【正文】 階 ， 將 X(z)展成一些簡單的常用的部分分式之和 ， 通過查表 (參考表 )求得各部分的逆變換 ， 再相加即得到原序列 x(n)。 因此： x(n)= Res［ F(z), a1］ = an 最后將 x(n)表示為： 即： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 2. 冪級(jí)數(shù)法 (長除法 ) 按照 Z變換定義 ()式 ， 可以用長除法將 X(z)寫成冪級(jí)數(shù)形式 ， 級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列 x(n)。 根據(jù)被積函數(shù) F(z)，按 n≥0和 n0兩情況分別求 x(n)。 n0時(shí) ， c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) z=0， 且是 n階極點(diǎn) ， 改求 c外極點(diǎn)留數(shù)之和 。 (1) 收斂域 |z||a1| 原序列是因果的右序列 ， 無須求 n0時(shí)的 x(n)。 圖中有二個(gè)極點(diǎn) z=a和 z=a1， 這樣收斂域有三種選法 ，它們是： (1) |z||a1|， 對(duì)應(yīng)的 x(n)是右序列； (2) |a||z||z1|， 對(duì)應(yīng)的 x(n)是雙邊序列； (3) |z||a|， 對(duì)應(yīng)的 x(n)是左序列 。 最后得到原序列為： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 該例題沒有給定收斂域 ， 為求出唯一的原序列 x(n)，必須先確定收斂域 。 圖 例 n0時(shí) F(z)極點(diǎn)分布 本例中， N=1， M=1，滿足（ ）式， n0時(shí)，改求圓外極點(diǎn)留數(shù)。 n≥0 時(shí)： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 n0時(shí) ， 增加 z=0的 n階極點(diǎn) ， 不易求留數(shù) ， 采用留數(shù)輔助定理求解 。 n 0時(shí) ， z=0是一個(gè) n階極點(diǎn) 。 設(shè) X(z)=P(z)/Q(z)， P(z)與 Q(z)分別是 M與 N階多項(xiàng)式 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立： () 注意 ()式成立的條件是 F(z)的分母階次比分子階次必須高二階以上 。 如果 c內(nèi)有多階極點(diǎn) ， 而 c外沒有多階極點(diǎn) ， 可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求 c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和 ，使問題簡單化 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 逆 Z變換 已知序列的 Z變換及其收斂域 ， 求序列稱為逆 Z變換 。 |a||z||a|1 如果 |a|≥1， 則無公共收斂域， 因此 X(z)不存在。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 x(n)=a|n|， a為實(shí)數(shù) ， 求 x(n)的 Z變換及其收斂域 。 X(z)存在要求 |a1 z|1， 即收斂域?yàn)?|z||a| 解： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 4. 雙邊序列 一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和 ， 其 Z變換表示為： X(z)的收斂域是 X1(z)和 X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域 。如果 n20，則收斂域?yàn)?0|z| Rx+ 。 解： 左序列是在 n≤n2時(shí) ， 序列值不全為零 ， 而在 nn1， 序列值全為零的序列 。 如果是 因果序列 ， 收斂域定為 Rx|z|≤∞。 第二項(xiàng)為因果序列 ， 其收斂域?yàn)?Rx|z|≤∞， Rx是第二項(xiàng)最小的收斂半徑 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 2. 右序列 右序列是在 n≥n1時(shí) ， 序列值不全為零 ， 而其它nn1， 序列值全為零 。 解： 這是一個(gè)因果的有限長序列 ， 因此 收斂域?yàn)?0z≤∞。 n10， n2 ≤0時(shí)， 0≤ z ＜ ∞ n10， n2 0時(shí)， 0 z ＜ ∞ n1≥0， n2 0時(shí)， 0z≤∞ 如果 n10， 則收斂域不包括 ∞點(diǎn)； 具體有限長序列的收斂域表示如下： 如果是因果序列 ， 收斂域包括 z=∞點(diǎn) 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 序列特性對(duì)收斂域的影響 1. 有限長序列 如序列 x(n)滿足下式： x(n) 稱為有限長序列。 因此其傅里葉變換不存在 ， 更不能用 ()式求 FT， 該序列的 FT不存在 ， 但如果引進(jìn)奇異函數(shù) δ(ω)， 其傅里葉變換可以表示出來 (見表 )。 例 x(n)=u(n)， 求其 Z變換 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 ()式表明單位圓上的 Z變換就是序列的傅里葉變換 。 在極點(diǎn)處 Z變換不存在 ， 因此收斂域中沒有極點(diǎn) ， 收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 使 ()式成立 ， Z變量取值的域稱為收斂域 。 () 單邊 Z變換的定義， 如下式： 對(duì)于因果序列， 用兩種 Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。 π/2， 因此 X(ejω)用下式表示： () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 序列的 Z變換 Z變換的定義 序列 x(n)的 Z變換定義為： () 式中 z是一個(gè)復(fù)變量 ， 它所在的復(fù)平面稱為 z平面 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 Xa(j Ω )0Ω0－ Ωs2s??2s?Ω s……T?ΩXa(j Ω )＾0… …ω2??2?