【正文】 微分方程模 型 新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系 167。 微分方程的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例 在許多實(shí)際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題， 本節(jié)將通過一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。 例 1 （理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。 從圖 31中不難看出，小球所受的合力為 mgsinθ，根據(jù) 牛頓第二定律 可得： sinm l m g????從而得出兩階微分方程： 0si n 0( 0) 0 , ( 0)gl??? ? ????? ?????（ ） 這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程 （ ） 是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng) θ 很小時(shí)， sinθ≈θ， 此時(shí)，可考察（ ）的近似線性方程： 00( 0) 0 , ( 0)gl??? ? ??????????（ ） 由此即可得出 2 gT l?? （ ）的解為 : θ(t)= θ0cosωt gl? ?其中 當(dāng) 時(shí) ,θ(t)=0 4Tt?42gTl??故有 M Q P mg ? l圖 31 （ ）的近似方程 例 2 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為 60哩，潛水艇最大航速為 30節(jié)而巡邏艇最大航速為 60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。 這一問題屬于對(duì)策問題，較為復(fù)雜。討論以下簡(jiǎn)單情形： 敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直 線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 設(shè)巡邏艇在 A處發(fā)現(xiàn)位于 B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以 B為極點(diǎn)， BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為 r=r(θ)，見圖 32。 B A A1 dr ds dθ θ 圖 32 由題意， ，故 ds=2dr 2ds drdt dt?圖 32可看出， 2 2 2( ) ( ) ( )ds dr rd ???故有 : 2 2 23 ( ) ( )d r r d ??即 : 3rd r d?? （ ） 解為： 3r Ae?? （ ） 先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離 ,然后按 （ ） 對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。 追趕方法如下： 例 3 一個(gè)半徑為 Rcm的半球形容器內(nèi)開始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為 Scm2的小孔在 t=0時(shí)刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？ 解 : 以容器的底部 O點(diǎn)為 原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖 。令 h(t)為 t時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立 h(t)滿足的微分方程。 設(shè)水從小孔流出的速度為 v(t)，由力學(xué)定律，在不計(jì)水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有： ( ) 2t gh? ?因體積守衡，又可得： 2dV r dh s dt??? ? ?易見： 22()r R R h? ? ?故有： 2[ ( ) ] 0. 6 2R R h dh S gh dt?? ? ? ?220 . 6 2[ ( ) ]S h gdhd t R R h??? ??即： 這是可分離變量的一階微分方程，得 220 [ ( ) ]0 .6 2RR R hT d hS g h?? ? ?? ?302( 2 )0 . 6 2 R R h h d hSg?????535 20224 2 14 2 9 2RRRh hS g S g?????? ? ?????R x y S O 圖 33 h r 例 4 一根長(zhǎng)度為 l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為 T1，另一端溫度恒為 T2，（ T T2為常數(shù)， T1 T2）。金屬桿橫截面積為 A，截面的邊界長(zhǎng)度為 B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為 T3，（ T3 T2， T3為常數(shù)），導(dǎo)熱系數(shù)為 α，試求金屬桿上的溫度分布 T(x)，（設(shè)金屬桿的導(dǎo)熱率為 λ） 一般情況下，在同一截面上的各點(diǎn)處溫度也不盡相同，如果這樣來考慮問題，本題要建的數(shù)學(xué)模型當(dāng)為一偏微分方程。 但由題意可以看出，因金屬桿較細(xì)且金屬桿導(dǎo)熱系數(shù)又較大，為簡(jiǎn)便起見，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數(shù) T(x)。 熱傳導(dǎo)現(xiàn)象機(jī)理 ：當(dāng)溫差在一定范圍內(nèi)時(shí)，單位時(shí)間里由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量與兩側(cè)的溫差成正比，比例系數(shù)與介質(zhì)有關(guān)。 T1 T2 o x A B T3 l dt時(shí)間內(nèi)通過距離 O點(diǎn) x處截面的熱量為： 39。( )AT x dt??dt時(shí)間內(nèi)通過距離 O點(diǎn) x+dx處截面的熱量為： 39。( )AT x dx dt???由泰勒公式： 39。( ) [ 39。( ) ( ) ]A T x dx dt A T x T x dx dt?? ??? ? ? ? ?金屬桿的微元 [x,x+dx]在 dt內(nèi)由獲得熱量為： ()AT x d x d t? ??同時(shí)，微元向空氣散發(fā)出的熱量為： 3[ ( ) ]B dx T x T dt? ?系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，故有： 3( ) [ ( ) ]AT x dx dt Bdx T x T dt???? ??所以金屬桿各處溫度 T(x)滿足的微分方程 : 3( ) ( )BT x T TA???? ??這是一個(gè)兩階常系數(shù)線性方程，很容易求解 為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問題。 種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量 ,由此引起的誤差將是十分微小的。 167。 