【導(dǎo)讀】對一個(gè)序列長度未加以任何限制，則一個(gè)序。由于計(jì)算機(jī)容量的限制，只能對過程。DFT變換除了作為有限長序列的一種付里葉表。信號處理的算法中起著核心的作用。離散付里葉變換逼近連續(xù)時(shí)間信號的問題。序列的抽取與插值。之間的某種變換關(guān)系.在深入討論離散傅里葉變換DFT之。率的傅里葉變換。假定數(shù)字頻率為w,模擬頻率為?。非周期離散頻譜函數(shù)。周期為T0的周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)x可展成傅。通過以下變換對可以看出時(shí)域的連續(xù)函。得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。非周期離散的時(shí)間信號(單位圓上的Z變換。上面討論的三種傅里葉變換對,都不適用在計(jì)算。得出其頻譜為周期性離散的。也即我們所希望的?？傊?，一個(gè)域的離散必然造成另一個(gè)域的周期。參看程佩青的光盤第三章的第一節(jié)付里。葉變換的四種可能形式的測驗(yàn)題。我們先從周期性序列的離散傅里。x經(jīng)過抽樣為x,對離散的時(shí)間信。譜密度函數(shù)即為DFS.

　　

【正文】 軛對稱分量(xep(n)),即對頻域 X(k)取實(shí)部； ? 對時(shí)域 x(n)取圓周共軛反對稱分量 (xop(n)),即對頻域 X(k)取虛部加權(quán) j； ? 若 X(k)本身是實(shí)序列，則時(shí)域 x(n)是圓周共軛對稱序列；若 X(k)本身是純虛序列，則時(shí)域 x(n)是圓周共軛反對稱序列；反之亦然。 )](Im [)]([)](Re [)]([kXjnxD F TkXnxD F Topep?? DFT特征 ? 設(shè) x(n)為長度為 N的有限長實(shí)序列 , 0 ≤n≤N1,DFT[x(n)]=X(k) 有以下幾個(gè)特征：（ 5個(gè)） （ 1）特征 1 ? x(n)為實(shí)序列，顯然 X(k)只有圓周共軛對稱分量 ? 即 X(k)=X*((Nk))NRN(k) ? 說明： （ 1） x(n)的 DFT即 X(k)是圓周共軛對稱序列。 （ 2）是實(shí)（虛）部與圓周共軛對稱（反對稱）分量在時(shí)域、頻域的對應(yīng)關(guān)系。 （ 2）特征 2 ? Re[X(k)]=Re[X((Nk))N]RN(k) ? 說明： X(k)的實(shí)部是圓周偶對稱序列。 （ 3）特征 3 ? Im[X(k)]=Im[X((Nk))N]RN(k) ? 說明： X(k)的虛部是圓周奇對稱序列。 （ 4）特征 4 ? |X(k)|=|X((Nk))N|RN(k) ? 說明： X(k)的模是圓周偶對稱序列。 （ 5）特征 5 ? arg[X(k)]=arg[X((Nk))N]RN(k) ? 說明： X(k)的相角是圓周奇對稱序列。 DFT的奇偶虛實(shí)關(guān)系 ? 由上對稱性質(zhì)基礎(chǔ)上，可歸納總結(jié)出 x(n)與 X(k)的奇、偶；虛、實(shí)關(guān)系，利用這些關(guān)系，可以減少計(jì)算 DFT的運(yùn)算量。 ? 下面總結(jié)歸納出有限長序列及其 DFT的奇、偶；虛、實(shí)關(guān)系。 ? 這一關(guān)系清晰地展示了時(shí)域序列的奇、偶；虛、實(shí)特性與頻域序列的奇、偶；虛、實(shí)特性是如何對應(yīng)的。 (1)奇、偶；虛 、實(shí)的含義 ? 所 謂 奇 , 偶 , 虛 , 實(shí) 的 含 義 如 下 : ? 奇 指 序 列 是 圓 周 奇 對 稱 序 列 ? 偶 指 序 列 是 圓 周 偶 對 稱 序 列 ? 虛 指 序 列 是 純 虛 序 列 ? 實(shí) 指 序 列 是 實(shí) 序 列 (2)奇偶虛實(shí)關(guān)系表 六、 DFT形式下的帕塞瓦爾定理（ Parseval’ s Theorem) ? ????????1010**)()(1)()()()]([),()]([)()(NnNkkYkXNnynxkYnyD F TkXnxD F TNnynx則點(diǎn)有限序列為、設(shè)說明：（ 1）這是 DFT形式下的帕塞瓦爾定理(Parseval‘ s,Theorem) (2)只需令 y(n)=x(n),再兩邊取模，便得到明確物理意義的能量計(jì)算公式。 證明 Parseval定理 等的。