【正文】 圓 周 卷 積 才 有 此 性 質(zhì) . ? 注 意 第 二 個 關(guān) 系 中 的 系 數(shù) , 不 要 忽 略。)39。239。()39。 ? 若 x1(n)和 x2(n)長度不等 ,設(shè) x1(n)長度為 N1,x2(n)長度為 N2,則 ax1(n)+bx2(n)的長度應(yīng)為N=max[N1,N2],故 DFT必須按長度 N計算。 二、 DFT的性質(zhì)和定理分類 （ 1）線 性 （ 2）時 間 移 位 （ 3）頻 率 移 位 （ 4）圓 周 卷 積 定 理 （ 5）圓 周 相 關(guān) 定 理 （ 6) 對 稱 性 質(zhì) (7) DFT形式的帕賽瓦爾定理能量計算公式 (8) DFT 的 奇 , 偶 , 虛 , 實 關(guān) 系 三、假設(shè)條件 ? 設(shè) x1(n)， x2(n)都是兩個長度為 N的有限長序列 ,它們的離散付里時變換分別為 )]([)( 11 nxD F TkX ?)]([)( 22 nxD F TkX ?四、性質(zhì) （ 1）線性 ? x1(n),x2(n)的線性組合有： ? 其中 a,b為任一常數(shù)，本性質(zhì)可由定義直接證明。相關(guān)通信中很重要。 (d)圓 周 共 軛 對 稱 分 量 和 圓 周 共 軛 反 對 稱 分 量 x(n)是長度為 N的有限長序 列 ,可表示成一圓周共軛反 對稱序列 xop(n)+一圓周共軛對稱序列 xep(n). 即 x(n)=xep(n)+xop(n) )(]))(())(([21)()(]))(())(([21)(**nRnNxnxnxnRnNxnxnxNNopNNNep??????看 出 滿 足 圓 周 奇 對 稱 和 圓 周 偶 對 稱 的 條 件 , 且 二 者 之 和 為 x(n). 其中： xop(n)稱為 x(n)的圓周共軛反對稱分量 。 xep(n)稱 為 x(n) 的 圓周偶對稱分量 . (c)共軛對稱分量和共軛反對稱分量 x(n) =共軛對稱序列 xo(n)+共軛反對稱序列 xe(n) 即 x(n)= xo(n)+ xe(n). 其中 , xo(n)又稱為 x(n) 的 共軛反 對 稱分量 。 圓 周 共 軛 反 對 稱 (序 列 )例子 實 部 圓 周奇 對 稱 , 虛 部 圓 周 偶 對 稱 實部 虛部 (2) 序列的對稱分量 (a)奇 對 稱 分 量 和 偶 對 稱 分 量 (b)圓 周 奇 對 稱 分 量 和 圓 周 偶 對 稱 分 量 (c)共 軛 對 稱 分 量 和 共 軛 反 對 稱 分 量 (d)圓 周 共 軛 對 稱 分 量 和 圓 周 共 軛 反 對 稱 分 量 (a)奇 對 稱 分 量 和 偶 對 稱 分 量 1( ) [ ( ) ( ) ]21( ) [ ( ) ( ) ]2oex n x n x nx n x n x n? ? ?? ? ?1 ( )xn?、任一序列 （實或純虛序列），總可以表示成：序列= 奇對稱序列 偶對稱序列( ) ( ) ( )oex n x n x n??即：( ) ( )oex n x n其中： 為奇對稱序列, 為偶對稱序列( ) ( )( ) ( )oex n x nx n x n 稱 為 序列的奇對稱分量, 為 序列的偶對稱分量。 對 于 實 序 列 來 說 , 這 一 條 件 變 成 xe(n)=xe(n) , 即 為 偶 對 稱 序 列 . (c)共 軛 對 稱 (序列 ) 和 共 軛 反 對 稱 (序 列 ) 共 軛 反 對 稱 序 列 ： 若一序列 x(n),其滿足 xo(n)=x*o(n) , 稱此序列為 共 軛 反 對 稱 序 列 對 于 實 序列 來 說 , 即 為 xo(n)=xo(n) 奇 對 稱 序 列 . 兩序列 x(n) 與 y(n) 若滿足 y(n)=x*(n) 則互為 共 軛 反 對 稱 . (d)圓 周 共 軛 對 稱 (序列 ) 和 圓 周 共 軛 反 對 稱 (序 列 ) N 點 有 限 長 序 列 x(n) 與 x*((n))NRN(n) 互 為 圓 周 共 軛 對 稱 . 圓 周 共 軛 對 稱 序 列 是 滿 足 xep(n) =xep*((n))NRN(n) 即 xep(n)的 模是 圓 周 偶 對 稱 , 輻 角是 圓 周 奇 對 稱 (或 說 實 部 圓 周 偶 對 稱 , 虛 部 圓 周 奇 對 稱 ). 即把 xep(n)看成分布在 N等分的圓上 , 在 n = 0 的左半圓與右半 圓上 , 序列是共軛對稱的。 （ 2）如果此新的序列對 n=N/2是奇對稱，則原序列一定為圓周奇對稱序列。 x(n) 與 x(n) 互 稱 為 偶 對 稱 。 如 x1(n)為 N1點， x2(n)為 N2點 卷積結(jié)果長度 與兩信號長度相等皆為 N 卷積結(jié)果長度為 N=N1+N21 分為： (1)序列的對稱性 (2)序列的對稱分量 (1)序列的對稱性 (a)奇 對 稱 (序 列 ) 和 偶 對 稱 (序 列 ) (b)圓 周 奇 對 稱 (序 列 ) 和 圓 周 偶 對 稱 (序 列 ) (c)共 軛 對 稱 (序列 ) 和 共 軛 反 對 稱 (序 列 ) (d)圓 周 共 軛 對 稱 (序列 ) 和 圓 周 共 軛 反 對 稱 (序 列 ) (a) 奇 對 稱 (序 列 ) 和 偶 對 稱 (序 列 ) 滿 足 xe(n)=xe(n) 的 序 列 xe(n) 稱 為 偶 對 稱 序 列 x(n)與 x(n)互 稱 為 奇對稱 。 