【正文】 微分方程式的建立與求解 強(qiáng)迫響應(yīng)！ tth eAeAtr 621)( ?? ??tBtBtr p 2c o s2s in)( 21 ??自由響應(yīng)！ （ 4）則方程的 完全解 為 由于已知電容 C2上的初始電壓為零，因而有 v2(0) = 0。 3232( ) ( ) ( )7 1 6 1 2 ( ) ( )d y t d y t d y t y t x tdtd t d t? ? ? ?解 ： 微分方程的 特征方程為 012167 23 ???? ???0)3()2( 2 ??? ??特征根 221 ??? ?? （ 重根 ）， 33 ???齊次解 2 2 31 2 3() t t thy t A t e A e A e? ? ?? ? ? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 特解的求法： 特解的函數(shù)形式與 激勵(lì)函數(shù)的形式 有關(guān) 微分方程式的建立與求解 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 3232( ) ( ) ( )7 1 6 1 2 ( ) ( )d y t d y t d y t y t x tdtd t d t? ? ? ?微分方程的右端的函數(shù)式稱為 “自由項(xiàng)” 通常由觀察自由項(xiàng)，來(lái)試選特解函數(shù)式，代入方程后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即 可求出特解 。那么，在 齊次解 中， 對(duì) 應(yīng)于 、 的部分為 1?2???? j??21 ,1?2? 微分方程式的建立與求解 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS （ 2）當(dāng)特征根有重根，假設(shè) 是特征方程的 K重根，那 么，在 齊次解 中，對(duì)應(yīng)于 的部分將有 K項(xiàng) . 1?1?以上各式中的 Ai為待定系數(shù)，由初始條件確定。 2. 微分方程式的求解方法 —— 經(jīng)典時(shí)域分析方法 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 )()()()( 01111 tyadttdyadttydadttydannnnnn ???? ??? ?)()()()( 01111 txbdttdxbdttxdbdttxdbmmmmmm ????? ??? ? 上方程的 完全解 由兩部分組成，即 齊次解 和 特解 。 雙零法 : 零輸入 —— 可利用經(jīng)典法求 零狀態(tài) —— 利用卷積積分法求解 變換域法 : 將時(shí)間變量變換成其它形式的變量求解 微分方程式的建立與求解 n階常系數(shù)微分方程的求解法 the solution method for constantcoefficient difference equation of Nthorder 微分方程求解 時(shí)域分析法 （經(jīng)典法） 變換域法 （拉普拉斯變換法） ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 全響應(yīng) = 齊次方程通解 +非齊次方程特解 （自由響應(yīng)）（受迫響應(yīng)） 全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng) （解齊次方程）（疊加積分法） 卷積，杜阿美爾積分 例 3： 對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) x(t) 與響應(yīng)函數(shù) y(t) 之間的關(guān)系，可用下列形式的微分方程式來(lái)描述。 dttdftyCRdttdyCRRLdttydRRL)()(1)()1()()11(2212221?????例題 1： dttdFtvkdttdvfdttvdm s )()()()(22?????例題 2： ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的求解方法 經(jīng)典法 : 即時(shí)域分析法，以前電路分析課里已經(jīng)討論 過(guò)。 解： 彈簧拉力 ： ????tK dvktF ?? )()(摩擦力 ： ( ) ( )fF t f v t??運(yùn)動(dòng)物體的慣性力 ： dttdvmtFm)()( ?整個(gè)系統(tǒng)的力是平衡的 ： ??? ????ts tFdvktvfdttdvm )()()()( ??化簡(jiǎn)得 ： dttdFtvkdttdvfdttvdm s )()()()(22????? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 說(shuō)明： 對(duì)比例題 2可以看出，雖然是兩個(gè)不同性質(zhì)的系統(tǒng)，但卻具有相同的數(shù)學(xué)模型。物體與地面摩擦系數(shù)為 f，彈簧系數(shù)為 k，外加牽引力為 FS(t) 。 解： 設(shè)電路中兩回路電流分別為 i1(t) 和 i2(t)。以基爾霍夫電壓定律 (KVL)和基爾霍夫電流定律 (KCL)表示。例如二端元件電阻、電感、電容各自的電壓與電流的關(guān)系等。 系統(tǒng)分析的兩個(gè)主要任務(wù) : （ 1） 建立數(shù)學(xué)模型 （線性微分方程） （ 2） 分析信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng) （求解線性微分方程） 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的時(shí)域表示： （ 1）輸入 /輸出描述 —— 一元 n階微分方程 （ 2）狀態(tài)變量描述 —— n元聯(lián)立一階微分方程 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 微分方程式的建立與求解 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)種類很多，其描述的工具都可用微分方程。