【正文】 jxi(n) ? ? ? X(e jω) = Xe(e jω) + Xo(e jω) 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) (b) 將序列分成共軛對稱部分 xe(n)和共軛反對稱部分 xo(n)， 即： x(n) = xe(n)+xo(n) () 由 ()式和 ()式： 1( ) [ ( ) ( )]21( ) [ ( ) ( )]2eox n x n x nx n x n x n??? ? ?? ? ? 將上面兩式分別進行 FT， 得： FT［ xe(n)］ =1/2［ X(ejω)+X*(ejω)］ = Re［ X(ejω)］ = XR(ejω) FT［ xo(n)］ =1/2［ X(ejω) X*(ejω)］ = jIm［ X(ejω)］ = jXI(ejω) 因此對 ()式進行 FT得到： X(ejω) = XR(ejω)+jXI(ejω) () 結(jié)論 ： x(n) = xe(n) + xo(n) ? ? ? X(ejω) = XR(ejω) + jXI(ejω) 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) x(n) = xe(n) + xo(n) ? ? ? X(ejω) = XR(ejω) + jXI(ejω) x(n) = xr(n) + jxi(n) ? ? ? X(e jω) = Xe(e jω) + Xo(e jω) 利用 FT的對稱性 ， 可得以下四個結(jié)論： （ 1） x(n)為 實序列 （ xi(n)=0） ， 得 X(ejω) = Xe(ejω)為共軛對稱函數(shù) ， 即 X(ejω) = X*(ejω) （ 2） x(n)為 實偶序列 （ xi(n)=0且 x(n)= x(n)， x0(n)=0） ，得 X(ejω)為實偶函數(shù) ， 即 X(ejω) = X(ejω) （ 3） x(n)為 實奇序列 （ xi(n)=0且 x(n)= x(n)， xe(n)=0） ，得 X(ejω)為純虛奇對稱函數(shù) ， 即 X(ejω) = X*(ejω)=X(ejω) （ 4） x(n)為 實因果序列： x(n)= xe(n) +xo(n) ， ?????????0, 00, )(0),(2)(nnnxnnxnx ee或： ?????????0, 00, )0(0),(2)(nnxnnxnxox e(n)=1/2[x(n)+ x(n)] x o(n)=1/2[x(n) x(n)] 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 對 實因果序列 ， 只要知道 XR(ejω) ， 就可求得 x(n)，過程如下： 已知 ： XR(ejω)=FT[xe(n)] ? xe(n) ? x(n) ? X(ejω) 已知 XI(ejω)和 x(0) ： jXI(ejω) ? xo(n) ? x(n) ? X(ejω) ? 對實 因果 序列：其傅里葉變換 X(ejω)的實部包含了X(ejω)或 x(n)的全部信息，即 X(ejω) 中有冗余信息。 所以：一個周期序列可以用其 DFS表示它的頻譜分布規(guī)律 。 在極點處 Z變換不存在 ， 因此收斂域中沒有極點 ， 收斂域由極點限定其邊界 。 從 X(z)的分母看到 z=1似乎是 X(z)的極點 ， 但同時分子多項式在 z=1時也有一個零點 ， 極零點對消 ， X(z)在單位圓上仍存在 。 即： N(M+n–1)≥2 ? ? NMn≥1 () 設(shè) X(z)=P(z)/Q(z)，則 P(z)與 Q(z)分別是 M與 N階多項式 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 11R e [ ( ) , ] ( ) ( )knnk k z zs X z z z z z X z z?? ?? ? ?() 如果 zk是 N階極點 ， 則 : 11111R e [ ( ) , ] [( ) ( ) ]( 1 ) ! kNn N nk k z zNds X z z z z z X z zN d z??????? ?() ? 求極點留數(shù)的方法： 如果 zk是單階極點 ， 則 : 如果 c內(nèi)有多階極點 ， 而 c外沒有多階極點 ， 可以根據(jù)留數(shù)輔助定理 ()改求 c外的所有極點留數(shù)之和 ， 使問題簡化 。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按 n≥0和 n0兩種情況分別求 x(n) n≥0時， c內(nèi)只有 1個極點： z=a, x(n)=Res［ F(z), a］ =an n0時 ， c內(nèi)極點有 2個 ， 其中 z=0是 n階極點 ， 改求 c外極點留數(shù) ， c外極點只有 z=a－ 1， 因此 x(n)=－ Res［ F(z), a－ 1］ =a－ n 最后將 x(n)表示為 x(n)=a|n| 0()0nnanxnan?? ???? ???第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) Z 變換的性質(zhì)和定理 1. 線性 設(shè) X(z)=ZT［ x(n)］ , Rx |z| Rx+ Y(z)=ZT［ y(n)］ , Ry |z| Ry+ 則 ZT［ a x(n)+b y(n) ］ =aX(z)+bY(z), R m|z|R m+ () 其中： Rm+= min［ Rx+ ,Ry+］ Rm= max［ Rx ,Ry］ 即 Z變換的收斂域 (Rm， Rm+)是 X(z)和 Y(z)的公共收斂域 ，若無公共收斂域則 Z變換不存在 。 (1)收斂域 a1|z|≤∞， 對應的系統(tǒng)是因果系統(tǒng) ， 但由于收斂域不包含單位圓 ， 因此是不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 將 ()式分子分母變?yōu)檎齼绱?， 得： 00()()()MiiiNiiibzYzHzXzaz????????() 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 11() 11()()()()()()MrNM rNrrMjrj j N M rNjrrzcH z AzzdecH e Aeed????? ??? ????????????設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將 z=e jω，得到頻率響應函數(shù)： () () 若 N=M， 則： () 第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) jrrjrrc B e cd B e d?????? 和 分別稱為零點矢量和極點矢量 ， 將它們用 極坐標表： rcB rdB 表示式代入 ()式 ， 得： rcB rdBrcBrdB 在 z平面上 ， ejωcr用一條由零點 cr指向單位圓上 ejω點 B的向量 表示；同樣 ejωdr用由極點指向 ejω點 B的向量 表示 ， 如圖所示 。 圖 H(z)=z1的頻響 用幾何方法確定：從 ω=0轉(zhuǎn)到 ω=2π時 ， 極點矢量的長度始終為 “ 1”。 ? 這種非因果但穩(wěn)定系統(tǒng)的近似實現(xiàn)性，是數(shù)字信號處理技術(shù)比模擬信息處理技術(shù)優(yōu)越的地方。 如果 系統(tǒng)因果且穩(wěn)定 ， 收斂域包含 ∞點和單位圓 ， 那么收斂域可表示為： r|z|≤∞， 0r1 ? 系統(tǒng)因果且穩(wěn)定， H(z)的極點集中在單位圓的內(nèi)部。當 n≥0時， F(z)在 c內(nèi)有兩個極點： z=a和 z=a－ 1，因此 2111()( 1 ) ( 1 )naF z za z a z??????211( ) ( )na za z a z a ???? ? ?第 1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng) 最后表示成： x(n)=(an－ a－ n)u(n)。 第二部分收斂域為|az－ 1|1, 得到 |z||a|。 x(n) n1≤n≤n2 x(n)= 0 其它 其 Z變換為： 21( )