Malthus模型與 Logistic模型 模型 1 馬爾薩斯（ Malthus）模型 馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長(zhǎng)率 r基本上是一常數(shù)，（ r=bd,b為出生率，d為死亡率）， 既： 1 dN rN dt ?dN rNdt ?或 （ ） 0()0() r t tN t N e ?? （ ） （ ） 的解為： 其中 N0=N(t0)為初始時(shí)刻 t0時(shí)的種群數(shù)。 馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn) ： 種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的 。 令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為 T，則有： 002 rTN N e?ln 2Tr?故 模型檢驗(yàn) 比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如， 1961年世界人口數(shù)為 （即 109），人口增長(zhǎng)率約為 2%，人口數(shù)大約每 35年增加一倍。檢查 1700年至 1961的 260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每 ，兩者也幾乎相同。 1950 2022 2050 2100 2150 220000 . 511 . 522 . 533 . 5x 1 011t/ 年N/人馬爾薩斯模型人口預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè) 假如人口數(shù)真能保持每 ，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到 2510年，人口達(dá) 2 1014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有 ，而到 2670年，人口達(dá) 36 1015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。 故 馬爾薩斯模型是不完善的。 幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng) Malthus模型 實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。 所以 Malthus模型假設(shè)的人口 凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。 模型 2 Logistic模型 人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即： r=r(N) 從而有： ()dN r N Ndt ?（ ） r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無法用擬合方法來求 。 為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。 r(N)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)） 對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令 r(N)=raN 此時(shí)得到微分方程： ()dN r a N Ndt ?? (1 )d N NrNd t K??或 （ ） （ ） 被稱為 Logistic模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（ Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。 （ ） 可改寫成： ()dN k K N Ndt ?? （ ） ()式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為 K（近似地將 K看成常數(shù)）， N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，KN恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（ ）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（ ）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。 圖 35 對(duì) （ ） 分離變量： 11 d N k K d tN K N?????????兩邊積分并整理得： 1 k KtKNCe ?? ?令 N(0)=N0，求得： 00KNCN??故 （ ） 的滿足初始條件 N(0)=N0的解為： 000() () k K tNKNt N K N e ?? ?? （ ） 易見： N(0)=N0 ， lim ( )t N t K? ?? ?N(t)的圖形請(qǐng)看圖 模型檢驗(yàn) 用 Logistic模型來描述種群增長(zhǎng)的規(guī)律效果如何呢？ 1945年克朗皮克（ Crombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（ EFGauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和 Logistic曲線十分吻合。 大量實(shí)驗(yàn)資料表明用 Logistic模型來描述種群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯 把 5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有，他發(fā)現(xiàn)，開始時(shí)草履蟲以每天 %的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與 r=， a=， N(0)=5的 Logistic曲線： 幾乎完全吻合，見圖 。 375()1 7 4 tNt e ?? ?圖 36 Malthus模型和 Logistic模型的總結(jié) Malthus模型和 Logistic模型 均為對(duì)微分方程（ ）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率 r為一常數(shù)，（ r被稱為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。 用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。 Malthus模型與 Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。 歷史背景 : 例 5 贗品的鑒定 在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于 1945年 5月 29日以通敵罪逮捕了三流畫家范 梅格倫（ HAVanmeegren），此人曾將 17世紀(jì)荷蘭名畫家揚(yáng) 弗米爾（ Jan Veermeer）的油畫 “ 捉奸 ” 等賣給納粹德國(guó)戈林的中間人?？墒?，范 梅格倫在同年 7月 12日在牢里宣稱：他從未把 “ 捉奸 ” 賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫 “ 在埃牟斯的門徒 ” 以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（ 17世紀(jì)荷