第 2章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析 主要內(nèi)容 : 微分方程式的建立與求解 起始點(diǎn)的跳變 (從 0到 0+) 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng) 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) 卷積及其性質(zhì) SIGNALS AND SYSTEMS ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 本章內(nèi)容特點(diǎn)： 以電路分析、高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)等先修課程為 基礎(chǔ)；理論、提高與應(yīng)用之間比較難把握和處理； 系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解、計(jì)算過(guò)程比較繁瑣； 對(duì)沖激函數(shù)的理解和應(yīng)用，需要靈活掌握。 SIGNALS AND SYSTEMS ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 引言 引言 分析過(guò)程中不經(jīng)過(guò)任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分（積分）方程，所涉及的函數(shù)的變量都是時(shí)間 t，稱為 時(shí)域分析方法（ timedomain method）。對(duì)于電系統(tǒng)，依據(jù)是電網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)約束特性： ? 元件特性約束： 即表征元件特性的關(guān)系式。 ? 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束： 由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓、電流約束關(guān)系。 1. 微分方程式的建立 （ 1） 元件端口的電壓與電流約束關(guān)系 電網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)約束特性： dttdvCti CC)()( ?L? ?)(tvL)(tiLdttdiLtv LL)()( ?)(tiR R?)()( tRitv RR ??)(tvRRtvti RR)()( ? ????tLL dvLti ?? )(1)(? ?)(tiC)(tvC? ??? t CC diCtv ?? )(1)(C 微分方程式的建立方法 —— 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS （ 2） 各電路的電流、電壓約束關(guān)系（ KVL、 KCL） 電網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)約束特性： 微分方程式的建立與求解 例 1： 如右圖所示 RLC電路，求 電阻 R2兩端電壓 y(t)與輸入電壓 f(t)之間的關(guān)系。根據(jù) KVL列出回路方程為： LCR2f(t)回路 )()()(1)( 2221 tftiRdtiCdt tdiL t ??? ? ?? ?（ 1） LR1f(t)回路 )()]()([)( 2111 tftitiRdt tdiL ???（ 2） )(1)(22 tyRti ?利用 可得到 dttdftyCRdttdyCRRLdttydRRL)()(1)()1()()11(2212221?????將 (1)(2)整理得到： dttdftiCdttdiCRLdttidRRL )()(1)()R()()1(222122212 ?????)()()(1)( 2221 tftiRdtiCdt tdiL t ??? ? ?? ?（ 1） )()]()([)( 2111 tftitiRdt tdiL ??? （ 2） ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 例 2： 如右圖所示的一機(jī)械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為 m的物體由 彈簧牽引，另一端固定在墻壁。求 FS(t) 與物體運(yùn)動(dòng)速度 v(t)的關(guān)系。 如果組成系統(tǒng)的元件都是參數(shù)恒定的線性元件，則構(gòu)成的系統(tǒng)是 線性時(shí)不變系統(tǒng) ， 體現(xiàn)在方程形式上是 一 線性微分方程。 但對(duì)于含有沖激函數(shù)時(shí)的情況，需特別 處理。 上式就是一個(gè) 常系數(shù) n 階線性常微分方程。齊次解應(yīng)滿足齊次微分方程： 0)()(...)()( 01111 ????? ??? tyadttdyadttydadttydannnnnn 特征方程為 0... 0111 ????? ?? aaaa nnnn ???1212( ) . . . n ttthny t A e A e A e ???? ? ? ? ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 齊次解的基本形式為 ，將其代入上式得 tKe?（ 1）當(dāng)特征根為不等單實(shí)根 ，微分方程的 齊次解 為 n21 , ??? ?固有響應(yīng)(自由響應(yīng) ) 固有頻率 (自由頻率 ) （ 3）若 、 為共軛復(fù)根，即 。 12( c o s s i n )te A t A t? ????)(tyhtKKKK eAtAtAtA 1)...( 12211 ????? ????)(tyh ◇ 魯東大學(xué)電子與電氣工程學(xué)院 SIGNALS AND SYSTEMS 特征方程的根所對(duì)應(yīng)微分方程的 齊次解 特征方程的根 微分方程的齊次解 te?Atkkkk eAtAtAtA ?)( 12211 ???? ??? ?單實(shí)根 ? K重實(shí)根 ?tetAtA ??? )s inco s( 21 ?一對(duì)單共軛復(fù)根 ??? j??2,1一對(duì) K重共軛復(fù)根 ??? j??2,1???? ? ttAtAA kk ?co s)[( 121 ?tkk ettBtBB ?? ]s i n)( 121 ???? ? 微分方