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數(shù)字信號(hào)處理第三版第二章-資料下載頁(yè)

2025-05-14 09:21本頁(yè)面
  

【正文】 )定理 那么 v 平面上 , c 所在的收斂域?yàn)椋? 11m ax ( , ) m i n ( , )xxyyR v RRR??????設(shè) () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 利用 Z變換解差分方程 用 Z變換求解差分方程 , 將差分方程變成了代數(shù)方程 ,使求解過(guò)程簡(jiǎn)單 。 N階線性常系數(shù)差方程為: 利用線性和序列移位性 對(duì)于 N階差分方程,求其解必須已知 N個(gè)初始條件。 設(shè) x(n)是因果序列( x(n)=0,n0),初始條件 y(1), y(2)…y(N)。 對(duì) ()式進(jìn)行 Z變換: 00( ) ( )NNkkkka y n k b x n k??? ? ???() 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān),稱(chēng)為 零狀態(tài)解 :H(z)X(z) 與輸入信號(hào)無(wú)關(guān),稱(chēng)為 零輸入解 。 求零狀態(tài)解時(shí)可用雙邊 Z變換求解也可用單邊 Z變換求解 。 求零輸入解必須考慮初始條件,用單邊 Z變換求解。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 已知差分方程: y(n) = b y(n1) + x(n), 式中x(n) = anu(n), y(1)=2, 求 y(n)。 解: 對(duì)差分方程進(jìn)行 Z變換: 11( ) ( ) ( 1 ) ( )2 ( )()1Y z bz Y z by X zb X zYzbz??? ? ? ???? 而 11( ) ,1X z z aaz ????于是 1 1 121()1 ( 1 )( 1 )bYzb z a z b z? ? ???? ? ? 收斂域?yàn)椋?|z|max(|a|,|b|) 1 1 11( ) 2 ( ), 0n n ny n b a b nab? ? ?? ? ? ??式中第一項(xiàng)為零輸入解 , 第二項(xiàng)為零狀態(tài)解 。 ?????? ????? ?? 11 111 bzbazaba||||,*2 bzw h e nbb n ?第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 因果 (可實(shí)現(xiàn) )系統(tǒng) 其單位脈沖響應(yīng) h(n)一定滿足當(dāng) n0時(shí) , h(n)=0, 那么其系統(tǒng)函數(shù) H(z)的收斂域一定包含 ∞點(diǎn) ,即 ∞點(diǎn)不是極點(diǎn) , 極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi) , 收斂域在某個(gè)圓外 。 ()nhn?? ?????穩(wěn)定系統(tǒng) 要求 , 對(duì)照 Z變換定義 , 系統(tǒng)穩(wěn)定要求 收斂域包含單位圓 。 如果 系統(tǒng)因果且穩(wěn)定 , 收斂域包含 ∞點(diǎn)和單位圓 , 那么收斂域可表示為: r|z|≤∞, 0r1 ? 系統(tǒng)因果且穩(wěn)定, H(z)的極點(diǎn)集中在單位圓的內(nèi)部。 ? 具體系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性可由系統(tǒng)函數(shù)的 極點(diǎn)分布 確定。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 已知 ,分析其因果性和穩(wěn)定性。 211( ) , 0 1( 1 )( 1 )aH z aa z a z??? ? ???解: H(z)的極點(diǎn)為 z=a, z=a1,如圖所示。 (1)收斂域 a1|z|≤∞, 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng) , 但由于收斂域不包含單位圓 , 因此是不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 單位脈沖響應(yīng):h(n)=(anan)u(n)(見(jiàn)例題 ), 這是一個(gè)因果序列 , 但不收斂 。 (2)收斂域 0≤|z|< a, 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 其單位脈沖響應(yīng) h(n)=(anan)u(n1)(見(jiàn)例題 ), 這是一個(gè)非因果且不收斂的序列 。 (3)收斂域 a|z|a1, 對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是一個(gè)非因果系統(tǒng) , 但由于收斂域包含單位圓 , 因此是穩(wěn)定系統(tǒng) 。 其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|, 這是一個(gè)收斂的雙邊序列 , 如圖 (a)所示 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 下面分析本例這種系統(tǒng)的 可實(shí)現(xiàn)性 : 在 H(z)的三種收斂域中,前二種系統(tǒng)不穩(wěn)定,不能選用; 在最后一種收斂域中,系統(tǒng)穩(wěn)定但非因果,還是不能具體實(shí)現(xiàn)。 嚴(yán)格地講,這種系統(tǒng)是無(wú)法具體實(shí)現(xiàn)的。 但是我們利用數(shù)字系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)的存貯性質(zhì),可以近似實(shí)現(xiàn)第三種情況。 方法 :將圖 (a)的 h(n)從 N到 N截取一段,再向右移,形成如圖 (b)所示的 h’(n)序列,將 h’(n)作為具體實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)。 