【正文】 ???? ?????? ?? ? ????? ? ?? ?? ? ??????? ?? ? ????????????????令 k=nm 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 該定理說明 ， 兩序列卷積的 FT， 服從相乘的關(guān)系 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 按照 ()和 ()式得到 h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2［ h(n)+h(n)］ ho(n)=1/2［ h(n)h(n)］ 因為 h(n)是實因果序列， 按照上面兩式 he(n)和ho(n)可以用下式表示： () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 () 實因果序列 h(n)分別用 he(n)和 ho(n)表示為 h(n)= he(n)u+(n) () h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n) () () 式中 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 x(n)=anu(n)； 0a1；求其偶函數(shù) xe(n)和奇函數(shù) xo(n)。 (b) 將序列分成共軛對稱部分 xe(n)和共軛反對稱部分 xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) () 因為 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 將上面兩式分別進行 FT， 得到 FT［ xe(n)］ = 1/2［ X(ejω)+X*(ejω)］ = Re［ X(ejω)］ = XR(ejω) FT［ xo(n)］ = 1/2［ X(ejω) X*(ejω)］ = j Im［ X(ejω)］ = j XI(ejω) 因此對 ()式進行 FT得到： X(ejω) = XR(ejω) + jXI(ejω) () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 因為 h(n)是實序列 ， 其 FT只有共軛對稱部分 He(ejω)，共軛反對稱部分為零 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 對于頻域函數(shù) X(ejω)也有和上面類似的概念和結(jié)論： X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω) () 式中 Xe(ejω)與 Xo(ejω)分別稱為共軛對稱部分和共軛反對稱部分 ， 它們滿足 Xe(ejω) =X*e(ejω) () Xo(ejω) =X*o(ejω) () 同樣有下面公式滿足： () () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 (a) 將序列 x(n)分成實部 xr(n)與虛部 xi(n) x(n)=xr(n)+jxi(n) 將上式進行 FT， 得到 X(e jω)=Xe(e jω)+Xo(e jω) 式中 上面兩式中 ， xr(n)和 xi(n)都是實數(shù)序列 ， 可證明 Xe(ejω) 具有共軛對稱性 ， Xo(ejω) 具有共軛反對稱性質(zhì) 。 類似地， 可定義滿足下式的稱共軛反對稱序列 xo(n)=x*o(n) () 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 試分析 x(n)=e jωn的對稱性 解： 將 x(n)的 n用 n代替 ， 再取共軛得到： x*(n)= e jωn 因此 x(n)=x*(n)， 滿足 ()式 ， x(n)是 共軛對稱序列 ， 如展成實部與虛部 ， 得到 x(n)=cosωn+j sinωn 由上式表明， 共軛對稱序列的 實部確實是偶函數(shù)， 虛部是奇函數(shù) 。 為研究共軛對稱序列具有什么性質(zhì) ， 將 xe(n)用其實部與虛部表示 xe(n)=xer(n)+jxei(n) 將上式兩邊 n用 n代替 ， 并取共軛 ， 得到 x*e(n)=xer(n)jxei(n) 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 對比上面兩公式 ， 左邊相等 ， 因此得到 xer(n)=xer(n) () xei(n)=xei(n) () 由上面兩式得到 共軛對稱序列其實部是偶函數(shù) ， 而虛部是奇函數(shù) 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 圖 R4(n)的幅度與相位曲線 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 序列傅里葉變換的性質(zhì) 1. FT的周期性 M為整數(shù) () 因此序列的傅里葉變換是頻率 ω的周期函數(shù) ， 周期是2π， 這樣 X(ejω)可以展成傅里葉級數(shù) 。 ()nxn?? ?????() FT成立的 充分必要條件 是序列 x(n)滿足絕對可和的條件，即滿足下式： 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 為求 FT的反變換 ， 用 e jωn乘 ()式兩邊 ， 并在 π~π內(nèi)對 ω進行積分 ， 得到 () () 式中 因此 此式即是 FT的逆變換。 本章學習 序列的傅里葉變換和 Z變換 ， 以及 利用 Z變換分析系統(tǒng)和信號頻域特性 。 頻域分析用 Z變換或傅里葉變換 。 頻域分析用拉普拉斯變換和傅里葉變換 。第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 引言 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 周期序列的離散傅里葉級數(shù)及傅里葉變換表示式 時域離散信號的傅里葉變換與模擬 信號傅里葉變換之間的關(guān)系 序列的 Z變換 利用 Z變換分析信號和系統(tǒng)的頻域特性 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 引言 信號和系統(tǒng)的分析方法有兩種 ， 即 時域分析方法和頻率分析方法 。 在模擬領(lǐng)域中 ， 信號一般用連續(xù)變量時間 t的函數(shù)表示 ， 系統(tǒng)則用微分方程描述 。 在時域離散信號和系統(tǒng)中 ， 信號用序列表示 ， 其自變量僅取整數(shù) ， 非整數(shù)時無定義 ， 而系統(tǒng)則用差分方程描述 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 本章所述傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換 ， 與模擬域中的傅里葉變換不一樣 ， 但都是線性變換 ， 很多性質(zhì)是類似 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì) 序列傅里葉變換的定義 定義 ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ?() 為序列 x(n)的傅里葉變換 ， 可以用 FT(Fourier Transform)縮寫字母表示 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 ()和 ()式組成一對傅里葉變換公式 ， 即： ( ) ( )j j nnX e x n e????? ? ?? ?第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 例 設(shè) x(n)=RN(n)，求 x(n)的 FT 解： () 設(shè) N=4， 幅度與相位隨 ω變化曲線如圖 。 由于 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 2. 線性 1 1 2 21 2 1 2( ) [ ( ) ] , ( ) [ ( ) ] ,[ ( ) ( ) ] ( ) ( )jjjjX e F T x n X e F T x nF T a x n b x n a X e b X e??????? ? ?那么 設(shè) X(e jω)=FT［ x(n)］ ， () 0000([ ( ) ] ( )[ ( ) ] ( )jn jj n jF T x n n e X eF T e x n X e? ?? ? ??????() () 式中 a, b為常數(shù) 3. 時移與頻移 設(shè) 那么 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 4. FT的對稱性 共軛對稱與共軛反對稱及其性質(zhì)： 設(shè)序列 xe(n)滿足下式： xe(n)=x*e(n) () 則稱 xe(n)為共軛對稱序列 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 將 x0(n)表示成實部與虛部如下式： xo(n)=xor(n)+jxoi(n) 可以得到 xor(n)=xor(n) () xoi(n)xoi(n) () 即 共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù) ， 而虛部是偶函數(shù) 。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 對于一般序列可用共軛對稱與共軛反對稱序列之和表示 ， 即 x(n)=xe(n)+xo(n) () 式中 xe(n), xo(n)可以分別用原序列 x(n)求出 ， 將()式中的 n用 –n 代替 ， 再取共軛得到 x*(n)=xe(n)xo(n) () 利用 ()和 ()兩式 ， 得到 () () 利用上面兩式， 可以分別求出 xe(n)和 xo(n)。 第 2章 時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析 最后得到結(jié)論： 序列分成 實部與虛部 兩部分 ， 實部具有共軛對稱性 ，虛部具有共軛反對稱性 。 H(ejω)=He(ejω) H(ejω)=H*(ejω) 因此實序列的 FT的實部是偶函數(shù) ， 虛部是奇函數(shù) ， 用公式表示為 HR(ejω)=HR(ejω)