【正文】 jRjIjeHeHar c t geH ?式中 和 幅度響應(yīng)（幅度特性） ：系統(tǒng)的增益隨頻率的變化 。 相位響應(yīng)（相位特性） ：系統(tǒng)的輸出信號(hào)相對(duì)于輸入信號(hào)的相位滯后隨頻率的變化。 120 copyright169。趙越 ????????kkjj ekheH ?? )()( 上式表示的 系統(tǒng)頻率響應(yīng) 是一種傅里葉級(jí)數(shù)表示， 可被看作傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。因此， 頻率響應(yīng) 與 沖激響應(yīng) 構(gòu)成一對(duì) 傅里葉變換對(duì) 。則有 )( ?jeH)(nh)(nh?????????nnjj enhnhFeH ?? )()]([)(??????? deeHeHFnh njjj ??? ?? )(21)]([)( 1121 copyright169。趙越 系統(tǒng)的 頻率響應(yīng) 含有系統(tǒng)的所有信息。 知道系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ，就可以計(jì)算系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào) 的響應(yīng) ，方法是首先將 變換成 ，然后將 乘以 得到 ，最后計(jì)算 的 IDTFT即得到 。 )( ?jeH)( ?jeX )( ?jeY)( ?jeX)( ?jeY)( ?jeH)(nx)(ny)(nx )(ny122 copyright169。趙越 信號(hào)的取樣 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的取樣 ? 離散時(shí)間信號(hào)常常是由連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)周期取樣得到的。 ? 完成取樣功能的器件稱(chēng)為 取樣器 ，如下圖所示。 123 copyright169。趙越 0 t0 t取樣器示意圖 ? ?txa ??txa?? ?nTxa取樣器 S ? 對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣可以看作一個(gè)模擬信號(hào)通過(guò)一個(gè)電子開(kāi)關(guān) S。設(shè)電子開(kāi)關(guān)每隔周期 T合上一次，在電子開(kāi)關(guān)輸出端得到其采樣信號(hào) 。 ()axt?124 copyright169。趙越 ??txa???tp??txa??txa???txa 電子開(kāi)關(guān)可以用一個(gè) 乘法器 等效，圖中的 是周期性開(kāi)關(guān)函數(shù)。 ?當(dāng) 為零時(shí)，乘法器輸出為零，等效為開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，信號(hào)通不過(guò)去； ? 不為零時(shí) ,信號(hào)通過(guò)。 ??tp??tp??tp 采樣信號(hào)可以表示為 ? ? ? ? )(? tptxtx aa ?????????nnTttp )()( ?125 copyright169。趙越 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的取樣 在 實(shí)際 取樣器中，設(shè)開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間為 τ 秒（ τT ）。 當(dāng) τ 0 時(shí)，即開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間無(wú)窮短時(shí)，便是 理想 取樣情況。 (a) 實(shí)際取樣 (b) 理想取樣 理想取樣模型可使數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到簡(jiǎn)化 ， 主要討論。 126 copyright169。趙越 信號(hào)經(jīng)過(guò)取樣之后，是否會(huì)丟掉一些信息？ 思考： 信號(hào)的頻譜會(huì)發(fā)生怎樣的變化？ 若不丟失信息應(yīng)滿足什么條件？ 127 copyright169。趙越 ????????naa nTtnTxtx )()()(? ?理想取樣 當(dāng) τ 0，即開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間無(wú)窮短時(shí)， 取樣序列 如上圖 (b) 所示，則 ????????nnTttp )()( ?由于 只在 時(shí)為非零值，所以上式又可表示為 )( nTt ?? nTt ?理想取樣輸出 為 )(? txa?????????naaa nTttxtptxtx )()()()()(? ?????????na nTttx )()( ?128 copyright169。趙越 頻譜延拓 ????????????????rtjrrnseTttp )()( ? 現(xiàn)在研究 取樣信號(hào) 與 模擬信號(hào) 的頻譜之間的關(guān)系。將 展成 傅里葉級(jí)數(shù) ，得 )(tp129 copyright169。趙越 式中， 為基數(shù)的基波頻率，系數(shù) 為 Ts?2??TeTdtetTTTtjr s 11)(1 022??? ?????rc?? ??? 22)(1 TTtjrr dtetpTcs? ?? ????????? 22)(1 TTtjrndtenTtTs?130 copyright169。趙越 ????????rtjr seTtp 1)(于是 可表示為 )(tp則 的傅里葉變換為 )(tp????????????? ??????rsrtjr jrjTeTFjP s )(2]1[)( ??131 copyright169。趙越 ?????????????????????????????rsarsaaaajrjXTjrjjXTjPjXtptxFjX)(1)()(1)()(21)]()([)(??? 根據(jù) 傅里葉變換的 卷積定理 ，可得出理想取樣信號(hào) 的頻譜為 ()axt?? ? ? ? ? ?? ?......1 ???????????? saasa jjXjXjjXT1??r 0?r 1?r取樣信號(hào)的頻譜是原信號(hào)的頻譜的 加權(quán) 周期 重復(fù) 。 