【正文】 變換，將差分方程換成了代數(shù)方程，使求解過程簡單。 00( ) ( )NNkkkka y n k b x n k??? ? ???左邊 x(n)為因果序列 1 0( ) [ ( ) ] ( ) nnX Z Z T x n x n z????? ?0[ ( ) ] ( ) ( )n m kn m kZ T x n k x n k z x m z z??? ? ?? ? ?? ? ? ???0( ) ( )m k kmx m z z z X Z?? ? ?????71 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 利用 Z變換解差分方程 右邊 y(n)為任意序列 2 0( ) [ ( ) ] ( ) nnY Z Z T y n y n z????? ?0[ ( ) ] ( ) ( )n m kn m kZ T y n k y n k z y m z z??? ? ?? ? ?? ? ? ???10( ) ( )m k m km m ky m z z y m z z??? ? ? ?? ? ?????1[ ( ) ( ) ]kmmKz Y Z y m z??????? ?72 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 利用 Z變換解差分方程 100[ ( ) ( ) ] ( )NMk m kkkk m k ka z Y Z y m z b z X Z?? ? ?? ? ? ???? ? ? Z變換 X(Z)以及初始值代入 Y(Z)，并利用反 Z變換得到 y(n) 73 ( ) ( 1 ) ( ) ,( ) ( ) , ( 1 ) 2 , ( ) .ny n b y n x nx n a u n y y n? ? ?? ? ?例 ： 已 知 差 分 方 程 其 中 求時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1( ) ( ) ( 1 ) ( )Y Z b z Y Z b y X Z?? ? ? ? Z變換 X(Z)以及初始值代入 ,求出 Y(Z) Z變換得到 y(n) 12 ( )()1b X ZYZbz ????1 1 11( ) 2 ( ) , 0n n ny n b a b nab? ? ?? ? ? ??1 1 121( ) m a x( , )1 ( 1 ) ( 1 )bY Z z a bbz az bz? ? ?? ? ?? ? ? ， 收 斂 域74 利用 Z變換分析頻域特性 線性移不變系統(tǒng) h(n)為單位抽樣響應(yīng)且 y(n)=x(n)*h(n) h(n) x(n) (n) y()( ) ( ) ( ) , ( ) ( )()nnYzY z X z H z H z h n ZXz??? ? ?? ? ? ? ?H(Z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)， 在單位圓上 Z＝ ejw的系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng) H（ ejw） 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 75 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 用系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 因果性： n0， h(n)=0 ( ) ( ) nnH Z h n z??? ? ?? ?收斂域包含無窮大點(diǎn) 收斂域包含單位圓 穩(wěn)定性： ()nhn?? ?????收斂域包含 無窮大點(diǎn)和 單位圓 76 [例 ] 已知 分析其 因果性和穩(wěn)定性 211( ) , 0 1( 1 ) ( 1 )aH z aa z a z??? ? ???時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1az? ? ? ?1 ） 收 斂 域 為對應(yīng)的是因果系統(tǒng)，但不是穩(wěn)定系統(tǒng) 0 za??2 ） 收 斂 域 為對應(yīng)的是非因果系統(tǒng)且不穩(wěn)定系統(tǒng) 1a z a ???3 ） 收 斂 域 為對應(yīng)的是非因果系統(tǒng)，但是穩(wěn)定系統(tǒng) 77 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 用系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)的頻率特性 1111( 1 )()()()( 1 )MrrMrrczYzH z AXzdz??????????11()()MrNM RNrrzcAzzd? ???????() 11()()()Mjrj j N M rNjrrecH e A eed????? ???????Re[ ]zIm[ ]jzCr dr CrB drB 11MrrNrrcBAdB?????1111()( ) ,Mrj rNMNrrrrrrcBH e AdB?? ? ? ???????? ????78 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 用系統(tǒng)函數(shù)分析系統(tǒng)的頻率特性 Re[ ]zIm[ ]jzCr dr CrB drB 11()Mrj rNrrcBH e AdB? ?????極點(diǎn)矢量長度最短，愈靠近單位圓，幅度峰值愈高 零點(diǎn)矢量長度最短，愈靠近單位圓，幅度谷值愈低 79 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 80 0000001111( ) ( )( ) ( )()()()( 1 )( 1 )MMkmkmMMkmkmkmMmmmNkkkMmmMkka y n k b x n ma z Y z b z X zbzYzHzXzazczKdz??????????????? ? ???????????????時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 81 時域 f(t) 頻域 F（ w) ( ) ( ) jwtF w f t e dt?????? ?傅 里 葉 變 換 ：時域 f(t) 復(fù)域 F（ w) ( ) ( ) stF s f t e dt?????? ?拉 普 拉 斯 變 換 ：時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 82 0nnnC Z Z ZXZZ????? +＝阿 貝 爾 定 理 （ Abel ） ：如 果 級 數(shù) 當(dāng) 收 斂 ， 則 適 合 不 等 式的 一 切 使 之 絕 對 收 斂 。Re[ ]zIm [ ]jzz?0nnnZXZ Z Z?????阿 貝 爾 定 理 （ ） ：如 果 級 數(shù) 當(dāng) 收 斂 ， 則 適 合 不 等 式的 一 切 使 之 絕＝對 收 斂 。Re[ ]zIm [ ]jzz?時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 83 4Z) 4Z+Z + — Z + — Z + — Z + 2 4 1 3 1 16 4 5 1 64 ... 16 Z 16 Z 4 Z 2 4 Z 4 Z Z Z Z — Z — Z — Z — Z — Z 2 2 3 3 3 1 4 1 4 1 4 4 4 4 1 16 5 5 1 16 . .. 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 84 Z — ) Z 1 4 1+ — Z + — Z + — Z 1 4 1 1 16 2 1 64 3 ... Z — 1 4 — 1 4 — 1 4 — Z 1 16 1 — Z 1 16 1 — Z 1 16 1 — Z 1 64 2 — Z 1 64 2 — Z 1 64 2 —— Z 1 256 3 —— Z 1 256 3 ... 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 85 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ( ) ( )eex n x n???共軛對稱序列 實(shí)部是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù)。 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )e e r e ie e r e ix n x n j x nx n x n j x n???? ? ? ? ?( ) ( )oox n x n?? ? ?共軛反對稱序列 實(shí)部是奇函數(shù)， 虛部是偶函數(shù)。 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )o o r o io o r o ix n x n jx nx n x n jx n???? ? ? ? ? ? ?例：判斷 x(n)=ejwn的對稱性。 86 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 一般序列可用共軛對稱和共軛反對稱序列之和表示 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )eoeoeox n x n x nx n x n x nx n x n? ? ???? ? ? ? ???1( ) [ ( ) ( ) ]21( ) [ ( ) ( ) ]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ?( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )j j jeoj j jeojjeoX e X e X eX e X e X eX e X e? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???????1( ) [ ( ) ( ) ]21( ) [ ( ) ( ) ]2j j jej j joX e X e X eX e X e X e? ? ?? ? ?????????87 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ( ) ( ( ) ) ( )N Nx n x n x n N? 為 周 期 的 拓 延1 0 1 2 3 4 5 x(n) n 1/2 3/2 3 5/2 3/2 若 N序列的點(diǎn)數(shù)，則補(bǔ)零拓延 N＝ 6 1 0 1 2 3 4 5 x(n) n 1/2 3/2 3 5/2 3/2 3 若 N序列的點(diǎn)數(shù)，則混疊拓延