[信息與通信]第三章周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示-文庫(kù)吧資料
2025-02-20 17:36本頁(yè)面
【正文】 21() j r nNrnNa x n eN??? ? ?? ?21() j k nNknNa x n eN??? ? ?? ?即 或 對(duì)實(shí)信號(hào)同樣有 ： kkaa???kkaa ?? kkaa ???RR? ? ? ?R e R ekkaa ?? ? ? ? ?I m I mkkaa ??? 顯然上式滿足 ，即 也是以 為周期的，或者說 中只有 個(gè)是獨(dú)立的 。 [ ] [ ]k k r Nnn?? ? ? 這個(gè)級(jí)數(shù)就稱為 離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（ DFS） ， 其中 也稱為周期信號(hào) 的頻譜。 TtxTtxtg ????將其微分后，可利用例 1表示為 設(shè) ( ) ( ) ( )F F Fk k kx t a g t c g t b?? ?? ? ?? ? ??由時(shí)域微分性質(zhì)有 0kkb j k c??根據(jù)時(shí)移特性，有 0 1 0 1 012 s i nj k T j k Tk k kb a e e j a k T?? ????? ? ???由例 1知 1/kaT? 02/ T???0 1 0 110 0 0 12 s i n s i n2kkb k T k TTcj k k T T k T??? ? ?? ? ? ?()gt?1 t0 … … 1T?1T? 1TT?1TT??Fourier Series Representation of DiscreteTime Periodic Signals 一 .離散時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù) （ DFS） DiscreteTime Fourier Series 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示 0 , 1 , 2 ,n ? ? ?0 ( 2 / )[] j k n j k N nk n e e? ?? ? ? 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào) ，它們的公共周期為 N。 Gibbs現(xiàn)象表明： Properties of ContinuousTime Fourier Series 連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)（ CFS）的性質(zhì) 學(xué)習(xí)這些性質(zhì)，有助于對(duì)概念的理解和對(duì)信號(hào)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開。超量的幅度不會(huì)隨所取項(xiàng)數(shù)的增加而減小。 幾個(gè)不滿足 Dirichlet條件的信號(hào) 三 .Gibbs現(xiàn)象 滿足 Dirichlet 條件 的信號(hào)，其傅里葉級(jí)數(shù)是如 何收斂于 的。它們都是傅里葉級(jí)數(shù)收斂的 充分條件 。 ③ 在任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。 2. Dirichlet條件： ① ，在任何周期內(nèi)信號(hào)絕對(duì)可積。 在一個(gè)周期內(nèi)能量有限， 一定存在。 一 . 傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)信號(hào)的最佳近似 Convergence of the Fourier series 若 以 為周期 0() j k tkkx t a e ??? ??? ? 002T?? ?()xt0T用有限個(gè)諧波分量近似 時(shí)，有 ()xt0()Nj k tNkkNx t a e ???? ?誤差為 ( ) ( ) ( )NNe t x t x t?? 以均方誤差作為衡量誤差的準(zhǔn)則，其均方誤差為 2211( ) ( ) ( ) ( )N N NTTE t e t d t x t x t d tTT? ? ???00*1( ) ( )NNjk t jk tkkTk N k Nx t a e x t a e d tT ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ????于是： 2 212) ( ) c o s ( )NNN k k k k kTk N k NE t x t d t A A BTT ??? ? ? ?? ? ? ????（結(jié)論：在均方誤差最小的準(zhǔn)則下，傅里葉級(jí)數(shù) 是對(duì)周期信號(hào)的最佳近似。 ka k表明： 偶信號(hào)的 是關(guān)于 的偶函數(shù)、實(shí)函數(shù)。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。 2. 當(dāng) 改變， 不變時(shí)，隨 使占空比減小， 譜線間隔不變，幅度下降 。 稱為占空比 ka ()xt 102TT0 ???()Sa x1?x0121?sin ( )cx1x110212TT ?10214TT ?10218TT ?不變 時(shí) 0T 1T?10212TT ?10214TT ?10218TT ?1T不變 時(shí) 0T?周期性矩形脈沖信號(hào)的頻譜特征： 1. 離散性 2. 諧波性 3. 收斂性 考查周期 和脈沖寬度 改變時(shí)頻譜的變化： 0T 12T1. 當(dāng) 不變，改變 時(shí)，隨 使占空比減小， 譜線間隔變小，幅度下降 。 四 .連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的確定 00 ()() j n t j k n tkkx t e a e?????? ? ?? ?對(duì)兩邊同時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)積分，有 00 ()00()TT j n t j k n tkkx t e d t a e d t?????? ? ?? ???()xt0( ) ,j k tkkx t a e ??? ? ?? ? 02T?? ? 則有 如果周期信號(hào) 可以表示為傅里葉級(jí)數(shù) 0() 000 0 0c os( ) si n( )T T Tj k n te dt k n t dt j k n t dt? ??? ? ? ? ?? ? ?00 ()T j n tnx t e d t a T????? 001 ()T j n tna x t e d tT??? ?即 ? 0, ,T?kn?kn? 在確定此積分時(shí)，只要積分區(qū)間是一個(gè)周期即可，對(duì)積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此可表示為 01 () j k tk Ta x t e d tT??? ?01 ()Ta x t d tT? ?是信號(hào)在一個(gè)周期的平均值，通常稱直流分量。信號(hào)的頻域特性是信號(hào)的內(nèi)在本質(zhì)，而信號(hào)的時(shí)域波形只是信號(hào)的外在形式。這兩個(gè)表達(dá)式不僅是一種信號(hào)的表示方法，更重要的是它揭示了周期信號(hào)的實(shí)質(zhì)，即一個(gè)周期信號(hào)由不同頻率的諧波分量所組成，周期信號(hào)之所以具有周期性，其原因也正在于此。 ka k k0001( ) [ ]kkj k t j j k t jkkkx t a A e e A e e? ? ? ??????? ? ? ??0012 c o s ( )kkka A k t????? ? ?? —— 傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)表示式 k k ka B jC?? 若令 則 00101( ) ( ) ( )j k t j k tk k k kkkx t a B j C e B j C e????? ? ? ?? ? ? ? ???0001( ) ( )j k t j k tk k k kka B j C e B j C e?????????? ? ? ? ????*kkaa ??Q k k k kB jC B jC??? ? ? ?因此 kkBB?? kkCC???即 的 實(shí)部關(guān)于 偶對(duì)稱 ， 虛部關(guān)于 奇對(duì)稱 。 三 .傅里葉級(jí)數(shù)的其它形式 0 0 0 0*
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