【正文】 引言 時域離散信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號 傅里葉變 換之間的關(guān)系 序列的 Z變換 利用 Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻響特性 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 引 我們知道，信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時域分析方法和頻域分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號一般用連續(xù)變量時間的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變換 (Fourier Transform)或拉普拉斯變換表示。而在時域離散信號和系統(tǒng)中，信號用時域離散信號（序列）表示，系統(tǒng)則用差分方程描述。在頻率域，則用信號的傅里葉變換或 Z變換表示。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 時域離散信號傅里葉變換的定義 ????????nnnxnxX ?? jj e)()]([FT)e(第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 時域離散信號的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 序列 x(n)的傅里葉變換定義為 FT［ x(n)］存在的充分必要條件是序列 x(n)滿足絕對可和的條件： X(ejω)的傅里葉反變換為： | ( ) |nxn?? ? ???????? deeXπeXIF Tnx njππjj ???? )(21)]([)(第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 【 例 】 設(shè) x(n)=RN(n)，求 x(n)的傅里葉變換。 當(dāng) N=4時，其幅度與相位隨頻率 ω的變化曲線如圖 )2/s i n ()2/s i n (e 2)1(j??? NN ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 解 ： ee)()e(10jjj ? ????????? ??nNnnN nRx??? )ee(e)ee(ee1e1 2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj???????????????????? NNNN圖 R4(n)的幅度與相位曲線 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 時域離散信號傅里葉變換的性質(zhì) )e(e)(e)()e( )π2j()π2j(jj MnnMnn XnxnxX ???????????? ??? ????Ｍ 為整數(shù) 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1． FT的周期性 表明： 傅里葉變換是頻率 ω 的周期函數(shù)，周期是 2π 。這一特點不同于模擬信號的傅里葉變換。 由 FT的周期性得出，在 ω =0和 ω =2π M附近的頻譜分布應(yīng)是相同的（ M取整數(shù)），在 ω =0， 2π, 177。 4π, …點上表示 x(n)信號的 直流分量 ；離開這些點愈遠，其頻率愈高，但又是以 2π 為周期，那么最高的頻率應(yīng)是ω =π 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ? ?－ 1 0 1 2 3 41－ 1? ?0123456n n( a ) ( b )1π2?? π)12( ?? M??c o sMn?c o s n圖 cosωn的波形 2． 線性 式中 , a， b是常數(shù)。 jj1 2 1 2F T [ ( ) ( ) ] ( e ) ( e )a x n b x n a X b X??? ? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 設(shè) X1(ejω)=FT［ x1(n)］ , X2(ejω)=FT［ x2(n)］ , 那么 3．時移與頻移 0j j0F T [ ( ) ] e ( e )nx n n X?? ???00j j( )F T [e ( ) ] (e )n x n X? ? ? ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 設(shè) X(ejω)=FT［ x(n)］ , 那么 4． FT的對稱性 xe(n)用其實部與虛部表示： *ee( ) ( )x n x n??e e r e i( ) ( ) j ( )x n x n x n??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 共軛對稱序列 xe(n) ： *e e r e i( ) ( ) j ( )x n x n x n? ? ? ? ?e r e r( ) ( )x n x n??e i e i( ) ( )x n x n? ? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 因此： 表明： 表明共軛對稱序列其實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。 類似地，定義共軛反對稱序列： 將 xo(n)表示成實部與虛部： *oo( ) ( )x n x n? ? ?o o r o i( ) ( ) j ( )x n x n x n??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 可以得到： or or( ) ( )x n x n? ? ?o i o i( ) ( )x n x n??表明 :共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。 【 例 】 試分析 x(n)=ejωm的對稱性。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 解 因為 x*(－ n)=ejωm=x(n) 上式表明，共軛對稱序列的實部確實是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。 所以 x(n)是共軛對稱序列，如展成實部與虛部，則得到： x(n)=cosωn+j sinωn 一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示，即 式中， xe(n)和 xo(n)可以分別用原序列 x(n)求出 . eo( ) ( ) ( )x n x n x n??*eo( ) ( ) ( )x n x n x n? ? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 *e1( ) [ ( ) ( ) ]2x n x n x n? ? ?*o1( ) [ ( ) ( ) ]2x n x n x n? ? ?那么： 對于頻域函數(shù) X(ejω )，也有和上面類似的概念和結(jié)論： j jee( e ) ( e )XX?? ??jjoo( e ) ( e )XX?? ????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 式中， Xe(ejω)與 Xo(ejω)分別稱為共軛對稱部分和共軛反對稱 X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) 同樣有下面公式成立： j j * je1( e ) [ ( e ) ( e ) ]2X X X? ? ????j j * jo1( e ) [ ( e ) ( e ) ]2X X X? ? ????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 (1) 將序列 x(n)分成實部 xr(n)與虛部 xi(n)，即 ri( ) ( ) j ( )x n x n x n??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 將上式進行傅里葉變換，得到 : jje r i( e ) F T [ ( ) ] ( ) ennX x n x n????? ? ??? ?jjo i i( e ) F T [ j ( ) ] j ( ) ennX x n x n????? ? ??? ?表明 :序列分成實部與虛部兩部分，實部對應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對稱性，虛部和 j一起對應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對稱性。 共軛對稱性 共軛反對稱性 (2) 將序列分成共軛對稱部分 xe(n)和共軛反對稱部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) *e1( ) [ ( ) ( ) ]2x n x n x n? ? ? *o1( ) [ ( ) ( ) ]2x n x n x n? ? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 j * j j jeR1F T [ ( ) ] [ ( e ) ( e ) ] Re [ ( e ) ] ( e )2x n X X X X? ? ? ?? ? ? ?j * j j joI1F T [ ( ) ] [ ( e ) ( e ) ] j I m [ ( e ) ] j ( e )2x n X X X X? ? ? ?? ? ? ?那么： 因此 x(n)的 FT為 j j jRI( e ) ( e ) j ( e )X X X? ? ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 表明 :序列 x(n)的共軛對稱部分 xe(n)對應(yīng)著 X(ejω )的實部 XR(ejω )，而序列 x(n)的共軛反對稱部分 xo(n)對應(yīng)著 X(ejω )的虛部 (包括 j)。 3) 實序列 h(n)的對稱性 . jje( e ) ( e )HH???jj( e ) ( e )HH?? ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 因為 h(n)是實序列，其 FT只有共軛對稱部分 He(ejω)，共軛反對稱部分為零。 因此實序列的 FT是共軛對稱函數(shù) , 其實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為 jjRR( e ) ( )H H e?? ?? jjII( e ) ( e )HH?? ???j 2 2 j 2 jRI| ( e ) | ( e ) ( e )H H H? ? ???j j jIRa r g[ ( e ) ] a r g ta n[ ( e ) / ( e ) ]H H H???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 奇函數(shù) 偶函數(shù) eo( ) ( ) ( )h n h n h n??e1( ) [ ( ) ( ) ]2h n h n h n? ? ?o1( ) [ ( ) ( ) ]2h n h n h n? ? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 h(n)是實因果序列 e( 0) 01( ) ( ) 021( ) 02hnh n h n nh n n?? ????????????o001( ) ( ) 021( ) 02nh n h n nh n n?? ????????? ? ???偶函數(shù) 奇函數(shù) 按照上面兩式，實因果序列 h(n)可以分別用 he(n)和 ho(n)表示為 式中 e( ) ( ) ( )h n h n u n??o( ) ( ) ( ) (0 ) ( )h n h n u n h n?? ? ?2 0( ) 1 00 0nu n nn???????? ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 表明 :實因果序列完全由其偶序列恢復(fù)。但由 ho(n)恢復(fù) h(n)時，要補充一點 h(h)δ(n) 信息。 【 例 】 x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函數(shù) xe(n)和奇函數(shù) xo(n)。 e( 0 ) 01( ) ( ) 021( ) 02xnx n x n nx n n?? ???????????? ??????????????02102101nanannn 解： x(n)=xe(n)+xo(n) 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 x(n) 、 xe(n)和 xo(n)波形如圖所示。 o001( ) ( ) 021( ) 02nx n x n nx n n?? ????????? ? ???001021 02nnnanan??? ????????????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 5． 時域卷積定理 ( ) ( ) ( )my n x m h n m?? ? ????jj( e ) F T [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] e nnmY y n x m h n m?????? ? ? ? ? ?? ? ??? 設(shè) y(n)=x(n)*h(n)