N愈大, h’(n)表示的系統(tǒng)愈接近 h(n)系統(tǒng)。 具體實(shí)現(xiàn)時(shí),預(yù)先將 h’(n)存貯起來(lái),備運(yùn)算時(shí)應(yīng)用。 ? 這種非因果但穩(wěn)定系統(tǒng)的近似實(shí)現(xiàn)性,是數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)比模擬信息處理技術(shù)優(yōu)越的地方。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性 將 ()式因式分解 , 得: 式中: A=b0/a0, 影響傳輸函數(shù)的幅度大??; cr是 H(z)的 零點(diǎn) , dr是其 極點(diǎn) 。 零點(diǎn) cr和極點(diǎn) d 的分布影響系統(tǒng)的特性 。 下面用幾何方法來(lái)研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響 。 將 ()式分子分母變?yōu)檎齼绱?, 得: 00()()()MiiiNiiibzYzHzXzaz????????() 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 11() 11()()()()()()MrNM rNrrMjrj j N M rNjrrzcH z AzzdecH e Aeed????? ??? ????????????設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定,將 z=e jω,得到頻率響應(yīng)函數(shù): () () 若 N=M, 則: () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) jrrjrrc B e cd B e d?????? 和 分別稱(chēng)為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量 , 將它們用 極坐標(biāo)表: rcB rdB 表示式代入 ()式 , 得: rcB rdBrcBrdB 在 z平面上 , ejωcr用一條由零點(diǎn) cr指向單位圓上 ejω點(diǎn) B的向量 表示;同樣 ejωdr用由極點(diǎn)指向 ejω點(diǎn) B的向量 表示 , 如圖所示 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) ()111111( ) ( )()()Nrj j jrNrrNrj rNrrNNrrrrcBH e A H e edBcBH e AdB? ? ? ??? ? ? ??????????????????() () 式中: 系統(tǒng)的傳輸特性或信號(hào)的頻率特性由 ()式和 ()式確定。 當(dāng)頻率 ω從零變化到2π時(shí),這些向量的終點(diǎn) B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,按照上述兩式,可以分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。 所有零點(diǎn)矢量相角之和所有零點(diǎn)矢量相角之和所有極點(diǎn)矢量模之積所有零點(diǎn)矢量模之積)()()(]a r g []a r g [)(ω)()()()(zHzHMNBdBcMNzHzHBdBceHrrrrrrrrj??????????????????圖 頻響的幾何表示法 下圖表示了有一個(gè)零點(diǎn)和二個(gè)極點(diǎn)的頻率特性。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 按照 ()式,由零極點(diǎn)分布,可以確定零極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)特性的影響。 當(dāng) B點(diǎn)轉(zhuǎn)到 極點(diǎn)附近 時(shí),極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度最短,因而幅度特性可能 出現(xiàn)峰值 ,且極點(diǎn)愈靠近單位圓,極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度愈短,峰值愈高愈尖銳。 如果極點(diǎn)在單位圓上,則幅度特性為 ?,系統(tǒng)不穩(wěn)定。 對(duì)于零點(diǎn),情況相反,當(dāng) B點(diǎn)轉(zhuǎn)到 零點(diǎn)附近 ,零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度變短,幅度特性將 出現(xiàn)谷值 ,零點(diǎn)愈靠近單位圓,谷值愈接近零。當(dāng)零點(diǎn)處在單位圓上時(shí),谷值為零。 結(jié)論: 極點(diǎn)位置影響頻響的峰值位置及尖銳程度, 零點(diǎn)位置影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 已知 H(z)=z1, 分析其頻率特性 。 解: 由 H(z)=z1, 極點(diǎn)為 z=0, 幅度特性 |H(e jω)|=1, 相位特性 φ(ω)=ω, 頻響如圖 。 圖 H(z)=z1的頻響 用幾何方法確定:從 ω=0轉(zhuǎn)到 ω=2π時(shí) , 極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度始終為 “ 1”。 該例說(shuō)明 :處于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn) , 由于零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度或者是極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度始終為 “ 1” , 因此 原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的頻率特性 。
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