【正文】 2022/8/31 1 第三章 函 數(shù) 函數(shù) 函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 逆函數(shù) 集合的基數(shù) 2022/8/31 2 函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展 ? 函數(shù)概念的起源 函數(shù)概念的萌芽，可以追溯到古代對(duì)圖形軌跡的研究，隨著社會(huì)的發(fā)展，人們開(kāi)始逐漸發(fā)現(xiàn)，在所有已經(jīng)建立起來(lái)的數(shù)的運(yùn)算中，某些量之間存在著一種規(guī)律：一個(gè)或幾個(gè)量的變化，會(huì)引起另一個(gè)量的變化，這種從數(shù)學(xué)本身的運(yùn)算中反映出來(lái)的量與量之間的相互依賴關(guān)系，就是函數(shù)概念的萌芽。在代數(shù)學(xué)的方程理論中，對(duì)不定方程的求解，使得人們對(duì)函數(shù)概念逐步由模糊趨向清晰。 2022/8/31 3 ? 函數(shù)概念的產(chǎn)生 恩格斯指出： “ 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué) ” 。笛卡兒在1637年出版的 《 幾何學(xué) 》 中，第一次涉及到變量，他稱(chēng)為 “ 未知和未定的量 ” ，同時(shí)也引入了函數(shù)的思想 。 英國(guó)數(shù)學(xué)家格雷果里在 1667年給出的函數(shù)的定義，被認(rèn)為是函數(shù)解析定義的開(kāi)始。他在 “ 論圓和雙曲線的求積 ” 中指出：從一些其他量經(jīng)過(guò)一系列代數(shù)運(yùn)算或任何其他可以想象的運(yùn)算而得到的一個(gè)量。這里的運(yùn)算指的是五種代數(shù)運(yùn)算以及求極限運(yùn)算，但這一定義未能引起人們的重視。 一般公認(rèn)最早給出函數(shù)定義的是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲，他在1673年的一篇手稿中，把任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的幾何量，如切線、法線、點(diǎn)的縱坐標(biāo)都稱(chēng)為函數(shù)；并且強(qiáng)調(diào)這條曲線是由一個(gè)方程式給出的。 2022/8/31 4 ? 函數(shù)概念的擴(kuò)張 函數(shù)概念被提出后，由于微積分學(xué)的發(fā)展，函數(shù)概念也不斷進(jìn)行擴(kuò)張，日趨深化。致使函數(shù)概念日趨精確化、科學(xué)化。函數(shù)概念在發(fā)展過(guò)程中，大致經(jīng)過(guò)了以下六個(gè)階段的擴(kuò)張。 2022/8/31 5 ? 第一次擴(kuò)張主要是解析擴(kuò)張，提出了 “ 解析的函數(shù)概念 ” 。 瑞士數(shù)學(xué)家約翰．伯努利于 1698年給出了函數(shù)新的定義：由變量 x和常量用任何方式構(gòu)成的量都可以叫做 x的函數(shù)。這里的 “ 任何方式 ” 包括了代數(shù)式子和超越式子。 1748年歐拉在 《 無(wú)窮小分析引論 》 中給出的函數(shù)定義是： “ 變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是由這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的 ” 。 1734年歐拉還曾引入了函數(shù)符號(hào) ，并區(qū)分了顯函數(shù)和隱函數(shù)、單值函數(shù)和多值函數(shù)、一元函數(shù)和多元函數(shù)。 2022/8/31 6 ?函數(shù)概念的第二次擴(kuò)張是從幾何方而的擴(kuò)張，提出了“ 幾何的函數(shù)概念 ” 。 十八世紀(jì)中期的一些數(shù)學(xué)家發(fā)展了萊布尼茲將函數(shù)看作幾何量的觀點(diǎn)，而把曲線稱(chēng)為函數(shù) (因?yàn)榻馕霰磉_(dá)式在幾何上表示為曲線 )。 2022/8/31 7 ?函數(shù)概念的第三次擴(kuò)張，樸素地反映了函數(shù)中的辯證因素，體現(xiàn)了 “ 自變 ” 到 “ 因變 ” 的生動(dòng)過(guò)程。形成了 “ 科學(xué)函數(shù)定義的雛型 ” 。 在這次函數(shù)概念的擴(kuò)張中，十九世紀(jì)最杰出的法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在 1821年所著的 《 解析教程 》 中，給出了如下函數(shù)定義： “ 在某些變量間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量的值，其他變量的值也隨之確定，則將最初的變量稱(chēng)為自變量，其他各個(gè)變量稱(chēng)為函數(shù) ” 。 這個(gè)定義把函數(shù)概念與曲線、連續(xù)、解析式等糾纏不清的關(guān)系給予了澄清，也避免了數(shù)學(xué)意義欠嚴(yán)格的 “ 變化 ” 一詞。函數(shù)是用一個(gè)式子或多個(gè)式子表示，甚至是否通過(guò)式子表示都無(wú)關(guān)要緊。 