【正文】 態(tài)響應(yīng)的齊次解 差分方程的 特征方程 為： 2 31 048??? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 363頁 ■ 電子教案 卷積和 1211( ) ( ) ( )24kkfhy k C C??可解得 特征根 為： 1211,24????因此， 齊次解 為： (3) 求零狀態(tài)響應(yīng)的特解 1( ) ( ) ( )2kf k k??因為激勵 的底數(shù)與特征根 λ 1相等。 其 特解 為： 101( ) ( ) ( ) 02kpy k P k P k? ? ?，將 特解 代入（ 1），得： 121 0 1 0 1 01 3 1 1 1 1[ ( ) ( ) ] { [ ( 1 ) ] ( ) } { [ ( 2 ) ] ( ) } ( )2 4 2 8 2 2k k k kP k P P k P P k P??? ? ? ? ? ? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 364頁 ■ 電子教案 卷積和 102,PP? 任 意解得： （ 4）求零狀態(tài)響應(yīng) 1 2 1 01 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2k k kf f h py k y k y k C C P k P? ? ? ? ? ?1 2 0( 0 ) 1fy C C P? ? ? ?1 2 1 01 1 1 5( 1 ) ( )2 4 2 4fy C C P P? ? ? ? ?代入 初始條件 得： 2 1 010C C P? ? ?，解得： 所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為： 11( ) ( ) 2 ( ) 042kkfy k k k? ? ?，信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 365頁 ■ 電子教案 卷積和 例 4: 已知某 LTI系統(tǒng)的輸入為 解： 1 , 0( ) 4 , 1 , 20,kf k k???????? 其 余時，其零狀態(tài)響應(yīng)為 0 , 0()9 , 0fkykk??? ???求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。 ( ) ( ) 4 ( 1 ) 4 ( 2 )f k k k k? ? ?? ? ? ? ?( ) 9 ( )fy k k??由題意知： ( ) 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 366頁 ■ 電子教案 卷積和 ( 1) 0h ??( 2 ) 0h ??初始條件： ( ) ( ) 4 ( 1 ) 4 ( 2 ) 9 ( )fy k h k h k h k k?? ? ? ? ? ? 設(shè)系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為 h(k)，根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的 線性 性質(zhì)： 由迭代得： (0 ) 9 4 ( 1 ) 4 ( 2 ) 9h h h? ? ? ? ? ?( 1 ) 9 4 (0 ) 4 ( 1 ) 2 7h h h? ? ? ? ? ?（ 1）特解： ( ) , 0ph k P k??代入得： 1P?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 367頁 ■ 電子教案 卷積和 特征方程： 2 4 4 0??? ? ?特征根： 12 2??? ? ?（ 2）齊次解 齊次解： 12( ) ( ) ( 2 ) khh k C k C? ? ?12( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 1 , 0khph k h k h k C k C k? ? ? ? ? ? ?（ 3）零狀態(tài)響應(yīng)全解 代入 初始條件 ： 2(0 ) 1 9hC? ? ?12( 1 ) 2 ( ) 1 2 7h C C? ? ? ? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 368頁 ■ 電子教案 卷積和 解得： 2 8C ?1 6C ?( ) (6 8 ) ( 2 ) ( ) ( )kh k k k k??? ? ? ?系統(tǒng)的 單位序列響應(yīng) 為： 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 369頁 ■ 電子教案 卷積和 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h k k h k k N N h k k? ? ?? ? ? ?如 圖 所 示 的 復(fù) 合 系 統(tǒng) 由 3 個 子 系 統(tǒng) 組 成 ， 它 們 的 單 位 序 列 響 應(yīng)分 別 為 ， ， 為 常 數(shù) ， ，求 復(fù) 合 系 統(tǒng) 的 單 位 序 列 響 應(yīng) 。例 5: 解： 1 ()hk2 ()hk∑()fk ()yk?? 3 ()hk1 2 3( ) [ ( ) ( ) ] * ( )h k h k h k h k??由復(fù)合系統(tǒng)各個子系統(tǒng)之間的連接關(guān)系得 : [ ( ) ( ) ] * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )k k N k k k k N k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( )k k N??? ? ?() 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 370頁 ■ 電子教案 卷積和 例 6: 某人向銀行貸款 M=10萬元，月利率 β=1%，他定期于每月初還款數(shù)為 f(k)，尚未還清的款數(shù)為 y(k)，列出 y(k)的方程。如果他從貸款后第一個月 (可設(shè)為 k=0)還款，則有 f(k)=Nε(k)萬元和 y(1)=M=10萬元。 解： (1) 如每月還款 N=，求 y(k)。 (2) 他還清貸款需要幾個月？ (3) 如他想在 10個月內(nèi)還清貸款，求每月還款數(shù) N。 （ 1）列出 y(k)的差分方程。 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )y k y k f k?? ? ? ?整理得： ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )y k y k f k?? ? ? ? ?() 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 371頁 ■ 電子教案 卷積和 齊次解： ( ) ( 1 ) ( )khy k C k????特解： ()py k P?( ) ( ) ( ) ( 1 ) [ 10 .1 ] ( 1 )kkhp NNy k y k y k C P N?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1 ) 1 0y ??初始條件： 迭代得： (0 ) ( 1 ) 1 1 0 . 1 9 . 6y y N N?? ? ? ? ? ?（ ＋ ）全解： 代入初始條件： (0 ) 9 . 6y C P? ? ?特解代入得： 10 0 50NPN?? