【正文】 creteTime Signals amp。 Systems 78 由 (1) ,代入 (2) 32)()(2 z zzXzQ??)(3241)(22zXzzzYz ???差分方程為 : y(k+2) +2y(k+1) 3y(k)=x(k) +4x(k+2) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 79 例 ：已知模擬圖，求差分方程 解 ：先作出零狀態(tài)延時器的 Z域模型 作出原模擬圖的 Z域模擬圖 y(k) x(k) ?? 1 2 D D 4 D Z1 y(k) = x(k1) Y(z) = z1 X(z) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 80 E(z) 421412)((222??????z) zzzzzXzY)(2)((),(4)()( 2 zEzzEzYzEzXzE ???? )z消去 E(z) y(k) x(k) ?? 1 2 Z1 Z1 4 差分方程為 : y(k+2) +4y(k)=2x(k+1) x(k+2) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 81 求 的單邊 變換 Z??????0)()1()(nn nkkf ?????? 1111 321 zz z zzz zz zz z)1(1 321 ????? zz zz z1)(111 221 z zzzz ?????=?(k)+(1) ?(k1)+ ?(k2)+(1) ?(k3)+… 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 82 ??)11:64(zzz求)1)(1(11)(: 2747 ?????? ?? zzzzzFzzz解= ?(k3)?(k7) =z7(z3+ z2 + z+1) =z4+z5+ z6+ z 7 ?F(z)= z3+ z4+z5+ z6 ??(k3) + ?(k4) + ?(k5) + ?(k6) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 83 1)(??zzk?解：2)1()1()1()1( ????? zkkk 1?2)1()1()1( ???? zkk1?2)1()1()( ????? zdzdzkk zzz?比例性 求 ： f(k)=(1)k (k1) ?(k1)的 ZT. 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 84 例 ：求長度為 N的斜坡序列的 Z變換 ?????????NkkNkkkRN ,0010)(11)(1??????zzzzZG NN… 1 2 3 1 0 1 2 3 N1 k )(kRN)()( zGdzdzzR NN ??21212 )1()1( ????????????zNzNzzzz NNN2211)1( ????? ??????zNzNzzz NNN解 ：設 GN(k)= ?(k)?(kN)，則 RN(k)=kGN(k) 或 : RN(k)=?(k1)+2?(k2)+3?(k3)+… +(N1)?(kN+1) RN(z)=z1+2 z2 +3 z3+… +(N1) z(N+1) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 85 例 ：求下列序列的 Z變換 2211 )1(1)1()( ?????zzzzzF)()()( 11 zFzFdzdzzF ??? 2)1(1???zz或者 )1()12()( 2 ???? kkkkf ?11)]11([2)]11([)(????????? zzdzdzzdzdzdzdzzF11)1(2)1()1(23 ???????zzzzzz3)1(1???zz(1) (k1)2 ?(k1) 解 ：設 f1(k)=(k1)?(k1)， 由移序性得 而 f(k)=(k1) f1(k) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 86 )1(1)1(231)1()( 22221 ????????? zzzzzzzzzzF)1(1223????zzzz323432)1)(1()1(11)( zzzzzzzzzzF ????????? ?由卷積定理 )1()1)(1)(1()()()(523221 ???????zzzzzzzFzFzF???kii0)1()2(1?zz1)(1)( 221 ???? zzzFzzzF 求和性 解 ：設 f1(k)=(1) k?(k)， 則 F1(z)= (3) (k+1)[?(k) ?(k3)]*[?(k) ?(k4)] 解 設 f1(k)=(k+1)[?(k)?(k3)], f2(k)=?(k)?(k4),則 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 87 例 ：求 F(z)的反變換 323)1()(???zzzzF32)1()(???zzzzzF解：11)1(3)1(223 ?????? zzz1)1(3)1(2)(23 ?????? zzzzzzzF1)( ?? zzk?2)1()( ?? zzkk ?322)1()(???zzzkk ?3)1(2?zz32)1()1(?????zzzzz ?