【正文】 )是實序列，則這些性質(zhì)將變得特別地簡單和有用。這時序列的傅立葉變換是共軛對稱的，即 所以，實序列的傅立葉變換的實部是 ?的偶函數(shù)，而虛部是 ?的奇函數(shù)。 98X* 信息學(xué)科立體化教材 序列傅立葉變換的對稱性 利用 MATLAB可以將實信號分解為偶和奇兩部分，其函數(shù)如下 function [xe, xo, m] = evenodd(x,n) % 實信號分解為偶和奇兩部分 % [xe, xo, m] = evenodd(x,n) if any(imag(x) ~= 0) error(39。x 不是實序列 39。) end 99X* 信息學(xué)科立體化教材 序列傅立葉變換的對稱性 m = fliplr(n)。 m1 = min([m,n])。 m2 = max([m,n])。 m = m1:m2。 nm = n(1)m(1)。 n1 = 1:length(n)。 x1 = zeros(1,length(m))。 x1(n1+nm) = x。 x = x1。 xe = *(x + fliplr(x))。 xo = *(x fliplr(x))。 100X* 信息學(xué)科立體化教材 序列傅立葉變換的對稱性 例 用 MATLAB將實信號分解為偶和奇兩部分 解 MATLAB程序如下 n=[0:10]。 x=stepseq(0,0,10)stepseq(10,0,10)。 [xe,xo,m]=evenodd(x,n)。 subplot(2,2,1)。stem(n,x)。title(39。矩形脈沖 39。) xlabel(39。n39。)。ylabel(39。x(n)39。)。 subplot(2,2,2)。stem(m,xe)。title(39。偶部 39。) xlabel(39。n39。)。ylabel(39。xe(n)39。)。 subplot(2,2,4)。stem(m,xo)。title(39。奇部 39。) xlabel(39。n39。)。ylabel(39。xo(n)39。)。 101X* 信息學(xué)科立體化教材 序列傅立葉變換的對稱性 102X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 設(shè)輸入序列是頻率為 的復(fù)指數(shù)序列，即 線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 h(n)，利用卷積公式，得到輸出為 其中 稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 分別稱為系統(tǒng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。 103X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 有了系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念，現(xiàn)在，對線性時不變系統(tǒng)，可以建立任意輸入情況下，輸入和輸出兩者的傅立葉變換間的關(guān)系。對卷積公式 y(n)=x(n)?h(n)兩端取傅立葉變換，并利用傅立葉變換的性質(zhì)得到 對于線性時不變系統(tǒng)，其輸出序列的傅立葉變換等于輸入序列的傅立葉變換與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的乘積。 104X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 例 求具有下列單位脈沖響應(yīng)的系統(tǒng)頻率響應(yīng)。 解 幅度響應(yīng) 相位響應(yīng) 105X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)|H(ej?)|?3?/2?/21/(1+a)1/(1a)2??0arg[H(ej?)?2??0106X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣 離散時間信號通常是由連續(xù)時間信號經(jīng)周期抽樣得到的。抽樣就是利用周期性抽樣脈沖序列 p(t)，從連續(xù)信號xa(t)中抽取一系列的離散值，得到抽樣信號即離散時間信號，以表示 xa(t) 。抽樣是模擬信號數(shù)字化處理的第一環(huán)節(jié)。 xa(t)再經(jīng)幅度量化編碼后即得到數(shù)字信號。 完成抽樣功能的器件稱為抽樣器，抽樣器可以看成是一個電子開關(guān)。開關(guān)每隔 T秒閉合一次，便得到一個輸出抽樣值。在理想情況下，開關(guān)閉合時間無窮短。對實際抽樣，閉合時間是 ?秒，但 ?T。 ??107X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣p(t)p(t)(d) TT?000 0tttx a(t)0ttx a(t)電子開關(guān)(a)(b)(c)(e) (f)108X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣 設(shè)模擬信號 xa(t) ，沖激函數(shù)序列 ?T(t)以及抽樣信號xa(t)的傅立葉變換分別為 Xa(j?)、 M(j?)