以看出，因金屬桿較細且金屬桿導(dǎo)熱系數(shù)又較大，為簡便起見，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數(shù) T(x)。 熱傳導(dǎo)現(xiàn)象機理 ：當(dāng)溫差在一定范圍內(nèi)時，單位時間里由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量與兩側(cè)的溫差成正比，比例系數(shù)與介質(zhì)有關(guān)。 T1 T2 o x A B T3 l dt時間內(nèi)通過距離 O點 x處截面的熱量為： 39。( )AT x dt??dt時間內(nèi)通過距離 O點 x+dx處截面的熱量為： 39。( )AT x dx dt???由泰勒公式： 39。( ) [ 39。( ) ( ) ]A T x dx dt A T x T x dx dt?? ??? ? ? ? ?金屬桿的微元 [x,x+dx]在 dt內(nèi)由獲得熱量為： ()AT x d x d t? ??同時，微元向空氣散發(fā)出的熱量為： 3[ ( ) ]B dx T x T dt? ?系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，故有： 3( ) [ ( ) ]AT x dx dt Bdx T x T dt???? ??所以金屬桿各處溫度 T(x)滿足的微分方程 : 3( ) ( )BT x T TA???? ??這是一個兩階常系數(shù)線性方程，很容易求解 為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。 種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量 ,由此引起的誤差將是十分微小的。 167。 Malthus模型與 Logistic模型 模型 1 馬爾薩斯（ Malthus）模型 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率 r基本上是一常數(shù)，（ r=bd,b為出生率，d為死亡率）， 既： 1 dN rN dt ?dN rNdt ?或 （ ） 0()0() r t tN t N e ?? （ ） （ ） 的解為： 其中 N0=N(t0)為初始時刻 t0時的種群數(shù)。 馬爾薩斯模型的一個顯著特點 ： 種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的 。 令種群數(shù)量翻一番所需的時間為 T，則有： 002 rTN N e?ln 2Tr?故 模型檢驗 比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如， 1961年世界人口數(shù)為 （即 109），人口增長率約為 2%，人口數(shù)大約每 35年增加一倍。檢查 1700年至 1961的 260年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)量每 ，兩者也幾乎相同。 1950 2022 2050 2100 2150 220000 . 511 . 522 . 533 . 5x 1 011t/ 年N/人馬爾薩斯模型人口預(yù)測模型預(yù)測 假如人口數(shù)真能保持每 ，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到 2510年，人口達 2 1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有 ，而到 2670年，人口達 36 1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。 故 馬爾薩斯模型是不完善的。 幾何級數(shù)的增長 Malthus模型 實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。 所以 Malthus模型假設(shè)的人口 凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。 模型 2 Logistic模型 人口凈增長率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有： ()dN r N Ndt ?（ ） r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求 。 為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡單的方法。 r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項） 對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令 r(N)=raN 此時得到微分方程： ()dN r a N Ndt ?? (1 )d N NrNd t K??或 （ ） （ ） 被稱為 Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（ Verhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負的，因為當(dāng)種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。 （ ） 可改寫成： ()dN k K N Ndt ?? （ ） ()式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當(dāng)種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為 K（近似地將 K看成常數(shù)）， N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，KN恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（ ）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是（ ）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。 圖 35 對 （ ） 分離變量： 11 d N k K d tN K N?????????兩邊積分并整理得： 1 k KtKNCe ?? ?令 N(0)=N0，求得： 00KNCN??故 （ ） 的滿足初始條件 N(0)=N0的解為： 000() () k K tNKNt N K N e ?? ?? （ ） 易見： N(0)=N0 ， lim ( )t N t K? ?? ?N(t)的圖形請看圖 模型檢驗 用 Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？ 1945年克朗皮克（ Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（ EFGauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結(jié)果都和 Logistic曲線十分吻合。 大量實驗資料表明用 Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當(dāng)不錯的。例如，高斯 把 5只草履蟲放進一個盛有，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天 %的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與 r=， a=， N(0)=5的 Logistic曲線： 幾乎完全吻合，見圖 。 375()1 7 4 tNt e ?? ?圖 36 Malthus模型和 Logistic模型的總結(jié) Malthus模型和 Logistic模型 均為對微分方程（ ）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率 r為一常數(shù)，（ r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。 用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。 Malthus模型與 Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。 歷史背景 : 例 5 贗品的鑒定 在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于 1945年 5月 29日以通敵罪逮捕了三流畫家范 梅格倫（ HAVanmeegren），此人曾將 17世紀(jì)荷蘭名畫家揚 弗米爾（ Jan Veermeer）的油畫 “ 捉奸 ” 等賣給納粹德國戈林的中間人?？墒?，范 梅格倫在同年 7月 12日在牢里宣稱：他從未把 “ 捉奸 ” 賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫 “ 在埃牟斯的門徒 ” 以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（ 17世紀(jì)荷