【正文】 將上面兩式分別進(jìn)行 FT， 得： FT［ xe(n)］ =1/2［ X(ejω)+X*(ejω)］ = Re［ X(ejω)］ = XR(ejω) FT［ xo(n)］ =1/2［ X(ejω) X*(ejω)］ = jIm［ X(ejω)］ = jXI(ejω) 因此對(duì) ()式進(jìn)行 FT得到： X(ejω) = XR(ejω)+jXI(ejω) () 結(jié)論 ： x(n) = xe(n) + xo(n) ? ? ? X(ejω) = XR(ejω) + jXI(ejω) 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) x(n) = xe(n) + xo(n) ? ? ? X(ejω) = XR(ejω) + jXI(ejω) x(n) = xr(n) + jxi(n) ? ? ? X(e jω) = Xe(e jω) + Xo(e jω) 利用 FT的對(duì)稱性 ， 可得以下四個(gè)結(jié)論： （ 1） x(n)為 實(shí)序列 （ xi(n)=0） ， 得 X(ejω) = Xe(ejω)為共軛對(duì)稱函數(shù) ， 即 X(ejω) = X*(ejω) （ 2） x(n)為 實(shí)偶序列 （ xi(n)=0且 x(n)= x(n)， x0(n)=0） ，得 X(ejω)為實(shí)偶函數(shù) ， 即 X(ejω) = X(ejω) （ 3） x(n)為 實(shí)奇序列 （ xi(n)=0且 x(n)= x(n)， xe(n)=0） ，得 X(ejω)為純虛奇對(duì)稱函數(shù) ， 即 X(ejω) = X*(ejω)=X(ejω) （ 4） x(n)為 實(shí)因果序列： x(n)= xe(n) +xo(n) ， ?????????0, 00, )(0),(2)(nnnxnnxnx ee或： ?????????0, 00, )0(0),(2)(nnxnnxnxox e(n)=1/2[x(n)+ x(n)] x o(n)=1/2[x(n) x(n)] 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 對(duì) 實(shí)因果序列 ， 只要知道 XR(ejω) ， 就可求得 x(n)，過(guò)程如下： 已知 ： XR(ejω)=FT[xe(n)] ? xe(n) ? x(n) ? X(ejω) 已知 XI(ejω)和 x(0) ： jXI(ejω) ? xo(n) ? x(n) ? X(ejω) ? 對(duì)實(shí) 因果 序列：其傅里葉變換 X(ejω)的實(shí)部包含了X(ejω)或 x(n)的全部信息，即 X(ejω) 中有冗余信息。 對(duì)比兩式，得： 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 共軛反對(duì)稱序列的 性質(zhì) ： 將 x0(n) 用實(shí)部與虛部表示： xo(n) = xor(n)+jxoi(n) 得： xor(n) = xor(n) () xoi(n) = xoi(n) () ? 共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù) ， 而虛部是偶函數(shù) 。 ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ?由于 FT的周期性，一般 只分析 177。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 【 例 】 設(shè) x(n)=RN(n)，求 x(n)的傅里葉變換。第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 引言 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式 時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬 信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系 序列的 Z變換 利用 Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 序列傅里葉變換的定義 定義 ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ?() 為序列 x(n)的傅里葉變換 ， 用 FT(Fourier Transform)表示 。 解 當(dāng) N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率 ω的變化曲線如圖 。 π或 0~2π之間的 FT 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 2. 線性 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )],[ ( ) ( )] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?則 設(shè) 式中 a, b為常數(shù)。 定義： 滿足下式的序列稱 共軛反對(duì)稱序列： xo(n) = x*o(n) () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) ? 一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示 ， 即： x(n) = xe(n)+xo(n) () xe(n), xo(n)可以分別用原序列 x(n)求出 將 ()式中的 n用 n代替 ， 再取共軛得到： x*(n) = xe(n)xo(n) () 比較兩式 ， 得 ： 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ?() () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) 在頻域 ， 函數(shù) X(ejω)也有類似的概念和結(jié)論： X(ejω) = Xe(ejω)+Xo(ejω) () 共軛對(duì)稱部分 Xe(ejω)和共軛反對(duì)稱部分 Xo(ejω) 滿足： Xe(ejω) =X*e(ejω) () Xo(ejω) = X*o(ejω) () 同樣有下面公式： 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2j j jej j joX e X e X eX e X e X e? ? ?? ? ?????????() () 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) FT的對(duì)稱性 (a) 將序列 x(n)分成實(shí)部 xr(n)與虛部 xi(n) x(n) = xr(n) + jxi(n) 進(jìn)行 FT， 得： X(e jω) = Xe(e jω) + Xo(e jω) 式中 xr(n)和 xi(n)都是實(shí)數(shù)序列 。 第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] x(n)=anu(n)， 0a1， 求其偶函數(shù) xe(n) 和奇函數(shù) xo(n)。 因此 求系統(tǒng)的輸出 信號(hào)， (1)可以在時(shí)域用卷積公式 ()； (2)可以在頻域按照 ()式，求出輸出的 FT，再作逆 FT求出輸出信號(hào)。 這里頻域總能量是指 |X(e jω)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以1/(2π)。 ~()xn() 兩式構(gòu)成一對(duì) DFS。 () () 21~ ~ ~021~ ~ ~0( ) [ ( ) ] ( )1( ) [ ( ) ] ( )Nj k nNnNj k nNnX k D FS x n x n ex k I D FS x k x k eN??????????????第 1章 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng) [例 ] 設(shè) x(n)=R4(n)， 將 x(n)以 N=8為周期進(jìn)行周期延拓 ， 得到如圖 (a)所示的周期序列 ，周期為 8， 求 DFS［ ］ 。 由于 不滿足絕對(duì)可和條件， 因此對(duì)周期序列求 FT時(shí)，要先計(jì)算 ，再計(jì)算 X(e jω) 。 00( ) [ ] 2 ( 2 )jnjrX e F T e r?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ()