【正文】 148 copyright169。 )(nxp 它在取樣周期 的整數(shù)倍點上的取樣值等于原來的序列值，而在這些點之間的取樣值都為零。 147 copyright169。趙越 這樣，被恢復的信號在取樣點的值恰好等于原來連續(xù)信號在取樣時刻的值。趙越 內(nèi)插函數(shù) 在的取樣點上的值為 1，在其余取樣點上的值都為零，在取樣點之間的值不為零。趙越 ????? ??? 22)(21)( ssdejXtx tjaa?? ?? ??????????????? ?? TTtjTnjnaa deenTxTtx??? )(21)(TnjnaTj enTxeX ???????? ?? )()(TeTXjXTja????? ? ,)()(公式（ ） 交換式中求和與積分運算的次序得： 144 copyright169。 2s?142 copyright169。趙越 2),()(? saa jXjXT??????TjXeTX aTj ?????? ),()(將兩式分別改寫為 或 2),(1)(? saa jXTjX??????TjXTeX aj ?? ???? ,)(1)(141 copyright169。 sffT ?? 2???sf fsf)(nx139 copyright169。趙越 ???????? ??????rsaaTj jrjXTjXeX )(1)(?)( ?? 上式表明，在 的條件下， 離散時間信號 的頻譜與 取樣信號 的頻譜相等 。趙越 )]()([)](?[)(? tptxFtxFjX aaa ????取樣信號 的頻譜可以表示為 )(? txanTjna enTx????????? )(?????????na nTtFnTx )]([)( ?])()([ ?????????na nTtnTxF ?137 copyright169。趙越 頻率歸一化 假設(shè)離散時間信號 是模擬信號 通過周期性取樣得到的，即 )(nx )(txa 這里主要討論 離散時間信號 的頻譜 與 取樣信號 的頻譜 之間的關(guān)系。等于信號最高頻率兩倍的取樣頻率 稱為 奈奎斯特頻率 。 134 copyright169。 如果原信號不是帶限信號，則 “ 混疊 ” 現(xiàn)象必存在。 從圖中可以看出，當 時，平移后的頻譜必互相 重疊 ，重疊部分的頻率成分的幅值與原信號不同。趙越 0 ? ??F?m?m??… 0 … tT T2??tp0 … … ?s?s??? ??P… … 0 ?s??? ??sFT/1m?m?? s?0 ??tft0 … T T2??tfst? ? ? ? ? ?? ?......1)(? ????????????? saasaa jjXjXjjXTjX133 copyright169。這些頻譜都要乘以系數(shù) 。趙越 ?????????????????????????????rsarsaaaajrjXTjrjjXTjPjXtptxFjX)(1)()(1)()(21)]()([)(??? 根據(jù) 傅里葉變換的 卷積定理 ，可得出理想取樣信號 的頻譜為 ()axt?? ? ? ? ? ?? ?......1 ???????????? saasa jjXjXjjXT1??r 0?r 1?r取樣信號的頻譜是原信號的頻譜的 加權(quán) 周期 重復 。趙越 式中， 為基數(shù)的基波頻率，系數(shù) 為 Ts?2??TeTdtetTTTtjr s 11)(1 022??? ?????rc?? ??? 22)(1 TTtjrr dtetpTcs? ?? ????????? 22)(1 TTtjrndtenTtTs?130 copyright169。趙越 頻譜延拓 ????????????????rtjrrnseTttp )()( ? 現(xiàn)在研究 取樣信號 與 模擬信號 的頻譜之間的關(guān)系。趙越 信號經(jīng)過取樣之后，是否會丟掉一些信息？ 思考： 信號的頻譜會發(fā)生怎樣的變化？ 若不丟失信息應滿足什么條件？ 127 copyright169。 (a) 實際取樣 (b) 理想取樣 理想取樣模型可使數(shù)學推導得到簡化 ， 主要討論。趙越 連續(xù)時間信號的取樣 在 實際 取樣器中，設(shè)開關(guān)閉合時間為 τ 秒（ τT ）。 ?當 為零時，乘法器輸出為零，等效為開關(guān)斷開，信號通不過去； ? 不為零時 ,信號通過。 ()axt?124 copyright169。趙越 0 t0 t取樣器示意圖 ? ?txa ??txa?? ?nTxa取樣器 S ? 對模擬信號進行采樣可以看作一個模擬信號通過一個電子開關(guān) S。 ? 完成取樣功能的器件稱為 取樣器 ，如下圖所示。 )( ?jeH)( ?jeX )( ?jeY)( ?jeX)( ?jeY)( ?jeH)(nx)(ny)(nx )(ny122 copyright169。趙越 系統(tǒng)的 頻率響應 含有系統(tǒng)的所有信息。因此， 頻率響應 與 沖激響應 構(gòu)成一對 傅里葉變換對 。 120 copyright169。 2122 ))()(()( ??? jIjRj eHeHeH ??)()()](a r g[ ???jRjIjeHeHar c t geH ?式中 和 幅度響應（幅度特性） ：系統(tǒng)的增益隨頻率的變化 。 )(nh????????kkjj ekheH ?? )()()](a r g [)()( ??? jeHjjj eeHeH ?或用極坐標表示為 )( ?jeH)()()( ??? jIjRj ejHeHeH ?? 