【導(dǎo)讀】理解傅里葉變換的幾種形式。了解周期序列的傅里葉級數(shù)及性質(zhì)，掌握周期卷。理解離散傅里葉變換及性質(zhì)，掌握圓周移位、共。了解頻域抽樣理論。理解頻譜分析過程。這是連續(xù)時間，周期信號x的傅立葉變換。、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j?有一個頻率分量。0)是頻譜相鄰兩譜線間角頻率的間隔，K為諧波序號。適于計算機運算。最好是時域和頻域均為離散的，才方便用計。離散的周期序列用離散傅立葉級數(shù)表示。期序列均可分解為基波、二次、三次…、k次諧波的組合)。這說明，時域的離散導(dǎo)致了頻域的周期化。1/N看作是一個人為從。中提取的一個常數(shù)，這是為了后面運算的方便。說明：只有當：k-r=mN時，中括號內(nèi)才為1，而因為：k∈[0,N-1]，所以有取m=0，即：k=r。都可以得到，所以說實際上只有N個序列值有信息。，然后將z變換在z平面單位圓上按等間隔角2?

　　

【正文】 x(n) ， 否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象。 1101 ( )1N Nkk Nz X kN W z? ????????()M x n NNM ?點有限長序列 ，頻域 點等間隔抽樣，且 1100( ) ( ) ( )MNnnnnX z x n z x n z??????????11001 ()NN n k nNnkX k W zN???????????????11001 ()NN n k nNknX k W zN???????????????11011 ()1N k NNNkk NWzXkN W z??????????用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式 ()Xk ()Xz1101 ( )()1N Nkk Nz X kXzN W z? ????????內(nèi)插公式：111()1Nk kNzzN W z????? ? ??內(nèi)插函數(shù)：10( ) ( ) ( )NkkX z X k z?????則內(nèi)插公式簡化為： 2 0 ,1 , .. ., 1jrNz e r N?? ? ?零點： ，2 0 ( 1 )jkNz e N??極點： ， 階( ) ( ) jjkk zeez ?? ?? ? ?()jXe?用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式 ()Xk1( 1)2s i n21s i n2k NjN jNNkNeeNkN???????? ???????????????????????10( ) ( ) ( ) ( )jNjjkzekX e X z X k e??????? ? ??12sin1 2 ( )sin2NjNeN???????? ??????????? ? ???????內(nèi)插函數(shù)：)2( Nk ??? ??102 ( ) ( ) ( )NjkX e X k kN? ????? ? ??內(nèi)插公式：*第七節(jié) 長序列 DFT卷積計算方法 ??????kk nxnx )()()()()( kMnRnxnx Mk ??)(*)()(*)()( nxnhnhnxny kk???????)()](*)([ nynhnx kkkk????????????重疊相加法 x(n)與 y(n)的卷積為 h(n)長度為 N， x(n)長度為無限長， x(n)取 M點，且與 N盡量接近 重疊相加法的卷積示意圖 將 h(n)補零延長到 L =M+ N 1， 并計算長為 L的 FFT， 得到 H(k)。 分別將 xk(n)補零延長到 L =M+ N 1， 并計算長為 L的 FFT， 得到 Xk(k) ??????kk nyny )()(重疊相加法的步驟如下： )()()( kHkXkY kk ?)]([)( kYIF F Tny kk ?計算 ，并求長為 L的反變換，即 將 yk(n)的重疊部分相加，最后得到結(jié)果為 重疊保留法 序列分段的方法： ???????????1,...,1)1(2,...,1,00)(0 LNnNnxNnnx??? ???????nLnNkLnxnxk 其它010)1()(重疊保留法 分段方法 示意圖 ?????0)()(kk kNnyny???????????1,1),1(39。2,00)(LNnMnyNnnykk ?? 輸入的每段序列重疊 N1點，而每段的循環(huán)卷積的輸出去掉前面 N1點只保留后面 M點 第八節(jié) 用 DFT對模擬信號作頻譜分析 信號的頻譜分析：計算信號的傅里葉變換 00shTfTFNf??????時 域 采 樣 間 隔時 域 采 樣 頻 率信 號 記 錄 長 度（ 頻 率 分 辨 率 ） 頻 域 采 樣 間 隔采 樣 點 數(shù)信 號 最 高 頻 率00sTfNTF??1/sfT?2shff? 001/TF?0sf NF? 0T NT?對連續(xù)時間非周期信號的 DFT逼近 ( ) ( ) jtX j x t e d t? ?????? ?? ?1() 2 jtx t X j e d? ? ???? ? ??