與在頻域計(jì)算能量是相計(jì)算的能量表明：一個(gè)序列在時(shí)域即：則若令（???????? ?????????????????????????????10210210*10*10*1010*1010*10*|)(|1|)(|)()(1)()(),()()()(1)()(1))(1)()()(NkNnNkNnNkNnknNNkNnNkknNNnkXNnxkXkXNnxnxnxnykYkXNWnxkYNWkYNnxnynx七、 DFT性質(zhì)一覽表 1 七、 DFT性質(zhì)一覽表 2 作業(yè) 3 ? 第 133頁，第 15， 16， 17， 18， 19題 ? 參看程佩青的光盤中第三章的有關(guān) DFT性質(zhì)的測驗(yàn)題。 測驗(yàn) :離散付里葉變換性質(zhì)（對稱性） 共軛 ，則頻域序列有什么關(guān)系 ? 圓周共軛反折 ，則頻域序列有什么關(guān)系？ 3. .時(shí)域序列取 實(shí)部 ，則頻域序列有什么關(guān)系？ 虛部 ，則頻域序列有什么關(guān)系？ 圓周共軛對稱分量 ，則頻域序列有什么關(guān)系？ 圓周共軛反對稱分量 ，則頻域序列有什么關(guān)系？ 圓周反折 ，則頻域序列有什么關(guān)系 ? 第七節(jié) 抽樣 z變換 頻率抽樣理論 復(fù)習(xí)：時(shí)域抽樣定理 ? 奈奎斯特抽樣定理：要想抽樣后能夠不失真的還原出原信號，則抽樣頻率必須大于兩倍信號譜的最高頻率。 hs ??? 2hs ff 2?或 抽樣內(nèi)插公式 )()()](s i n [)()( txmTtTmTtTmTxtyamaa???? ???????即由信號的抽樣值 xa(mT)經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號 xa(t). 主要內(nèi)容 闡明： （ 1） z變換與 DFT的關(guān)系（抽樣 z變換），并引出抽樣 z變換的概念，討論頻域抽樣不失真條件。 （ 2）頻域抽樣理論（頻域抽樣不失真條件） （ 3) 頻域內(nèi)插公式 一、 z變換與 DFT關(guān)系 （ 1）引入 ? FT引出 DFT定義式。 ? DFT看作是 DTFT在 頻 域 抽 樣 后 的 變 換 對 . ? 在 Z變換與 L變換中 ,可了解到 DTFT是單位圓上的 Z 變 換 . ? 所以對 DTFT進(jìn)行頻域抽樣時(shí) , 自 然可以看作是對單位圓上的 Z變換進(jìn)行抽樣 . (2)推 導(dǎo) w是 單 位 圓 上 各 點(diǎn) 的 數(shù) 字 角 頻 率 . ???????nnznxzX )()(???????nj w njw enxeX )()(Z 變 換 的 定 義 式 (正 變 換 ) : 取 z=ejw 代 入 , 得 到 單 位 圓 上 Z 變 換 為 則這正是離散傅里葉變換 (DFT)正變換定義式 . ?????1022)()(NnnNkjNkjenxeX?? 再 抽 樣 N 等 分 抽樣間隔 w=2kπ/N, 即 w值為 0,2π/N,4π/N,…, 考慮 x(n)是 N點(diǎn)有限長序列 , n只需 0~N1即可。 將 w=2kπ/N代入并改變上下限 , 得 (3)結(jié)論 1 ? 看 出： 有 限 長 序 列 x(n) 的 DFT的 X(k) 序 列 的 各 點(diǎn) 值 等于 x(n) Z 變 換 后 在 單 位 圓 上 N 等 分 抽 樣 的 各 點(diǎn) 處 所 得 的 Z 變 換 值 , 即 這 就 是 Z 變 換 與 DFT 的 關(guān) 系 . kNjezzXkX ?2)()(??(4)結(jié)論 2 ? 有限長序列補(bǔ)零加長 N增加 , 求其 DFT。 ? 發(fā)現(xiàn)頻 譜包絡(luò)不變 ,只是抽樣點(diǎn)更密 .原因 :即 N補(bǔ)零 加長并不改變有限長序列本身 , 因而其 Z變換不變 ,而只是增加了 N值。 ? 根 據(jù) ? 每個(gè) X(k) 仍 等 于 X(ejw) 這 一 包 絡(luò) .由于0≤k≤N1,X(k)值的個(gè)數(shù)增加了 ,譜線變密 . kNjezzXkX ?2)()(??二、頻率抽樣理論 （頻域抽樣不失真條件） （ 1）問題引入 是否任何一序列 (或說任何一個(gè)頻率特性 ) 都能用頻域抽樣的辦法去逼近呢 ? 其 限 制 條 件 是 什 么 ? （ 2）分析 ? 