解：（ 1） x(n)無需補零加長 x(k)={5,4,3,2,1}, （ 2）將 h(n)補零加長至 N=5，并周期延拓， （ 3）反折得到 :h(k)={1,0,0,3,2} （ 4）作圖表 5 4 3 2 1 結(jié)果1 0 0 3 2 132 1 0 0 3 1 73 2 1 0 0 2 60 3 2 1 0 200 0 3 2 1 1417 13 26 20 14 y(n) n 0 作業(yè) 2 ? P133 第 3， 4， 7， 8, 9, 10題 ? 參看程佩青的光盤中第三章的離散付里葉圖形的測驗第 1第 2題 (3)圓 周 卷 積 與 線 性 卷 積 的 性 質(zhì) 對 比 圓周卷積 線性卷積 是針對 FFT引出的 一種 表示方法 信號通過線性系統(tǒng)時，信號輸出等于 輸入與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積 兩序列長度必須 相等 ， 不等時按要求 補足零值點 。 解：（ 1）將 x(n)補零加長為 x(k)={5,4,3,2,1,0,0}, （ 2）將 h(n)補零加長至 N=7，并周期延拓， （ 3）反折得到 :h(k)={1,0,0,0,0,3,2} （ 4）作圖表 5 4 3 2 1 0 0 結(jié)果1 0 0 0 0 3 2 52 1 0 0 0 0 3 143 2 1 0 0 0 0 2 60 3 2 1 0 0 0 200 0 3 2 1 0 0 50 0 0 3 2 1 0 80 0 0 0 3 2 1 3結(jié)果同上。 并求出線卷積，畫圖。 ??????????10102)()()]([)(NnnkNNnnkNjWnxenxnxD F TkX???????????10102)()(1)]([)(NknkNNknkNjWkXekXNkXI D F Tnx?注意 ? 在 離 散 傅 里 葉 變 換 關(guān) 系 中 , 有 限 長 序 列 都 作 為 周 期 序 列 的 一 個 周 期 來 表 示 , 都 隱 含 有 周 期 性 意 義 . 三、 DFT涉及的基本概念 1. 主 值 (主值區(qū)間、主值序列 ) 2. 移 位 (線性移位、圓周移位 ) 3. 卷 積 (線性卷積、圓周卷積 ) 4. 對 稱 (序列的對稱性、序列的對稱分量 ) 5. 相 關(guān) (線性相關(guān)、圓周相關(guān) ) 1. 主 值 (主值區(qū)間、主值序列 ) ( ) , 0 1 ,( ) , , :01x n n Nx n NnN? ? ???設(shè)有限長序列將其延拓為周期序列主值區(qū)周期序列長度為 則區(qū)間稱為間:主值區(qū)間.( ) , 0 1 ,( ) , , :01x n n Nx n NnN? ? ???: 設(shè)有限長序列將其延拓為周期序列 周期序列長度為 則在 主值區(qū)間內(nèi)的序列稱主值序列主為 值序列 . ? 線 性 移 位： 序 列 沿 坐 標(biāo) 軸 的 平 移 . ? 圓周移位： 將 有 限 長 序 列 x(n) 以 長 度 N 為 周 期 , 延 拓 為 周 期 序 列 , 并 加 以 線 性 移 位 后 , 再 取 它 的 主 值 區(qū) 間 上 的 序 列 值 , m 點 圓 周 移 位 記 作 : )())(()( nRmnxnx NNm ???其 中 ((...))N 表 示 N 點 周 期 延 拓 . (1)有 限 長 序 列 圓 周 移 位 的 實 現(xiàn) 步 驟 (2)例子 1 2 1 3 1 (1)周期延拓： N=5時 n x(n) 2 1 3 1 x(n) 2 1 3 1 1 1 2 n (2)周期延拓： N=6 時，補零加長 2 1 3 1 x(n) 2 1 3 1 1 1 2 3 n 3 2 1 3 1 n x(n) (3)m=1時，左移 (取主值 ) 1 3 1 x(n) 2 (4)m=2時，右移 (取主值 ) 2 1 3 1 n x(n) n 積 ? 卷積在此我們主要介紹： ? (1)線性卷積 ? (2)圓周卷積 ? (3)圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對比 (1)線性卷積 ? 線 性 卷 積 定 義：有 限 長 序 列 x1(n),0≤n≤N11。 頻域 ： )(~)(~)(~ 21 kXkXkY ?????????????10121021)(~)(~)(~)(~)](~[)(~NmNmmnxmxmnxmxkYI D F Sny則有： 相乘 時域卷積 證明： )(~)(~)(~1)(~)(~)(~1)(~21011010)(21)(210101mnxmxWkXNmxWkXmxNnyNmNmNkkmnNkmnNNkNm???????????? ?? ???????????????knNNkWkXkXNkXkXI D F Sny??????102121)(~)(~1)]~)(~