【正文】 ??? ? ? ??? 若 X(t)， Y(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程 ， 且 則稱 X(t)， Y(t)是聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過程 。 在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲 ， 一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件 。T2x ( t )27 由于 X(t)是無窮多個實(shí)現(xiàn)的集合，哪一個實(shí)現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實(shí)現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。 ： 一維正態(tài)概率密度表示式： 33 p ( x )12 ??Oa x一維正態(tài)概率密度曲線 34 一維正態(tài)概率密度性質(zhì)： (2)p(x)對稱于 x=a 21)()(1 ?? ?? ??? aa dxxpdxxp）（說明 ： a表示分布中心， σ表示集中程度， p(x)圖形將隨著 σ的減小而變高和變窄。 線性系統(tǒng)的響應(yīng) y(t)等于輸入信號 x(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t)的卷積，即 ? ? ? ? ? ? ??? dthxthtxty )()( ???? ? ???將線性系統(tǒng)輸入信號 x(t)換成隨機(jī)過程 X(t)，則輸出信號則為隨機(jī)過程 Y(t)，即 40 ? ? ? ? ? ? ??? dthXthtXtY )()( ???? ? ???將線性系統(tǒng)輸入信號 x(t)換成隨機(jī)過程 X(t)，則輸出信號 y(t)變?yōu)殡S機(jī)過程 Y(t)，即 41 1. 輸出隨機(jī)過程 Y(t)的均值 設(shè) E[X(t)]∞， 且系統(tǒng)穩(wěn)定 ? ? ? ?? ?? ?? ?0)()()()()(HmdhmdhtXEdhtXEtYEtmXXY?????????????????????????????????H(0)=? 42 2. 輸出隨機(jī)過程 Y(t)的自相關(guān)函數(shù) ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ???YXXYRd v d uvhuhvuRd v d uvhuhvuttRd v d uvhuhvtXutXEdvvhvtXduuhutXEtYtYEttR???????????????????????????? ?? ?? ???????????????????????????)()()()()()()()()()()()(,1221212121結(jié)論：平穩(wěn)隨機(jī)過程 ！ 為什么 ？ 43 3. X(t)和 Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?????XYXXXXYRhRduuhuRduuhtutRduuhutXtXEduuhutXtXEtYtXEttR???????????????????????????????????)()()()()()()(,1221212121定義： X(t)和 Y(t)的互功率譜密度是其互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換 44 定義： X(t)和 Y(t)的互功率譜密度是其互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換 ， 即： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? HPhRFRFP XXXYXY ????4. Y(t)的功率譜密度 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????????????XXjXvjujvujXjXjYYPHPHHdeRdveuhdueuhd v d udevuRuhuhded v d uvhuhvuRdeRP2)()(??????????????????????????????????????????????????????? ? ?? ? ?? ? ??＝令45 十分有用的一個重要公式 ！ 想得到輸出過程的自相關(guān)函數(shù)Ro(τ) 時 ， 比較簡單的方法：先計算出功率譜密度 Po(ω) ， 然后求其反變換 ， 這比直接計算 Ro(τ) 要簡便得多 。 如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的 ， 則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的 。 但是 ， 如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶 ， 我們就可以把它視為白噪聲 。22? ? ? ? ? ? ? ?都是隨機(jī)過程tXtXtta sc , ?55 （ 1） Z(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?122121,2,ttRjRjRjRRRtZtZEttRXXXXXXXXZ???????????????????????????其中? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?????????uPPjjPRjRFPXXXXXZ4s g n222???????????????????56 （ 2） 復(fù)包絡(luò) XL(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ??????????cccLjZtjtjLLXeRetZetZEtXXER??????????? ? ? ?cZX PP L ??? ??57 OP X L ( f )? f ? ffcfP Z ( f )解析信號和復(fù)包絡(luò)的率譜密度 58 （ 3） Xc(t) Xs(t)的統(tǒng)計特性 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ttXttXtXttXttXtXccsccc????s i nc o ss i nc o s??????（ b） 若 X(t)是高斯過程 ， 則 Xc(t)和 Xs(t)也是高斯過程 。1?tntntntntntnccc69 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? tttRtttRtttRtXccc??????s i ns i nc osc osc os????? ? ? ? 同一時刻）的聯(lián)合概率密度（注：和 tntn cc 39。, 39。所以匹配濾波器又稱為保證最大輸出信噪比的最佳線性濾波器。 76 匹配濾波器的傳遞函數(shù)與單位沖激響應(yīng) 目標(biāo)： 尋找能夠保證在 t=t0抽樣時刻的輸出信噪比最大的 H(ω)和 h(t) ( ) ( ) ( )X t s t n t??( ) ( )h t H ??00( ) ( ) ( )Y t s t n t??0tt?00( ) ( )s t S ??令( ) ( )s t S ??0 ( ) ( ) ( )S S H? ? ??0011( ) ( ) ( ) ( )22j t j ts t S e d S H e d??? ? ? ? ??????? ???? ??77 在 t=t0抽樣時刻，濾波器輸出為 2000 200()()strE n t?????0001( ) ( ) ( )2jts t S H e d?? ? ?? ???? ?在 t=t0抽樣時刻，濾波器輸出的輸出信噪比為 問題： 如何求得 n0(t)的平均功率？ 利用功率譜密度！ n0(t)的功率譜密度如何求得？ 020( ) ( )2nNPH???n0(t)的平均功率： 22 001( ( )22NE n t H d???????? ??? ?）78 匹配濾波器的輸出信噪比為： 020201( ) ( )21()22jtH S e drNHd?? ? ??????????????分析： S(ω)是輸入，做為已知條件出現(xiàn)！ 方法： 分析： H(ω) 是滿足 r0最大的待求量 許瓦爾茲不等式！ 79 2221 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2X Y d X d Y d? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ?? ???? ? ?對于任意復(fù)函數(shù)： ( ) ( )XY??， 存在下列不等式： 注意： 當(dāng) *( ) ( )X KY??? 上式中的等號成立！ (K為常數(shù) ) 0( ) ( ) ( ) ( ) jtX H Y S e ?? ? ? ???令，,有下述關(guān)系式： 80 2 2 220200011( ) ( ) ( )24()4H d S d S dErN NNHd? ? ? ? ? ??????? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ??說明 1：其中 E是信號 s(t)的能量 1()2E S d??? ???? ?2說明 2：線性濾波器在 t＝ t0時刻能夠給出最大信噪比為： 0 m a x02 ErN?20 m ax0022EErNNE??輸出信號瞬時功率 輸出噪聲平均功率 0*( ) ( ) jtH K S e ??? ??此時 這是最佳線性濾波器的傳輸特性 ! 81 匹配濾器 000**