( ) ( ) ( )j t j n TnX j x t e d t x n T e T??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? nt n T d t T d t T???? ? ? ?? ? ? ??1）將 x(t) 在 t 軸上等間隔 T 分段 2）將 x(n) 截短成有限長序列 t=0~T0， N個抽樣點。 N 10( ) ( ) j n TnX j T x n T e ????? ?210()N j n kNnT x n e?? ??? ?002 F???3）頻域抽樣：一個周期分 N段，采樣間隔 ，時域周期延拓，周期為 0F001/TF?0N 100( ) ( ) j k n TnX j k T x n T e ????? ?[ ( )]T D F T x n??01( ) ( )2s j n Tx n T X j e d?? ?? ? ??010001 ()2Nj k n TkX j k e????? ? ? ??0100Nkdd?????? ? ?? ? ???21000()N j n kNkF X jk e??????21001 ()N j n kNskf X jk eN??????1N N??01 / [ ( )]T ID F T X jk? ? ?0k? ? ?002 / 2 /sT F f N??? ? ?對連續(xù)時間非周期信號的 DFT逼近過程 1）時域抽樣 2）時域截斷 3）頻域抽樣 0( ) [ ( ) ]X jk T D F T x n? ? ?01( ) [ ( ) ]x n I D F T X jkT??近似逼近： 00sTfNTF??2shff?時域抽樣：001/FT?頻域抽樣：頻率響應(yīng)的混疊失真及參數(shù)的選擇 同時提高信號最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點數(shù) N。 00sTfNTF??hsff??要 增 加 信 號 最 高 頻 率 則0NF ??當 給定 必 ，即分辨率0001FTF? ? ?要提高頻率分辨率，即 則shN T f f? ? ?當 給定 則 要不產(chǎn)生混疊， 必信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾 FFT例：有一頻譜分析用的 處理器，其抽樣點數(shù)必須是2的 整數(shù)冪，假設(shè)沒有采用任何的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：1 1024Hzk Hz??）頻率分辨率）信號最高頻率0 1 2 T NT試確定以下參量：）最小記錄長度）抽樣點間的最大時間間隔 （即最小抽樣頻率）3 ）在一個記錄中最少點數(shù)1解： ）最小記錄長度：0011 0 .110TsF? ? ?2 2 1 /s h sf f f T??）最大抽樣間隔 （ ）311 0 1 2 52 2 4 1 0hT m sf? ? ??? .3）最小記錄點數(shù)302 2 4 10 80010hfNF??? ? ?102 2 1 0 2 4 8 0 0mN ? ? ? ?取例：有一調(diào)幅信號 用 DFT做頻譜分析，要求能分辨 xa(t)的所 有頻率分量，問 (1)抽樣頻率應(yīng)為多少赫茲 ? (2)抽樣時間間隔應(yīng)為多少秒 ? (3)抽樣點數(shù)應(yīng)為多少點？ ? ? ? ? ? ?1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t????? ? ? ???（ 1）抽樣頻率應(yīng)為 2 7 0 0 1 4 0 0sf H z? ? ?解： （ 2）抽樣時間間隔應(yīng)為 11 0 .0 0 0 7 2 0 .7 21400sT S e c m sf? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 c o s 2 1 0 0 c o s 2 6 0 0ax t t t????? ? ? ???? ?? ? ? ?co s 2 60 011 co s 2 70 0 co s 2 50 022ttt?????? ? ? ?6 1 7 1 5c o s 2 c o s 2 c o s 21 4 2 1 4 2 1 4nnn???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3 ( ) ( )a t n Tx n x t ??（）( ) 1 4x n N ?為周期序列，周期14? 抽樣點數(shù)至少為 點5 0 0 6 0 0 7 0 0 H z或者因為頻率分量分別為 、 、0 1 0 0 HzF ?得 0/ 1 4 0 0 / 1 0 0 1 4sN f F? ? ?14N??最小記錄點數(shù)對時域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏 1）增加 x(n)長度 2）緩慢截短 頻譜泄漏 改善方法： DFT只計算離散點（基頻 F0的整數(shù)倍處）的頻譜，而不是連續(xù)函數(shù) 柵欄效應(yīng) 改善方法： 增加頻域抽樣點數(shù) N（ 時域補零），使譜線更密。