取樣信號(hào)的頻譜包括原信號(hào)的頻譜和無(wú)限個(gè) 經(jīng)過(guò)平移 的原信號(hào)頻譜。這些頻譜都要乘以系數(shù) 。 T1132 copyright169。趙越 0 ? ??F?m?m??… 0 … tT T2??tp0 … … ?s?s??? ??P… … 0 ?s??? ??sFT/1m?m?? s?0 ??tft0 … T T2??tfst? ? ? ? ? ?? ?......1)(? ????????????? saasaa jjXjXjjXTjX133 copyright169。趙越 設(shè)原信號(hào)是最高頻率為 的帶限信號(hào)。 從圖中可以看出，當(dāng) 時(shí)，平移后的頻譜必互相 重疊 ，重疊部分的頻率成分的幅值與原信號(hào)不同。 20s???0? 這種現(xiàn)象稱(chēng)為“ 混疊 ” 現(xiàn)象 。 如果原信號(hào)不是帶限信號(hào)，則 “ 混疊 ” 現(xiàn)象必存在。 為了使平移后的頻譜不產(chǎn)生 “ 混疊 ” 失真，應(yīng)要求取樣頻率足夠高 。 134 copyright169。趙越 02 ??? s 取樣頻率的一半，即 稱(chēng)為 折疊頻率 。等于信號(hào)最高頻率兩倍的取樣頻率 稱(chēng)為 奈奎斯特頻率 。 2/s?02??? s 在信號(hào) 的頻帶受限的情況下，取樣頻率應(yīng) 等于或大于信號(hào)最高頻率的兩倍 ，即 )(txa135 copyright169。趙越 頻率歸一化 假設(shè)離散時(shí)間信號(hào) 是模擬信號(hào) 通過(guò)周期性取樣得到的，即 )(nx )(txa 這里主要討論 離散時(shí)間信號(hào) 的頻譜 與 取樣信號(hào) 的頻譜 之間的關(guān)系。 )(?jeX )(? txa )(? ?jX a)(nx分別求上式兩邊的頻譜 )()( nTxnx a?)(? tx a?136 copyright169。趙越 )]()([)](?[)(? tptxFtxFjX aaa ????取樣信號(hào) 的頻譜可以表示為 )(? txanTjna enTx????????? )(?????????na nTtFnTx )]([)( ?])()([ ?????????na nTtnTxF ?137 copyright169。趙越 另一方面 的頻譜 ????????nnjj enxeX ?? )()()(nx等式兩邊的頻譜相等，則 )(?)( ???? jXeX aTj ?????????? ??????rsaaTj jrjXTjXeX )(1)(?)( ??將公式代入 ???????????rsaa jrjXTjX )(1)(?nTjnaa enTxjX?????????? )()(?138 copyright169。趙越 ???????? ??????rsaaTj jrjXTjXeX )(1)(?)( ?? 上式表明，在 的條件下， 離散時(shí)間信號(hào) 的頻譜與 取樣信號(hào) 的頻譜相等 。 )(nxT??? 由于 （ 為取樣頻率）是 對(duì) 歸一化的結(jié)果，故可以認(rèn)為 離散時(shí)間信號(hào) 的頻譜是取樣信號(hào)的頻譜歸一化后的結(jié)果。 sffT ?? 2???sf fsf)(nx139 copyright169。趙越 信號(hào)重建 從圖中可看出，如果取樣信號(hào)不存在混疊，那么 或 2),(1)(? saa jXTjX??????TjXTeX aj ?? ???? ,)(1)(140 copyright169。趙越 2),()(? saa jXjXT??????TjXeTX aTj ?????? ),()(將兩式分別改寫(xiě)為 或 2),(1)(? saa jXTjX??????TjXTeX aj ?? ???? ,)(1)(141 copyright169。趙越 這樣，讓取樣信號(hào) 通過(guò)一個(gè)截止頻率為 的理想低通濾波器，就可將取樣信號(hào)頻譜中的基帶頻譜取出來(lái)，恢復(fù)原來(lái)的模擬信號(hào) 。 2s?142 copyright169。趙越 這個(gè)理想低通濾波器的頻率特性為 ?????????????2/,02/,)(ssaTjH 根據(jù)連續(xù)時(shí)間信號(hào)傅里葉反變換公式可以求得原信號(hào) ，即 )(txa????? ??? 22)(21)( ssdejXtx tjaa?143 copyright169。趙越 ????? ??? 22)(21)( ssdejXtx tjaa?? ?? ??????????????? ?? TTtjTnjnaa deenTxTtx??? )(21)(TnjnaTj enTxeX ???????? ?? )()(TeTXjXTja????? ? ,)()(公式（ ） 交換式中求和與積分運(yùn)算的次序得： 144 copyright169。趙越 上式就是從取樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)的取樣內(nèi)插公式，內(nèi)插函數(shù) 是 ?? )( nTtS a???????? ??????????TTTntjnaa deTnTxtx ???)(2)()(145 copyright169。趙越 內(nèi)插函數(shù) 在的取樣點(diǎn)上的值為 1，在其余取樣點(diǎn)上的值都為零，在取樣點(diǎn)之間的值不為零。 146 copyright169。趙越 這樣，被恢復(fù)的信號(hào)在取樣點(diǎn)的值恰好等于原來(lái)連續(xù)信號(hào)在取樣時(shí)刻的值。而取樣點(diǎn)之間的部分由各內(nèi)插函數(shù)的波形 疊加 而成。 147 copyright169。趙越 離散時(shí)間信號(hào)的取樣 取樣后得到的序列 稱(chēng)為 離散時(shí)間取樣序列 。 )(nxp 它在取樣周期 的整數(shù)倍點(diǎn)上的取樣值等于原來(lái)的序列值，而在這些點(diǎn)之間的取樣值都為零。 N離散時(shí)間信號(hào)的取樣過(guò)程如圖所示。 148 copyright169。趙越 ?? ???? ? ? ????????? dXPXpX P )(