【正文】 響應(yīng) 在此條件下，特解 =0，由 初始條件 r(0)=3/2， 求得系數(shù)A=3/2，于是 零輸入響應(yīng) 為： tzi etr323)( ??（ 3）求零狀態(tài)響應(yīng) 在此條件下， r(0+)=0， 求得系數(shù) A=1，于是 零狀態(tài)響應(yīng)為： 1)( 3s ??? ? tz etr完全響應(yīng)： 123)( 33 ??? ?? tt eetr ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS （ 1） 連續(xù)系統(tǒng)的完全響應(yīng)，可以分解為 零輸入響應(yīng) 和 零狀 態(tài)響應(yīng) 兩部分。也可分解為 齊次解 和 特解 兩部分。 齊次解 的函數(shù)形式僅取決于系統(tǒng)本身的特性，與輸入信號(hào)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)，故稱為系統(tǒng)的 自由響應(yīng) （固有響應(yīng)）。 特解 的形式由微分方程的自由項(xiàng)或輸入信號(hào)決定，故稱為系統(tǒng)的 強(qiáng)迫響應(yīng) 。 幾點(diǎn)說(shuō)明： 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 幾點(diǎn)說(shuō)明： 零輸入響應(yīng) ： 由 0條件確定， 系數(shù)值 僅取決于系統(tǒng)的 初始儲(chǔ)能狀態(tài) ，其結(jié)果代表零輸入響應(yīng)。 zikA（ 2） 零輸入響應(yīng) 和 自由響應(yīng) 都是系統(tǒng)齊次微分方程的解， 其函數(shù)形式也相同，但兩者的系數(shù)是不一樣的。 自由響應(yīng) ： 由 0+條件確定， 系數(shù)值 由 初始狀態(tài) 和 輸入信號(hào) 共同確定。 自由響應(yīng) 中除包含 零輸入響應(yīng) 外，還包括 零狀態(tài)響應(yīng) 的一部分，二者都與系統(tǒng)自身參數(shù)有關(guān)。 kA ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 幾點(diǎn)說(shuō)明： （ 3）若系統(tǒng)初始無(wú)儲(chǔ)能，即 0條件為零，則零輸入響應(yīng)為 零，但自由響應(yīng)可以不為零，由激勵(lì)信號(hào)和系統(tǒng)參 數(shù)共同決定。 （ 4）零輸入響應(yīng)，由 0時(shí)刻到 0+時(shí)刻不跳變。 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 沖激響應(yīng)概念 沖激響應(yīng) ： 在 初始狀態(tài)為 0的條件下，單位沖激信號(hào) 作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，以 表示。 )(th 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 說(shuō)明： （ 1）激勵(lì)信號(hào)在 t=0的瞬間作用系統(tǒng)（輸入能量） ,在 t0+ 以后激 勵(lì)為 0，輸入的初始能量在起作用； （ 2）沖激響應(yīng)僅取決于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及元件參數(shù)，具有不同結(jié)構(gòu) 和元件參數(shù)的系統(tǒng)，將具有不同的沖激響應(yīng)。 )(t?t t)(th)(th)(t? LTI0)0( ?x ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 任意信號(hào)都可以用沖擊信號(hào)組合來(lái)表示 ( ) ( ) ( )e t e t d? ? ? ???????? 若把它作用于沖擊相應(yīng)為 的線性時(shí)不變系統(tǒng)，則輸出相應(yīng)為： )(th( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]r t H e t H e t d? ? ? ?????? ? ??( ) [ ( ) ] ( ) ( )e H t d e h t d? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 階躍響應(yīng) ： 在初始狀態(tài)為 0的條件下，單位階躍信號(hào) 作用在系統(tǒng)上的響應(yīng)，以 表示。 )(tg????????? ??tdhtgtgth?? )()()()( 考慮到?jīng)_激信號(hào) 與單位階躍信號(hào) 之間存在微分與積分關(guān)系，因而對(duì)于 LTI系統(tǒng)， 和 也同樣存在上述關(guān)系。 )(tu)(t?)(th )(tg)(tg)(tu LTI0)0( ?x)(tut t)(tg ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) )()()()( 01)1(1)( thathathatha nnnn ????? ?? ?)()()()( 01)1(1)( tbtbtbtb mmmm ???? ?????? ?? ? 求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 對(duì)于由常系數(shù)描述的系統(tǒng)，它的沖激響應(yīng) 滿足 微分方程 及初始狀態(tài) 。 )1,2,1,0(0)0()( ???? nkh k ? 由于 在 t=0 時(shí)作用于系統(tǒng)，在 時(shí) 及其各階導(dǎo)數(shù)都等于 0，因此上方程右端各項(xiàng)在 時(shí)恒為 0，它成為齊次方程，則沖激響應(yīng) 與相應(yīng)的齊次解具有相同的形式。 )(t???0t??0t)(th)(t?沖激響應(yīng)的形式既與特征根有關(guān) , 又與 n,m相對(duì)大小有關(guān)！ ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) )()(1tueAth tnkkk ??????? ??? （ 2）如果 n=m，沖激響應(yīng) h(t)將包含一個(gè) 項(xiàng)，即 )(t?11( ) ( ) ( )kntknkh t A e u t A t? ????????????注意帶 u(t) （ 1）在 nm時(shí)，沖激響應(yīng) h(t)應(yīng)與齊次解的形式相同，如果特征根包括 n個(gè)非重根，則 h(t)應(yīng)與齊次解的形式相同，不包含 及其各階導(dǎo)數(shù)，即有 )(t? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) （ 3）在 nm 時(shí)，要使方程兩邊相應(yīng)的函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)相等，則 表達(dá)式中還應(yīng)該含有 及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)等項(xiàng)，即 ，則有 )(th )(t?)(,),(),( )1()( ttt nmnm ??? ???? ?)()(1tueAthnktkk ??????? ???)()()( )(121 tAtAtA nmnmnn ????? ????? ??? ? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)舉例 1 例 11 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的方程為 0)(2)(3)( ???? ttftyty求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 。 )(th解： 當(dāng) 時(shí)，原微分方程為 )()( ttf ??0)(2)(3)( ???? ttthth ?特征根 ，且滿足 ，因此 的形式為： 31 ??? mn ? )(th)()( 3 tuAeth t??將 h(t)代入原方程，求待定系數(shù) A )(2)(3)]([ 33 ttuAetuAedtd tt ??? ?? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS )(2)(3)]([ 33 ttuAetuAedtd tt ??? ??)(2)(3)(3)( 333 ttuAetuAetAe ttt ?? ??? ???)(2)( ttA ?? ?解得 A=2，因此系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 )(2)( 3 tueth t??注：上題中利用了 階躍信號(hào)與沖激信號(hào)的微積分關(guān)系以及沖激函數(shù)的篩選特性。 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 13 ?? te ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)舉例 2 例 13 右圖所示電路，求電流 對(duì)激勵(lì) 的沖激響應(yīng)。 )(ti )()( tte ??解： 前面例題得到的微分方程： )(4)(6)()(10)(7)( tetetetititi ??????????? （ 1） 系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 微分方程： )(th)(4)(6)()(10)(7)( tttththth ??? ??????????? （ 2） 它的解包含兩部分，齊次解形式和沖激函數(shù)。 )0()( 5221 ??? ??? teAeAth tt （ 3） 齊次解形式 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 利用沖激函數(shù)匹配法求 。 ( 0 ), ( 0 )hh???????????????????????????????)()()()00()()()()()()()()()(tubtathttuctbtathtudtctbtath??????代入下方程（ 2） )(4)(6)()(10)(7)( tttththth ??? ??????????? （ 2） )()([7)]()()()([ tbtatudtctbta ????? ??????????)]()([10)]( tubtatuc ????? ? )(4)(6)( ttt ??? ??????得到 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) )()([7)]()()()([ tbtatudtctbta ????? ??????????)]()([10)]( tubtatuc ????? ? )(4)(6)( tt ??? ??????得 ???????????4107671abcaba?????????111cba?????????????chhbhh)0()0()0()0(因而有 ?????????1)0(1)0(hh將初始條件代入方程（ 3）得 ?????????15212121AAAA ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) ?????????15212121AAAA????????313421AA 為了保持方程的左右平衡， 中必含有 項(xiàng)，因?yàn)?a=1，所以得到 : )(th )(ta?2541( ) ( ) ( )33tth t t e e u t? ????? ? ? ?????)(4)(6)()(10)(7)( tttththth ??? ???????????由方程（ 2）看 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 例 12 已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的方程為 0)(3)(2)(6)( ?????? ttftftyty求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 。 )(th解： 當(dāng) 時(shí)，原微分方程為 )()( ttf ??0)(3)(2)(6)( ?????? ttt