【正文】 設被積函數用 F(z)表示 ， 即 如果 zk是 N階極點 ， 則根據留數定理 11111R e [ ( ) , ] [( ) ( ) ]( 1 ) ! kNn N nk k z zNds X z z z z z X z zN d z????????() 1( ) ( ) nF z X z z ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 F(z)在 z平面上有 N個極點 ， 在收斂域內的封閉曲線 c將 z平面 上極點分成兩部分： 一部分是 c內極點 ， 設有 N1個極點 ， 用 z1k表示； 另一部分是 c外極點 ， 有N2個 ， N=N1+N2， 用 z2k表示 。 根據留數輔助定理下式成立： 12 1211R e [ ( ), ] R e [ ( ), ]NNkkkks F z z s F z z??????() 注意 ()式成立的條件是 F(z)的分母階次比分子 階次必須高二階以上 。 設 X(z)=P(z)/Q(z)， P(z)與 Q(z) 分別是 M與 N階多項式 。 ()式成立的條件是 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 NMn+1≥2 因此要求 NMn≥1 () 如果 ()式滿足 , c圓內極點中有多階極點 ， 而 c圓外極點沒有多階的 ， 可以按照 ()式 ， 改求 c圓外極點留數之和 ， 最后加一個負號 。 例 已知 X(z)=(1az1)1， |z|a， 求其逆 Z變換x(n)。 1 1 1111( ) ( 1 )21()1ncnnx n az z dzjF z zazzza?? ? ??????????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 為了用留數定理求解 ， 先找出 F(z)的極點 ， 極點有： z=a。 當 n0時 z=0共二個極點 ， 其中 z=0極點和 n的取值有關 。 n≥0時 ， n=0不是極點 。 n0時 ， z=0是一個 n階極點 。 因此分成 n≥0和 n0兩種情況求 x(n)。 n≥0 時 ， ( ) R e [ ( ) , ]()nzanx n s F z azzazaa??????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 n0時 ， 增加 z=0的 n階極點 ， 不易求留數 ， 采用留數輔助定理求解 ， 檢查 ()式是否滿足 ， 此處n0， 只要 NN≥0， ()式就滿足 。 圖 例 n0時 F(z)極點分布 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 ， 求其逆變換 x(n)。 解： 該例題沒有給定收斂域 ， 為求出唯一的原序列 x(n)， 必須先確定收斂域 。 分析 X(z)， 得到其極點分布如圖 。 圖中有二個極點 z=a和 z=a1， 這樣收斂域有三種選法 ， 它們是 (1) |z||a1|， 對應的 x(n)是右序列； (2) |a||z||z1|， 對應的 x(n)是雙邊序列； (3) |z||a|， 對應的 x(n)是左序列 。 211( ) , 1( 1 )( 1 )aX z aa z a z ??????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 X(z)極點分布圖 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 下面按照收斂域的不同求其 x(n)。 (1) 收斂域 |z||a1| 211211()( 1 ) ( 1 )1( ) ( )nnaF z za z a zaza z a z a?????????? ? ? 種收斂域是因果的右序列 ， 無須求 n0時的 x(n)。 當 n≥0時 ， 圍線積分 c內有二個極點 z=a和 z=a1， 因此 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 最后表示成： x(n)=(anan)u(n)。 (2) 收斂域 |z||a| 這種情況原序列是左序列 ， 無須計算 n≥0情況 ， 當 n≥0時 ， 圍線積分 c內沒有極點 ， 因此 x(n)=0。 n0時 ， c內只有一個極點 z=0， 且是 n階極點 ， 改求 c外極點留數之和 112211( ) R e [ ( ) , ] R e [ ( ) , ]( 1 ) ( 1 )( ) ( )( ) ( 1 ) ( ) ( )nnza zannx n s F z a s F z aa z a zz a z az a az a z a z aaa???? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ? ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 最后將 x(n)表示成 x(n)=(anan)u(n1) (3) 收斂域 |a||z||a1| 這種情況對應的 x(n)是雙邊序列。 根據被積函數F(z)， 按 n≥0和 n0兩情況分別求 x(n)。 n≥0時 ， c內極點 z=a x(n)=Res［ F(z), a］ =an 11221110 , ( ) R e [ ( ) , ] R e [ ( ) , ]( 1 ) ( 1 )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )()nnza zan n n nn x n s F z a s F z aa z a zz a z aa z a z a a z a z aa a a a?????? ???? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 n0時 ， c內極點有二個 ， 其中 z=0是 n階極點 ， 改求 c外極點留數 ， c外極點只有 z=a1， 因此 x(n)=Res［ F(z), a1］ =an 最后將 x(n)表示為 an n≥0 x(n)= x(n)=a|n| an n0 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 2. 冪級數法 (長除法 ) 按照 Z變換定義 ()式 ， 可以用長除法將 X(z)寫成冪級數形式 ， 級數的系數就是序列 x(n)。 要說明的是 ， 如果 x(n)是右序列 ， 級數應是負冪級數； 如 x(n)是左序列 ， 級數則是正冪級數 。 例 用長除法求其逆 Z變換 x(n)。 解由收斂域判定這是一個右序列 ， 用長除法將其展成負冪級數 11( ) ,1X z z aaz ????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1 2 2111 2 222111az a zazazaz a zaz???????? ? ? ???????? 1az1 ()Xz1 2 2 3 30( ) 1( ) ( )nnnnX z az a z a z a zx n a u n?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 1 2 2 3 3111 2 22211a z a z a zazaza z a zaz? ? ??????? ? ??? 例 已知求 其逆 Z變換 x(n)。 解：由收斂域判定 ， x(n)是左序列 ， 用長除法將X(z)展成正冪級數 11( ) ,1X z z aaz ????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 3. 部分分式展開法 對于大多數單階極點的序列 ， 常常用這種部分分式展開法求逆 Z變換 。 設 x(n)的 Z變換 X(z)是有理函數 ， 分母多項式是 N階 ，分子多項式是 M階 ， 將 X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和 ， 通過查表 (參考表 )求得各部分的逆變換 ，再相加即得到原序列 x(n)。 設 X(z)只有 N個一階極點 ，可展成正式 11 2 2( ) [ ]( ) ( 1 )nnnnX z a z a z a zx n a u n?? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 觀察上式 ， X(z)/z在 z=0的極點留數就是系數 A0，在 z=zm的極點留數就是系數 Am。 0101()()Nmm mNmm mAzX z AzzX z A Az z z z??????????() () 0()R e [ , 0]()R e [ , ]mmXzAszXzA s zz??() () 求出 Am系數 (m=0,1,2,…N)后 ， 很容易示求得 x(n)序列 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 ，求逆 Z變換。 1125( ) , 2 316zX z zzz???? ? ???解 2121 2 2122311( ) 5 5 51 6 6 ( 2 ) ( 3 ) 2 3( ) ( )R e [ , 2 ] ( 2 ) 1( ) ( )R e [ , 3 ] ( 3 ) 1( ) 1 1( 2 ) ( 3 )11()1 2 1 3zzX z z A Az z z z z z z z zX z X zA s zzzX z X zA s zzzXzz z zXzzz????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 因為收斂域為 2|z|3， 第一部分極點是 z=2， 因此收斂域為 |z|2。 第二部分極點 z=3， 收斂域應取 |z|3。查表 x(n)=anu(n)+(3)nu(n1) 一些常見的序列的 Z變換可參考表 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 表 常見序列 Z變換 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 第 2章 時域離