一般為復數(shù)，表示為 119 copyright169。趙越 為研究線性非移變系統(tǒng)的 頻域特性 ，設(shè)輸入序列是一個數(shù)字域頻率為 的復指數(shù)序列，即 ???????? nenx nj?)(由線性卷積公式，可得到系統(tǒng)對 的響應為 )(nx)()()( )( ??? jnjkknj eHeekhny ??? ???????????????kkjj ekheH ?? )()(其中 118 copyright169。假設(shè) ，有 ? ?njenx ??? ? )()( nxeeeeknx kjnjkjknj ???? ??? ???? 因此，信號處理的大多數(shù)工具，如拉普拉斯變換、傅里葉變換、 Z變換和離散傅里葉變換等，都采用復指數(shù)信號（序列）作為基型信號。趙越 另外，線性非移變系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應仍然是正弦序列，頻率與輸入信號的 頻率相同 ，而 幅度和相位取決于系統(tǒng)的特性 。趙越 離散時間系統(tǒng)的頻率響應 在信號處理中， 正弦信號 和 復指數(shù)信號 是對信號進行頻譜分析和計算系統(tǒng)的頻率響應的重要工具。趙越 ? ? ? ?? ??je eXnx Re?? ? ? ? ? ?? ?nxnxnx e ??? ?21? ? ? ?? ? ? ?? ???? jjj eXeXeX Re21 ??? ? 證： 114 copyright169。趙越 ? ?? ? ? ??je eXnx ?Re? ?? ? ? ? ? ?? ?nxnxnx ???21Re? ? ? ?? ? ? ???? jejj eXeXeX ??? ??21 證： 112 copyright169。趙越 ? ? ? ??jeXnx ?? ??? ? ? ? ?? jmmjnnemxenx ????????????? ??? ?? ???jjnneXenx??????????????? ? 證 ： 110 copyright169。趙越 ? ? ? ??jeXnx ?? ? ? ??jeXnx ??? ?? ? ? ??jeXnx ?? ??? ? ? ??jeXnx ???? ?? ? ? ??je eXnx ?Re? ?? ? ? ??jo eXnxj ?Im? ? ? ?? ??je eXnx Re?? ? ? ?? ??jo eXjnx Im?滿足對稱性： 108 copyright169。 ? ??jeX? ? ? ??? jeje eXeX ???? ? ? ??? jojo eXeX ????共軛反對稱函數(shù) 共軛對稱函數(shù) ? ? ? ? ? ???? jojej eXeXeX ??106 copyright169。 105 copyright169。趙越 例 ： 分析 的對稱性 ? ? ?jnenx ? 解 ： 因為 ，滿足共軛對稱序列的條件，所以是共軛對稱序列。趙越 同理可得 ? ? ? ? ? ?? ?nxnxnx o ??? ?21? ? ? ? ? ? ? ?? ?njxnxnjxnx irir ?????? 21? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?nxnxjnxnx iirr ?????? 2121? ?? ? ? ?? ?nxjnx oo ImRe ??? ?? ? ? ?? ?nxnx oo ??? ReRe? ?? ? ? ?? ?nxnx oo ?? ImIm可得 所以， 是實部為 奇 對稱，虛部為 偶 對稱的序列。 解以上方程組可得 ： 102 copyright169。 ? ? ? ?nxnx ee ?? ?共軛對稱序列 ? ? ? ?nxnx oo ??? ?共軛反對稱序列 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n x n x n x n x n x n x n x n x o e o e o e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 101 copyright169。 100 copyright169。趙越 序列的傅里葉變換的對稱性 序列的傅里葉變換的 對稱性 是傅里葉變換性質(zhì)中的一大類。趙越 ? ? ? ?? ? ???????deYeX jj ????21? ? ? ? ? ? ? ????jj eYeXnynx ??21則 用與時域卷積相似的方法可證。趙越 序列的復共軛 設(shè) ? ? ? ??jeXnx ?則 ? ? ? ??jeXnx ?? **? ? ? ??jeXnx ** ??97 copyright169。趙越 序列的折疊 ? ? ? ??jeXnx ?若 則 ? ? ? ??jeXnx ???95 copyright169。趙越 離散時間信號的傅里葉變換的性質(zhì) 序列的傅里葉變換的 線性 式中 a, b為常數(shù) ? ? ? ??jeXnx 11 ? ? ? ? ??jeXnx 22 ?若 ? ? ? ? ? ? ? ??? jj ebXeaXnbxnax 2121 ???則 93 copyright169。 0?? ? 定義復指數(shù)序列和正弦序列的 DTFT，必須借助于沖激函數(shù)的概念。 由于上式的冪級數(shù)是復指數(shù)之和，而復指數(shù)是由余弦序列和正弦序列作為實部和虛部構(gòu)成的，它們都是無