即 頻 域 按 每 周 期 N 點(diǎn) 抽 樣 , 時(shí) 域 便 按 N 點(diǎn) 周 期 延 拓 . ( ) ( ) ,( ) ,( ) ,()jwx n X e NXkxnxn將 的頻域函數(shù) 按每周期 點(diǎn)抽樣，得到一周期序列 再反變換回到時(shí)域，得到 是一以N 點(diǎn)的周期延拓的序列，且與原序列 有如下關(guān)系：???????rN rNnxnx )()(~)()()()()(~)( nxnRrNnxnRnxnx NrNNN ???? ?????（ 3）結(jié)論 ? 長度為 M的有限長序列 ,頻域抽樣不失真的條件： 頻域抽樣點(diǎn)數(shù) N要大于或等于序列長度 M, 即滿足 N≥ ? 表明長度為 N(或小于 N)的有限長序列可用它的 z變換在單位圓上的 N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示 . （ 4）抽樣后序列能否無失真恢復(fù)原時(shí)域信號 有限長序列 非 有限長序列 M ，即NM 時(shí)， x(n)以 N為周期延拓會(huì)造成混疊，因此從x(n)中不能無失真地恢復(fù)原信號 x(n). NM或 =M時(shí)，可利用其 z變換在單位圓上的 N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示。 必然 造成混疊現(xiàn)象，因而一定會(huì)產(chǎn)生誤差。 n增加時(shí)信號衰減得越快，或抽樣越密（即抽樣點(diǎn)數(shù) N越多）則誤差越小。 （ 5）注意點(diǎn) ? DFT 變 換 對 的 一 一 對 應(yīng) 關(guān) 系 也 是 由 此 而 得 到 保 證 的 . ? 實(shí) 際 上 , 在 我 們 從 連 續(xù) 傅 里 葉 變 換 引 出 DFT 時(shí) , 也 只 有 按 此 條 件 對 頻 域 進(jìn) 行 抽 樣 , 才 能 在 最 后 正 確 導(dǎo) 出 DFT 變 換 對 定 義式 . （ 6）例子 ? 頻域抽樣：看一個(gè)矩形序列，頻域抽樣是指對時(shí)域已是離散，頻域仍是連續(xù)信號?，F(xiàn)在頻域上進(jìn)行抽樣處理，使其頻域也離散化。 ? 解：頻域抽樣，按 N=5點(diǎn)，頻域抽樣，時(shí)域延拓相加 ……, 時(shí)域延拓的周期個(gè)數(shù)等于頻域的抽樣點(diǎn)數(shù) N=5，由于 N=M，所以時(shí)域延拓恰好無混疊現(xiàn)象。 ? 按 N=4時(shí)進(jìn)行抽樣，由于 N=4， 而序列長度為M=5， NM,時(shí)域延拓后產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。（原信號為紅色，延拓取主值區(qū)間后的恢復(fù)信號為蘭色。） 三、頻域內(nèi)插公式 ? 從 頻 域 抽 樣 不 失 真 條 件 可 以 知 道： ? N 個(gè) 頻 域 抽 樣 X(k) 能 不 失 真 的 還 原 出 長 度 為 N 的 有 限 長 序 列 x(n)。 ? 那 么 用 N 個(gè) X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 頻 率 響 應(yīng) [即 單 位 圓 上 的 X(z)]. ? 過 程 很 簡 單 , 先 把 N 個(gè) X(k) 作 IDFT 得 到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 變 換 便 得 到 X(z). （ 1）內(nèi)插公式 稱為內(nèi)插函數(shù)其中 )()()()(10zzkXzXkkNk??? ???（ 2）內(nèi)插函數(shù) 1111)(???????zwzNzkNNk推導(dǎo)頻域采樣 X(k)表示 X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù) 的表示式中，得將上式代入式中)()(1)]([)(1,2,1,0,)()()()(10102zXWkXNkXI D F TnxNkzXkXznxzXNkknNezNnnkNj????????????????????? ?? ???????????????????????????????????????????????????10110110110101010)()()(111)(11)(1)(