2022/8/31 8 ? 函數(shù)概念的第四次擴(kuò)張，可稱(chēng)為 “ 科學(xué)函數(shù)定義 ” 進(jìn)入精確化階段。 德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷于 1837年給出了函數(shù)定義： “ 若對(duì) x(a≤x≤b) 的每一個(gè)值， y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，不管建立起這種對(duì)應(yīng)的法則的方式如何，都稱(chēng) y是 x的函數(shù) ” 。 這一定義徹底地拋棄了前面一些定義中解析式的束縛，強(qiáng)調(diào)和突出函數(shù)概念的本質(zhì)，即對(duì)應(yīng)思想，使之具有更加豐富的內(nèi)涵。因而，此定義才真正可以稱(chēng)得上是函數(shù)的科學(xué)定義，為理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了方便。 為使函數(shù)概念適用范圍更加廣泛，人們對(duì)函數(shù)定義作了如下補(bǔ)充：“ 函數(shù) y=f(x)的自變量，可以不必取 [a,b]中的一切值，而可以僅取其任一部分 ” ，換句話說(shuō)就是 x的取值可以是任意數(shù)集，這個(gè)集合中可以有有限個(gè)數(shù)、也可以有無(wú)限多個(gè)數(shù)，可以是連續(xù)的、也可以是離散的。這樣就使函數(shù)成了一個(gè)非常廣泛的概念。 2022/8/31 9 ? 函數(shù)概念的第五次擴(kuò)張，提出了 “ 近代函數(shù)定義 ” 。 美國(guó)數(shù)學(xué)家維布倫的函數(shù)定義，這個(gè)定義是建立在重新定義變量、變域和常量的基礎(chǔ)上的。 所謂變量，是代表某集合中任意一個(gè) “ 元素 ” 的記號(hào)，由變量所表示的任一元素，稱(chēng)為該變量的值。變量 x代表的 “ 元素 ” 的集合 ,為該變量的變域，而常量是上述集合中只包含一個(gè) “ 元素 ” 情況下的特殊變量。這樣的變量與常量的定義，比原來(lái)的定義更趨一般化了，而且克服了以往變量定義的缺陷，變量 “ 變動(dòng) ” 改進(jìn)為變量在變域（集合）中代表一個(gè)元素。 利用這一變量的定義，維布倫給出了近代函數(shù)定義： “ 設(shè)集合 X、 Y，如果 X中每一個(gè)元素 x都有 Y中唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)，那么我們就把此對(duì)應(yīng)叫做從集合 X到集合 Y的映射 ,記作 f： X?Y， y=f(x)”。 從 “ 數(shù)集 ” 到 “ 集 ” 僅一字之差，但含意卻大不相同。從而使函數(shù)概念擺脫了數(shù)的束縛，使得函數(shù)概念能廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支及其它學(xué)科中。 2022/8/31 10 ? 函數(shù)概念的第六次擴(kuò)張，提出了 “ 現(xiàn)代函數(shù)定義 ” 。 19世紀(jì)康托爾創(chuàng)建了集合論，函數(shù)概念進(jìn)入了集合論的范疇，使函數(shù)概念純粹地使用集合論語(yǔ)言進(jìn)行定義。 在這種情形下，函數(shù)、映射又歸結(jié)為一種更為廣泛的概念 —— 關(guān)系。 這就是現(xiàn)代的函數(shù)定義，它在形式上回避了 “ 對(duì)應(yīng) ” 術(shù)語(yǔ)，使用的全部是集合論的語(yǔ)言，一掃原來(lái)定義中關(guān)于 “ 對(duì)應(yīng) ” 的含義存在著的模糊性，而使函數(shù)念更為清晰、正確，應(yīng)用范圍更加廣泛了 。 2022/8/31 11 函數(shù) 一、 函數(shù)的概念 1. 函數(shù) 例 １ .設(shè) A＝ {1, 2, 3, 4},B={2, 3, 4, 5, 6},A到 B的關(guān)系 ?={(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4)} 定義 設(shè)有集合 A、 B， f是一由 A到 B的關(guān)系 ， 如果對(duì)于每一個(gè) a?A， 均存在唯一的 b?B， 使得 afb（ 或 (a,b)?f） ， 則稱(chēng)關(guān)系 f是由 A到 B的一個(gè)函數(shù) 。 記作 f：A→B。 2022/8/31 12 ? 例 2 對(duì)例 1中關(guān)系 ?的序偶進(jìn)行調(diào)整或修改，使 f＝ {(1,2),(2,6),(3,6),(4,4)} 或 g={(1,3),(2,2),(3,6),(4,5)} 則 f和 g都是由 A到 B的函數(shù)。 若 f是一由 A到 B的函數(shù)，且 (a,b)?f，則常記作 f(a)=b。 2022/8/31 13 ２ . 函數(shù)的定義域和值域 函數(shù)的定義域 Df=A,而不會(huì)是 A的真子集 。 函數(shù)的值域滿足 Rf ? f,常將 Rf記作 f(A)。 即 f(A)=Rf ={b|b∈ B且存在 a∈ A使 f(a)=b} 例如 例 2中 f (2)=6, f (4)=4, g (1)=3, g