(k2k)?(k) F(z)?(k2k+3k+1)?(k)=(k+1)2 ?(k) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 88 )(01)( zFkkkf ，求為奇數(shù)為偶數(shù)例：已知????]11[21)(????zzzzzF122??zz)(0,4,8,4,01)( zFmkkf ，求其他例：已知??? ?? ??411??? z144??zz解 ： f(k)=[(1) k+1] ?(k) 解 : f(k)=?(k)+?(k4)+?(k8)+… +?(k4m) +… F(z)=1+ z4 + z8+… 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 89 )(,)1)(1()( 22kfzzzzzF 求例：已知????)1)(1(1)(2 ????zzzzzF解：11 2 ?????zcBzzA11112 ?????zzzA由對應項系數(shù)相等，可得 B=1,c=0 111)(2 ?????zzzzzF)()2c o s1()( kkkf ????11)( 22?????zzzzzF2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 90 )(),2(),1(),0(,12)(2323??????? ffffzzzzzzzF 求已知)(12)(223??????zzzzzzzF,21,0 3,21 jpp ????其極點都在單位圓內，可用終值定理 )12)(1(lim)()1(lim)( 232311??? ?????????? zzzzzzzzFzfzz解 : f(0)=1, f(1)=1 , f(2)= , … 驗證： F(z)=1+ z1 z2+… 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 91 Z變換分析法 一 .零輸入響應 解 :對差分方程兩邊進行 Z變換 581利用 Z變換求解差分方程 65]051[022?????zzz)(y)(y)z(y( z )Y ziziziZi代入初始條件 , 得 323657222zzzzzzzz( z )Yzi ??????例 ： y(k+2)5 y(k+1)+6 y(k)=0, yzi(0)=2和 yzi (1)=3,求 yzi(k) ? yzi(k) =3(2)k3k z2 Y(z) z2 y(0) z y(1)5[zY(z) z y(0)]+6Y(z)=0 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 92 解 :對差分方程兩邊進行 Z變換 212651)1(6)2(6)1(5)(?? ????????zzzyyyzY zizizizi為找出 yzi(1)和 yzi (2), 令差分方程中的 k=1,有 令 k=0,有 : yzi(0)5 yzi(1)+yzi (2)=0 ?yzi(2)=23/36 例 ： y(k)5 y(k1)+6 y(k2)=0, yzi(0)=2和 yzi (1)=3,求 yzi(k) yzi(1)5 yzi(0)+yzi (1)=0 ?yzi(1)=7/6 于是 65726517222211??????????zzzzzzz( z )Yzi? yzi(k)= 3(2)k3k Y(z) 5[z1Y(z)+ y(1)]+6[z2Y(z)+z1 y(1)+ y(2)] =0 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 93 結論 :(1).差分方程前移 ,后移 ,關系不變 (2).初始條件運用恰當 二 .零狀態(tài)響應 離散系統(tǒng)函數(shù) H(z)可直接由差分方程求得 yzs(k) = x(k) * h(k) Yzs(z) = X (z) H(z) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 94 解 :對差分方程兩邊進行 Z變換 初始狀態(tài)為零 ,求 H(Z) 初始狀態(tài)為零 .初始條件 y(0)和 y(1)僅由激勵引起 令差分方程 k=2,且 x(k)為有始函數(shù) 整理得 例 :二階前向差分方程 a2 y(k+2) +a1 y(k+1)+ a0 y(k) = b2x(k+2)+b1 x(k+1)+b0 x(k) (a2z2 +a1z +a0)Y(z)a2z2y(0) a2z y(1)a1 zy(0) =(b2z2 +b1z +b0)X(z)b2z2x(0) b2z x(1)b1 zx(0) =b2[z2X(z) z2x(0) zx(1)] +b1[zX(z) zx(0)]+b0X(z) a2[z2Y(z) z2y(0) zy(1)] +a1[zY(z) zy(0)]+a0Y(z) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 95 01220122azazabzbzbX ( z )Y ( z )H ( z )??????01220122azazabzbzbX ( z )Y ( z )H ( z )??????同理，對二階后向差分方程