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 372頁 ■ 電子教案 卷積和 解得： 4 0 .4C ??( ) 4 0 .4 ( 1 0 .0 1 ) 5 0 , 0ky k k? ? ? ? ?所以： （ 2）還清貸款需要滿足 y(k) ≤0，即： ( ) 4 0 .4 ( 1 0 .0 1 ) 5 0 0kyk ? ? ? ? ?解得： 50lg40 .4 21 .4 3l g 1. 01k ??k取整數(shù)，故 k=22。 k從 0開始計算，所以還清貸款需要 23個月。 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 373頁 ■ 電子教案 卷積和 （ 3）如果想 10個月還清貸款，需要滿足 y(9) ≤0。 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) [ 10 .1 ] ( 1 )kkhp NNy k y k y k C P N?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9( 9) [ ] ( 1 ) 0NNyN ???? ? ? ? ? ?9[ 101 ] ( 1 ) 100 0NN?? ? ? ?99[ 10 1 ( 1 0. 01 ) 10 0] 10 .1 ( 1 0. 01 )N? ? ? ?991 0 . 1 ( 1 0 . 0 1 ) 1 . 0 6 ( )1 0 1 ( 1 0 . 0 1 ) 1 0 0N????? 萬 元信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 374頁 ■ 電子教案 卷積和 例 7: 求圖示系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。 ()fk ()yk??∑D D4 3??∑?3 1x(k) x(k1) x(k2) 解： 設(shè)一中間變量 x(k)，則左邊的加法器輸出為： ( ) ( ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 )x k f k x k x k? ? ? ? ?( ) 3 ( ) ( 1 )y k x k x k? ? ?右邊加法器輸出為： ( ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) ( ) ( 1 )x k x k x k f k? ? ? ? ?整理得： 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 375頁 ■ 電子教案 卷積和 ( ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) ( 1 ) ( 2 )y k y k y k f k f k? ? ? ? ? ? ?所以，圖示系統(tǒng)的差分方程為： k≥2時， (2)式的 零狀態(tài)響應(yīng) 化為齊次方程： ( ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 0 ( 3 )h k h k h k? ? ? ? ?初始狀態(tài) ： ( 1 ) ( 2 ) 0hh? ? ? ?迭代得： (0 ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 3 3h h h? ? ? ? ? ?( 1 ) 4 (0 ) 3 ( 1 ) 1 1 1h h h? ? ? ? ?由 (2)得： ( ) 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) 3 ( ) ( 1 )h k h k h k k k??? ? ? ? ? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 376頁 ■ 電子教案 卷積和 （ 3）式的特征根為： 121 , 3????所以： 12( ) [ ( 1 ) ( 3 ) ] ( )kkh k C C k???代入 初始條件 得： 12( 0 ) 3h C C? ? ?12( 1 ) 3 11h C C? ? ?解得： 121 , 4CC? ? ? 由于 h(0),h(1)作為初始值代入，因而方程的解也滿足 k=0和 k=1。所以系統(tǒng)的 單位序列響應(yīng) 為： ( ) [ 1 4( 3 ) ] ( )kh k k?? ? ?信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 377頁 ■ 電子教案 離散系統(tǒng)的 E算子分析 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng) （ 1）零輸入響應(yīng) yx(k) : 輸入 f(k)為零，由初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)稱零輸入 響應(yīng)。設(shè)初始時刻為 k0=0，系統(tǒng) 初始狀態(tài) 通常指： （對 n階系統(tǒng)）。 ( 1 ) , ( 2 ) , , ( )y y y n? ? ?)( kf離 散 系 統(tǒng))( ky* 離散系統(tǒng)的 E算子分析 )。()()( kykyky fx ?? 描述： LTI離散系統(tǒng)的基本概念 復(fù)習(xí) 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 378頁 ■ 電子教案 離散系統(tǒng)的 E算子分析 初始狀態(tài)為零，由輸入 f(k) 產(chǎn)生的響應(yīng)稱零狀態(tài)響應(yīng)。 （ 3）完全響應(yīng) y(k)： 線性時不變因果系統(tǒng)的性質(zhì)： （ 2）零狀態(tài)響應(yīng) yf (k): （ 2）時不變性： )()( kykf f?).()( 00 kkykkf f ???由初始狀態(tài)和輸入共同產(chǎn)生的響應(yīng)稱為完全響應(yīng)。 可分解性： y(k)=yx(k)+yf (k)； 零輸入線性： yx(k)與初始狀態(tài)滿足線性； 零狀態(tài)線性： yf (k)與輸入 f(k)滿足線性。 （ 1） 線性：包括以下三個方面： 若 則 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 379頁 ■ 電子教案 若 kk0時，輸入 f(k)=0 ； 則 kk0時，零狀態(tài)響應(yīng) yf(k)=0 。 離散系統(tǒng)的 E算子分析 離散系統(tǒng)的 算子分析1010( ) ( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ( )nmmy k a y k a y k nb f k b f k b f k m??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 已知單輸入－單輸出 LTI離散系統(tǒng)的激勵為 f(k)，其全響應(yīng)為 y(k)，那么，描述該系統(tǒng)激勵 f(k)與響應(yīng)y(k)之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是 n階常系數(shù)線性差分方程，表示如下： 4. LTI離散系統(tǒng)的差分方程 （ 3）因果性： 信號與系統(tǒng) 169。西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心 第 380頁 ■ 電子教案 n階離散系統(tǒng)