（ a ）（ b ）（ c ）X (ej ω)π0π2 f0π2 f0π2 f?0π2 f?πππ? π2π2?第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 以 fs=200 Hz對(duì) xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào) ， 與 xa(t)的關(guān)系式為 ： ~ ()axt~ ()axt 的傅里葉變換用 ()式確定 ， 即以 Ωs=2πfs 為周期 ， 將 Xa(jΩ)周期延拓形成 ， 得到： ~ ()axt() 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 如圖 (b)所示。 ~()axt~ ()axt() 解： Xa(jΩ)是 Ω=177。 將 t=nT代入 ()式中 ， 得到 () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 令 ， 代入上式后 ， 再將 Ω′用 Ω代替 ， 得到： 2 rT??? ? ? ? 式中 ， 因?yàn)?r和 n均取整數(shù) ， ej2πr n=1， 交換求和號(hào)和積分號(hào)得到 () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 在第一章中曾得到結(jié)論 ， 如果序列是由一模擬信號(hào)取樣產(chǎn)生 ， 則序列的數(shù)字頻率 ω與模擬信號(hào)的頻率Ω( f )成線性性關(guān)系 ： ω=ΩT 式中 T是采樣周期 T=1/fs， 將 ()式代入 () 式得到 現(xiàn)在對(duì)比 ()式和 ()式 ， 得到 () () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 上面 ()式即表示 序列的傅里葉變換 X(ejω)和模擬信號(hào) xa(t)的傅里葉變換 Xa(jΩ)之間的關(guān)系式 ， 可得到結(jié)論： 序列的傅里葉變換和模擬信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系， 與采樣信號(hào)、 模擬信號(hào)分別的 FT之間的關(guān)系一樣，都是 Xa(jΩ)以周期 Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓 。 x(n)的一對(duì)傅里葉變換用 ()式和 ()式表示 ， 重寫如下： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 X(e jω)與 Xa(jΩ)之間有什么關(guān)系 ， 數(shù)字頻率 ω與模擬頻率 Ω(f)之間有什么關(guān)系 ， 這在模擬信號(hào)數(shù)字處理中 ，是很重要的問題 。 ∞之間。 ω0處的單位沖激函數(shù) ， 強(qiáng)度為 π， 且以 2π為周期進(jìn)行延拓 ， 如圖 所示 。 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 圖 例 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 令 ， 2π/ω0為有理數(shù) ， 求其 FT。 ∞之間變化 ， 上式可簡化成： () 的 FT如下式： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 表 基本序列的傅里葉變換 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 對(duì) (a)式進(jìn)行 FT， 得到 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 例 求例 FT。 對(duì)于一般周期序列 ， 按 ()式展開 DFS， 第 k次諧波為 ， 類似于復(fù)指數(shù)序列的 FT， 其 FT為 ， 因此 的 FT如下式 0jne ?001 ( ) [ ( )]2j n jj j ne X e e d IF T X e??? ??? ?? ????~()xn2~( ( ) / ) j knNX x N e ?~ 2[ 2 ( ) / ] ( 2 )rX k N k rN?? ? ? ???????~()xn觀察圖 ， 在 177。 2πr處的單位沖激函數(shù) ， 強(qiáng)度為 2π， 如圖 。 解： 按照 ()式 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 其幅度特性 如圖 (b)所示 。 如對(duì) ()式兩端乘以 ， 并對(duì) k在一個(gè)周期中求和 ， 得到 同樣按照 ()式 ， 得到 () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 ()式和 ()式稱為一對(duì) DFS。 表 FT的性質(zhì) ， 具體如下： 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 表 序列傅里葉變換的性質(zhì) 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) 及傅里葉變換表示式 設(shè) 是以 N為周期的周期序列 ， 可以展成傅里葉級(jí)數(shù)： () 式中 ak是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù) 。h(n) () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 7. 帕斯維爾 (Parseval)定理 () 第 2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析 帕斯維爾定理告訴我們 ， 信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量 。 因此求系統(tǒng)的輸出信號(hào) ， 可以在時(shí)域用卷積公式 ()計(jì)算 ， 也可以在頻域按照()式 ， 求出輸出的 FT， 再作逆 FT求出輸出信號(hào) 。H(e jω) () 證明 ( ) ( ) ( )( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ]( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )mjjnmj j k j k jkmj k j kkmjjy n x m h n mY e F T y n x m h n m eY e h k e x m e eh k e x m eH e X e??? ? ? ???