【正文】 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 引言 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關(guān)系 序列的 Z變換 利用 Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 序列傅里葉變換的定義 定義 ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ?() 為序列 x(n)的傅里葉變換 ， 用 FT(Fourier Transform)表示 。 FT成立的 充分必要條件 是序列 x(n)絕對可和 ， 即滿足下式： ()nxn?? ?????() 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) FT反變換定義為： () ()和 ()式組成 一對傅里葉變換公式 。 一些絕對不可和的序列（如周期序列），其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 【 例 】 設(shè) x(n)=RN(n)，求 x(n)的傅里葉變換。 解 當 N=4時，其幅度與相位隨頻率 ω的變化曲線如圖 。 )2/s in ()2/s in (e )ee(e)ee(ee1e1 ee)()e(2)1(j2/j2/j2/j2/j2/j2/jjj10jjj??????????????NnRxNNNNNnNnnN????????????????????????? ? ?第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 圖 R4(n)的幅度與相位曲線 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 序列傅里葉變換的性質(zhì) 1. FT的周期性 在定義式 ()中， n取整數(shù)，下式成立： ( 2 )( ) ( ) ,j j M nnX e x n e? ? ????? ? ?? ?M為整數(shù) () ? 序列的傅里葉變換是頻率 ω的周期函數(shù) ， 周期是 2π。 這樣 X(ejω)可以展成傅里葉級數(shù) ， ()式就是傅里葉級數(shù)的形式 ， x(n)是其系數(shù) 。 ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ?由于 FT的周期性，一般 只分析 177。 π或 0~2π之間的 FT 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 2. 線性 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )],[ ( ) ( )] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?則 設(shè) 式中 a, b為常數(shù)。 3. 時移與頻移 設(shè) X(e jω) = FT[x(n)]， 則： () 0000([ ( )] ( )[ ( )] ( )jn jj n jF T x n n e X eF T e x n X e? ?? ? ??????() () ） 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 4. 對稱性 先了解 共軛對稱 與 共軛反對稱 以及它們的性質(zhì)： 定義： 設(shè)序列 xe(n)滿足 xe(n)=x*e(n) 則稱 xe(n)為共軛對稱序列 。 共軛對稱序列的 性質(zhì) ： 將 xe(n)用其實部與虛部表示： xe(n) = xer(n)+jxei(n) 兩邊 n 用 –n 代替 ， 并取共軛 ， 得： x*e(n)=xer(n)jxei(n) xer(n) = xer(n) () xei(n) = xei(n) () ? 共軛對稱序列其實部是偶函數(shù) ， 而虛部是奇函數(shù) 。 對比兩式，得： 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 共軛反對稱序列的 性質(zhì) ： 將 x0(n) 用實部與虛部表示： xo(n) = xor(n)+jxoi(n) 得： xor(n) = xor(n) () xoi(n) = xoi(n) () ? 共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù) ， 而虛部是偶函數(shù) 。 定義： 滿足下式的序列稱 共軛反對稱序列： xo(n) = x*o(n) () 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) ? 一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示 ， 即： x(n) = xe(n)+xo(n) () xe(n), xo(n)可以分別用原序列 x(n)求出 將 ()式中的 n用 n代替 ， 再取共軛得到： x*(n) = xe(n)xo(n) () 比較兩式 ， 得 ： 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ?() () 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 在頻域 ， 函數(shù) X(ejω)也有類似的概念和結(jié)論： X(ejω) = Xe(ejω)+Xo(ejω) () 共軛對稱部分 Xe(ejω)和共軛反對稱部分 Xo(ejω) 滿足： Xe(ejω) =X*e(ejω) () Xo(ejω) = X*o(ejω) () 同樣有下面公式： 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2j j jej j joX e X e X eX e X e X e? ? ?? ? ?????????() () 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) FT的對稱性 (a) 將序列 x(n)分成實部 xr(n)與虛部 xi(n) x(n) = xr(n) + jxi(n) 進行 FT， 得： X(e jω) = Xe(e jω) + Xo(e jω) 式中 xr(n)和 xi(n)都是實數(shù)序列 。 Xe(ejω) 具有共軛對稱性 ， 其實部是偶函數(shù) ， 虛部是奇函數(shù) 。 Xo(ejω) 具有共軛反對稱性質(zhì) ， 其實部是奇函數(shù) ， 虛部是偶函數(shù) 。 結(jié)論 ： x(n) = xr(n) + jxi(n) ? ? ? X(e jω) = Xe(e jω) + Xo(e jω) 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) (b) 將序列分成共軛對稱部分 xe(n)和共軛反對稱部分 xo(n)， 即： x(n) = xe(n)+xo(n) () 由 ()式和 ()式： 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ? 將上面兩式分別進行 FT， 得： FT［ xe(n)］ =1/2［ X(ejω)+X*(ejω)］ = Re［ X(ejω)］ = XR(ejω) FT［ xo(n)］ =1/2［ X(ejω) X*(ejω)］ = jIm［ X(ejω)］ = jXI(ejω) 因此對 ()式進行 FT得到： X(ejω) = XR(ejω)+