和 Xa(j?) ，可以推導(dǎo)出傅立葉變換的關(guān)系。? ?109X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣 從上式可以看出，一個連續(xù)信號經(jīng)過理想抽樣后，其頻譜將以抽樣頻率 ?s=2?/T為間隔周期重復(fù)，這就是頻譜產(chǎn)生的周期延拓，如圖所示。注意，頻譜大都是復(fù)數(shù)，圖中僅畫出了其幅度譜。也就是說，理想抽樣信號的頻譜，是頻率的周期函數(shù)，其周期為 ?s，而頻譜的幅度與原信號的頻譜相差一個常數(shù)因子 1/T。所以除一個常數(shù)因子的區(qū)別外，每一個延拓的譜分量與原信號的頻譜相同。因此只要各延拓分量與原頻譜不發(fā)生頻率上的交疊，則有可能恢復(fù)出原信號。110X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣(c)(a)000(b)111X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣 這樣如果原信號 xa(t)的頻譜 Xa(j?) ，限制在某一最高頻率范圍內(nèi)，即 則稱其為帶限信號。當對帶限信號的抽樣滿足 ?h ?s /2時，那么原信號的頻譜和各次延拓分量的譜彼此不重疊。這時采用一個截止頻率為 ? s/2的理想低通濾波器，就可得到不失真的原信號頻譜，即可以不失真地還原出原來的連續(xù)信號。 如果原信號的的最高頻率 ?h超過 ? s/2，則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜交疊，稱為混疊現(xiàn)象，因而無法不失真地還原出原來的連續(xù)信號。由于 Xa(j?)一般是復(fù)數(shù)，所以混疊也是復(fù)數(shù)相加。通常稱 ? s/2為折疊頻率或奈奎斯特頻率。 112X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣 2. 抽樣信號的恢復(fù) 如果滿足奈奎斯特抽樣定理，即信號頻譜的最高頻率小于折疊頻率，則抽樣后不會產(chǎn)生頻譜混疊，可知 故將其通過理想低通濾波器 就可得到原信號頻譜 ，即在輸出端就恢復(fù)出了原連續(xù)信號。 113X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣 理想低通濾波器的輸出為 上式就是從抽樣信號恢復(fù)原連續(xù)信號的抽樣內(nèi)插公式。 其中 稱為內(nèi)插函數(shù)。 114X* 信息學(xué)科立體化教材 連續(xù)信號的抽樣h(tmT)t(m+1)TmT(m1)Tt4T3T2TT0115X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間信號的抽樣 離散時間信號 x(n)的抽樣過程如圖所示，抽樣后得到的序列 xp(n)稱為離散時間抽樣序列，其抽樣周期為 N。xp (n)x (n)p (n)x(n)nnp(n) xp(n)n116X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間信號的抽樣 設(shè)序列 x(n) ，離散時間抽樣序列 xp(n)和沖激函數(shù)序列p(n)的傅立葉變換分別用 X(?)、 Xp(?)和 P(?)。 可以推導(dǎo)出 可以看出，一個序列經(jīng)過抽樣后得到的離散時間抽樣序列，其頻譜是原序列的頻譜的周期延拓，周期為抽樣頻率 ? s。如圖所示。 117X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間信號的抽樣XP(?)XP(?)2??S2??S?M ?M02? ?S 2??S2? 2?P(?)?M ?MX(?)000????118X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間信號的抽樣 當抽樣頻率滿足 ? s? 2? M。 (設(shè)原序列的最高頻率為 ? M)時， 那么各次延拓分量的譜彼此不重疊。 Xp(?)在 ? M~ ? M之間的部分與 X(?)的頻譜相同 (只相差一個系數(shù) )。這時采用一個截止頻率為 ? s/2的理想低通濾波器，就可得到不失真的原序列頻譜。也就是說，可以不失真地恢復(fù)出原來的序列。 119X* 信息學(xué)科立體化教材 離散時間信號的抽樣 若理想低通濾波器的頻率特性為 理想低通濾波器的輸出為 120X* 信息學(xué)科立體化教材 序列的抽取與插值 將原來的序列每隔 N個樣值點保留一個樣值點，去掉其中的 N1個樣值點而形成一個新的序列，這就稱為序列的抽取，如圖所示，即按 N:1對原序列的數(shù)據(jù)進行壓縮，若是原序列 x(n)， y(n)為抽取后的序列，則 x(n)和 y(n)之間的關(guān)系為 121X* 信息學(xué)科立體化教材 序列的抽取與插值y (n)00nnny (n)x (n)N?(a)(b)(c)(d)x(n)122X* 信息學(xué)科立體化教材 序列的抽取與插值 序列的插值則是相反的過程，在原來的序列的兩個樣值點之間等間隔地插入 M個新的樣值點，從而得到一個具有更多樣值點的新序列，如圖所示。 若是原序列 x(n)， y(n)為插值后的序列，則 x(n)和 y(n) 之間的關(guān)系為 123X* 信息學(xué)科立體化教材 序列的抽取與插值y(t)nnny(t)x(t)x(t)M?124