【正文】 0 frequency in pi units Degrees Angle of the DTFT DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 67 (2)用 X4(k) 表示 4 點(diǎn) DFT: 34 40( ) ( ) 。nknj2 /44X k x n k 0, 1, 2, 3。 W e jW?????? ? ??DFT 定義： 舉例 % b) 4point DFT N = 4。 w1 = 2*pi/N。 k = 0:N1。 X = dft(x,N)。 magX = abs(X), phaX = angle(X)*180/pi subplot(2,1,1)。 plot(w*N/(2*pi),magH,39。39。)。 axis([,1,5])。 hold on stem(k,magX)。 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 68 k 0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 4 5 k |X(k)| Magnitude of the DFT: N=4 0 1 2 3 4 200 100 0 100 200 Degrees Angle of the DFT: N=4 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 69 例 : 怎樣得到 DTFT X(ejw) 的其他樣本 ？ 解：顯然 ， 我們的采樣頻率應(yīng)更小一些 ， 也就是說(shuō) ， 應(yīng)增加 N 的長(zhǎng)度 。 ? 有兩種方法 ， ?一種是采樣時(shí)就采樣更多的樣本； ?另一種是在序列后面 添加一定長(zhǎng)度的零 ， 叫做填零運(yùn)算 ， 在實(shí)際中 ， 為了得到一個(gè)較密的頻譜 ， 這種運(yùn)算是必要的 。 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 70 （ a） 給 x(n) 后 附加 4 個(gè)零得到一個(gè) 8 點(diǎn)序列 。 x(n) = {1,1,1,1,0,0,0,0} 設(shè) X8(k) 為一 8 點(diǎn) DFT， 則 在這種情況下 ， 頻率分辨率為 w1 = 2π /8 = π /4。 78 8048( ) ( ) 。 7nknj/X k x n k 0, 1, 2, 3 。 WeW???????DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 71 % b) 8point DFT N = 8。 w1 = 2*pi/N。 k = 0:N1。 x = [x, zeros(1,4)]。 X = dft(x,N)。 magX = abs(X), phaX = angle(X)*180/pi 結(jié)果如下： magX = phaX = 0 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 72 DFT 定義： 舉例 0 1 2 3 4 5 6 7 81012345k|X(k)|M a g n i t u d e o f t h e D F T : N = 80 1 2 3 4 5 6 7 8 2 0 0 1 0 001 0 02 0 0kDegreesA n g l e o f t h e D F T : N = 8 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 73 （ b) 更進(jìn)一步 ， 給 x(n) 填充 12 個(gè)零 ， 變成一個(gè) 16 點(diǎn)序列 ， 即： x(n)={1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0} 在這種情況下 ， 頻率分辨率為 w1 = 2π /16 = π /8。 1616 160816( ) ( ) 。 15nknj/X k x n k 0, 1, 2, 3 。 W eW???????DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 74 % c) 16point DFT subplot(1,1,1) N = 16。 w1 = 2*pi/N。 k = 0:N1。 x = [x, zeros(1,8)]。 X = dft(x,N)。 magX = abs(X), phaX = angle(X)*180/pi subplot(2,1,1)。plot(w*N/(2*pi),magH,39。39。)。 axis([,1,5])。 hold on stem(k,magX)。 xlabel(39。k39。)。 ylabel(39。|X(k)|39。)。 title(39。Magnitude of the DFT: N=1639。) hold off subplot(2,1,2)。plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,39。39。)。 axis([,200,200])。 hold on stem(k,phaX)。 xlabel(39。k39。)。 ylabel(39。Degrees39。)。 title(39。Angle of the DFT: N=1639。) DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 75 DFT 定義： 舉例 0 2 4 6 8 10 12 14 161012345k|X(k)|M a g n i t u d e o f t h e D F T : N = 1 60 2 4 6 8 10 12 14 16 2 0 0 1 0 001 0 02 0 0kDegreesA n g l e o f t h e D F T : N = 1 6 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 76 結(jié)論：基于以上兩個(gè)例子 ， 可以得到以下結(jié)論 。 ? 填零是給原始序列填零的運(yùn)算 。 這導(dǎo)致較長(zhǎng)的 DFT， 它會(huì)給原始序列的離散時(shí)間傅氏變換提供間隔更密的樣本 。 在 Matlab 中 ， 用 zeros 函數(shù)實(shí)現(xiàn)填零運(yùn)算 。 ? 為精確地畫(huà)出離散時(shí)間傅氏變換 X(ejw) ， 只需要 4 點(diǎn) DFT X4(k)。這是因?yàn)? x(n) 僅有 4 個(gè)非零樣本 ， 因此 ， 可通過(guò)填零得到 X8(k)、X16(k) 等等 ， 用它們來(lái)填充 X(ejw) 的值 。 ? 填零運(yùn)算提供了一個(gè)較密的頻譜和較好的圖示形式 ， 但因?yàn)樵谛盘?hào)中只是附加了零 ， 而沒(méi)有增加任何新的信息 ， 因此 ， 它不能提供更高分辨率的頻譜 。 ? 為了得到更高分辨率的頻譜 ， 需要獲得更多的數(shù)據(jù) 。 其他的先進(jìn)方法則是利用邊緣信息和非線(xiàn)性技術(shù) 。 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 77 例： 為了說(shuō)明 高密度頻譜 和 高分辨率頻譜 之間的區(qū)別 ， 考察序列 求出它基于有限個(gè)樣本的頻譜 。 （ a） 當(dāng) 0≤n≤10 時(shí) ， 確定并畫(huà)出 x(n) 的離散傅氏變換 。 （ b） 當(dāng) 0≤n≤100 時(shí) ， 確定并畫(huà)出 x(n) 的離散傅氏變換 。 ) os () os ()( nnnx ?? ??DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 78 (a) 首先確定 x(n) 的 10 點(diǎn) DFT， 得到其離散時(shí)間傅氏變換的估計(jì) %High resolution spectrum based on 100 samples of the signal x(n) subplot(1,1,1)。n=[0:1:99]。 x=cos(*pi*n)+cos(*pi*n)。 % Spectrum based on the first 10 samples of x(n) n1=[0:1:9]。y1=x(1:1:10)。 subplot(2,1,1)。stem(n1,y1)。 title(39。signal x(n), 0 = n = 939。)。xlabel(39。n39。) axis([0,10,])。 Y1=dft(y1,10)。magY1=abs(Y1(1:1:6))。 k1=0:1:5。w1=2*pi/10*k1。 subplot(2,1,2)。stem(w1/pi,magY1)。%(只畫(huà)了一半的點(diǎn) ， 原因是鏡像對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) ） title(39。Samples of DTFT Magnitude39。)。 xlabel(39。frequency in pi units39。)。 axis([0,1,0,10])。 disp(39。Press RETURN to continue39。)。pause。 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 79 0 2 4 6 8 1021012si g n a l x ( n ) , 0 = n = 9n0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 10246810S a m p l e s o f D T F T M a g n i t u d ef r e q u e n c y i n p i u n i t s頻譜的密度比較低，沒(méi)有足夠的樣本數(shù)來(lái)下結(jié)論 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 80 ? 填充 90 個(gè)零以得到較密的頻譜 % High density spectrum (100 samples) based on the first 10 samples of x(n) n2=[0:1:99]。y2=[x(1:1:10) zeros(1,90)]。 subplot(2,1,1)。stem(n2,y2)。 title(39。signal x(n), 0 = n = 9 + 90 zeros39。)。xlabel(39。n39。) axis([0,100,]) Y2=dft(y2,100)。 magY2=abs(Y2(1:1:51))。 k2=0:1:50。w2=2*pi/100*k2。 subplot(2,1,2)。plot(w2/pi,magY2)。 Hold on。stem(w2/pi,magY2)。 title(39。DTFT Magnitude39。)。xlabel(39。frequency in pi units39。) axis([0,1,0,10]) disp(39。Press RETURN to continue39。)。hold off。 pause。 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 81 DFT 定義： 舉例 從結(jié)果圖中可以看到 ， 此序列在 w= 處有一主頻率 ， 原始序列則沒(méi)有說(shuō)明這一點(diǎn) 。 填零運(yùn)算提供了更加平滑 ,高密度的頻譜曲線(xiàn) 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 82 （ b） 為得到更多的頻譜信息 ， 采集更多的樣本 ， 用 x(n) 的 100 個(gè)樣本來(lái)確定它的 DFT。 % High resolution spectrum based on 100 samples of the signal x(n) subplot(2,1,1)。stem(n,x)。 title(39。signal x(n), 0 = n = 9939。)。xlabel(39。n39。) axis([0,100,]) X=dft(x,100)。 magX=abs(X(1:1:51))。 k=0:1:50。w=2*pi/100*k。 subplot(2,1,2)。plot(w/pi,magX)。 title(39。DTFT Magnitude39。)。xlabel(39。frequency in pi units39。) axis([0,1,0,60]) disp(39。Press RETURN to continue39。)。 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 83 0 20 40 60 80 1 0 021012si g n a l x ( n ) , 0 = n = 9 9n0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 10204060D T F T M a g n i t u d ef r e q u e n c y i n p i u n i t sDFT 清楚地表明了兩個(gè)靠得很緊的頻率，這是 x(n) 的高分辨率的頻譜 采樣更多的數(shù)據(jù)提供了更多的信息 DFT 定義： 舉例 北京郵電大學(xué)信息與通信