【正文】 零輸入響應。 )0()( ?ky齊次解的一部分 ( ) ( ) ( )zi zsy t y t y t??完全響應 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應和零狀態(tài)響應 零狀態(tài)響應 ：當起始狀態(tài) 時，由激勵 信號 x(t) 所產(chǎn)生的響應。 —— 零輸入響應的求解 由于激勵信號 x(t) = 0，所以系統(tǒng)的起始時刻不會產(chǎn)生跳變，所以 。 零狀態(tài)響應 ： 是指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 0（不考慮起 始時刻系統(tǒng)的儲能作用），由 外部激 勵作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的輸出響應 。 穩(wěn)態(tài)響應 : 由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響 應分量。 強迫響應 : 形式取決于外加激勵，對應于特解。 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 零輸入響應和零狀態(tài)響應 零輸入響應和零狀態(tài)響應 系統(tǒng)響應的類型 : 自由響應 : 也叫固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定的，和 外加激勵形式無關(guān)。 設 )()()()()( tudtctbtaty ?????????? ??? （ 2） 對（ 2）式等號兩端積分，得 )()()()( tuctbtaty ?????? ?? （ 3） ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 對（ 3）式等號兩端從 到 t 積分，得 ??)()()( tubtaty ??? ? （ 4） 將（ 2）、（ 3）、（ 4）式代入到微分方程，得 )]()()([2)()()()( tuctbtatudtctbta ??????????? ?????)(2)()()( tttubta ??? ???????上式中等號兩端沖激函數(shù)及各階導數(shù)的系數(shù)應分別對應相等 ????????????????0222021bcdabcaba故可求得 ????????????8521dcba ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 將 a,b,c,d的值代入方程（ 2），并對等號兩端從 0到 0+進行積分，有 dttdttdttyy )(5)(2)()0()0( 000000 ??? ??? ???????? ?????????dttu )(8 00 ?? ? ??5)0()0( ????? ?? cyy4)0(5)0( ????? ?? yy將 a,b,c的值代入方程（ 3），并對等號兩端從 0到 0+進行積分，有 dttudttdttyy )(5)(2)()0()0( 000000 ?????? ??? ???????? ?? ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 dttudttdttyy )(5)(2)()0()0( 000000 ?????? ??? ???????? ??2)0()0( ???? ?? byy12)0()0( ???? ?? yy 由此可見，當微分方程等號右端含有沖激函數(shù)及其各階導數(shù)時，系統(tǒng)響應及各階導數(shù)從 0到 0+的瞬間 將發(fā)生 躍變 。 ??0t解： （ 1）列出電路的微分方程 ),()()(1 tetvtiR C ?? 2)()()( Rtidt tdiLtv LLC ??回路方程： 節(jié)點方程： )()()( tidt tdvCti Lc ??化簡上式，并代入電路參數(shù)得到： )(4)(6)()(10)(7)( tetetetititi ??????????? 起始點的跳變 —— 利用 經(jīng)典法 求 0+狀態(tài) 節(jié)點 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS （ 2）求系統(tǒng)的完全響應 求齊次解： 特征方程： 01072 ??? ??特征根： 2,1 ?? 52 ??齊次解： tth eAeAti 5221)( ?? ??求特解： 特解形式為 將其 代入方程（ 1） 得 BtiP ?)()(4)(6)()(10)(7)( tetetetititi ??????????? （ 1） 58B1610 ???B系統(tǒng)的全響應為 : )0(,58)( 5221 ??? ???? teAeAti tt 起始點的跳變 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 （ 3）確定換路后的 )0(),0(?? ?ii542)0()0(21???? ?? RRii L0)0( ?? ?i562354)0()0(2 ????? ?? Riv LC換路后 換路前 A514)]0()0([1)0(1???? ?? CveRi)]0()0([1)0(1?????? ?? CveRi))]0()0((1)0([11??? ???? LiiCeR2A /s??電容兩端電壓、電感中的電流在換路瞬間不發(fā)生突變！ （用經(jīng)典法求 0+狀態(tài)） )]0(1)0([11?? ??? CiCeR ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 （ 4）求系統(tǒng) t≥0+的全響應 )0(,58)( 5221 ??? ??????? ??? teAeAti tt,514)0( ??i 2)0( ??? ?i51458)0(21 ????? AAi252)0( 21 ?????? ? AAi,341 ?A 1522 ??A系統(tǒng) t≥0+時的全響應為： A5815234)( 52 ?????? ??? ?? tt eeti )0( ??t求待定系數(shù) 初始條件代入 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS —— 利用 沖激函數(shù)及其導數(shù)平衡匹配法 求 0+狀態(tài) 設某系統(tǒng)地微分方程如下，給定初始狀態(tài)為 r(0)，確定它的0+狀態(tài) r(0+)。 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 例 6： 如右圖所示電路， t0開關(guān) S處于 1的位置且電路已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)；當 t=0轉(zhuǎn)向 2。 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 起始點的跳變 初始條件的確定 一般系統(tǒng)的初始條件： 當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)的 0到 0+的狀態(tài)有沒有跳變?nèi)Q于微分方程右端函數(shù)式有無沖激函數(shù) 及其各階導數(shù)項。 )0(?cu )0( ?Li 當 沒有 沖激電流（或階躍電壓）強迫作用于 C； 沒有 沖激電壓（或階躍電流）強迫作用于 L時，電路的 0+狀態(tài)為： )0()0( ?? ? LL ii)0()0( ?? ? cC uu電路分析中的換路定則 但是當有沖激電流強迫作用于電容，或有沖激電壓強迫作用于電感， 0到 0+狀態(tài)就會發(fā)生跳變。 ???? t0系統(tǒng)微分方程的求解限于 時間范圍 在用經(jīng)典方法求系統(tǒng)響應時，必須確定系統(tǒng)的 初始條件，這是求解微分方程的關(guān)鍵。反映的是系統(tǒng)以往的歷 史信息。 ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 小結(jié) ： 微分方程的 齊次解 表示系統(tǒng)的 自由響應 ，它由系統(tǒng)本身 的屬性決定； 特征方程的根 稱為系統(tǒng)的 固有頻率 ，它決定了系統(tǒng) 自由 響應 的全部形式； 特解 稱為系統(tǒng)的 強迫響應 ，它只與 激勵函數(shù) 的形式有關(guān)； 系統(tǒng)的 完全響應 =自由響應 +強迫響應。 經(jīng)典法求解微分方程步驟 ： kA 全 解： 齊次解 +特解，由 初始條件 定出齊次解系數(shù) 。 tteAeAtv tt 2c o s5032s i n5021)( 6212 ???? ??（ 1） 由 v2(0) = 0 及 v’2(0) = 0 代入方程（ 1）可求得系數(shù) A A2 R1 R2 + x(t) v1(t) + C1 ?1 ?1 + C2 F31+ v2(t) ? ? ?? ? ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 509,25621 ??? AA由 v2(0) = 0 及 v’2(0) = 0 代入（ 1）式求得： R1 R2 + x(t) v1(t) + C1 ?1 ?1 + C2 F31+ v2(t) ? ? ?? ?tteAeAtv tt 2c o s5032s i n5021)( 6212 ???? ??（ 1） ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 tt eetv 62 509256)( ?? ??? tt 2c o s5032s in5021 ?? 0?t自由響應 （齊次解） 強迫響應 （特解） ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS 微分方程式的建立與求解 tt eetv 62 509256)( ?? ??? tt 2c o s5032s in5021 ?? 0?t自由響應 （齊次解） 強迫響應 （特解） 前兩項隨著 t的增大而消失，稱為瞬態(tài)響應 后兩項隨著 t的增大呈現(xiàn)等幅振蕩，稱為穩(wěn)態(tài)響應 一般地，穩(wěn)定系統(tǒng)的 全響應 = 瞬態(tài)（暫態(tài)）響應 + 穩(wěn)態(tài)響應 瞬態(tài)響應是激勵接入后，暫時出現(xiàn)的分量，由指數(shù)衰減的各項組成。 1 2 R1 R2 + x(t) v1(t) + C1 ?1 ?1 + C2 F31+ v2(t) ? ? ?? ?)(2co s6)(6)(7)( 22222tuttvdt tdvdt tvd ???化簡上兩式得 2211111 )()()()()(RtvtvdttdvCRtvtx ????dttdvCRtvtv )()()( 22221 ??)(2c o s6)(6)(7)( 22222tuttvdt tdvdt tvd ???（ 2）為求齊次解，寫出特征方程 2 7 6 0??? ? ?特征根 6,121 ???? ??（ 3）查表，得 特解 形式為 代入原方程得： 503,502121 ?? BB齊次解為 1 2 1 2( 2 1 4 ) s i n 2 ( 1 4 2 ) c o s 2 6 c o s 2B B t B B t t? ? ? ?比較上述方程兩邊系數(shù)得： ???????621401422121BBBB ◇ 魯東大學電子與電氣工程學院 SIGNALS AND SYSTEMS