【正文】 解 、 的 z變換分別為 則依據(jù)時域卷積定理，得 ， 1( ) ( ) , ( ) ( ) ( 1 ) ,n n nx n a u n h n b u n a b u n b a?? ? ? ? ?( ) ( ) ( )y n x n h n??()xn ()hn( ) [ ( ) ] ,zX z Z x n z aza? ? ??1( ) [ ( ) ] ,z z z a z aH z Z h n a z z bz b z b z b z b z b? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) z z a zY z X z H z z a z b z b?? ? ?? ? ?zb?第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 86 /186 ()Yz上式中 的極點與 的零點相消， 的收斂域擴大為 ，所以 ()Xz ()Hz ()Yz1( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )ny n x n h n Z Y z b u n?? ? ? ?第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 87 /186 (z域卷積定理 ) 若 ； ， ， 則 的 z變換為 , () 其中 , c是在啞元變量 v平面上， 、 公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條逆時針封閉圍線。 第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 83 /186 證明 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] nnZ x n h n x n h n z??? ? ?? ? ??[ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ]( ) [ ( ) ][ ( ) ] ( )( ) ( ) , m a x[ , ] m i n[ , ]nnmnmnkmmkmmx h x hx m h n m zx m h n m zx m h k z zx m z H zX z H z R R z R R???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ???????? ? ????????第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 84 /186 可見兩序列在時域中的卷積對應于在 z域中兩序列z變換的乘積。 該定理又可寫為 即通過 可求得 的終值。 ?? ??? xx RzRzXnxZ ,)()]([??????xx RzRzXnxZ 11,)1()]([)( nx ? )(nx???????????????????????????? ?xxnnn nnnRzRzXznxznxznxnxZ11 )1())(()()()]([，????xx RzR 11第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 75 /186 例 求 的 z變換。 ()Xzkzz? ()zX a kz za ?kz az?0jnae??第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 71 /186 (z域微分 ) 若 則有 證明 將 z定義式 兩端對 z求導得 即 ?? ??? xx RzRzXnxZ ,)()]([?? ???? xx RzRzXdzdznnxZ ,)()]([( ) ( ) nnX z x n z??? ? ?? ?11()[ ( ) ] ( ) ( )( ) ( )nnnnnnnnd X z d dx n z x n zd z d z d zn x n z z n x n z????? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?????()[ ( ) ] d X zZ n x n zdz??第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 72 /186 例 求 ， 的 z反變換。 )(nx na)()]([ zXnxZ ? ?? ?? xx RzR?? ??? xxn RazRaazXnxaZ ),()]([[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )n n n nnnzzZ a x n a x n z x n Xaa?? ??? ? ? ? ? ?? ? ???xxzRRa????xxa R z a R????第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 70 /186 0jnae?? 依據(jù)這一性質(zhì)可見，新序列 z變換的零極點的位置均改變了。 解 查表 依據(jù)移位性質(zhì)得 因此，依據(jù)線性性質(zhì)得所求為 ( ) ( ) ( 3 )x n u n u n? ? ?[ ( ) ] , 11zZ u n zz???23[ ( 3 ) ] [ ( ) ] , 11zZ u n z Z u n zz??? ? ? ??2221[ ( ) ] , 111z z z zZ x n zz z z? ??? ? ? ???第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 69 /186 （ z域尺度變換） 此性質(zhì)描述了序列 乘以指數(shù) 后，其 z變換如何變化。但如果 是雙邊序列， 收斂域為環(huán)形區(qū)域，則序列位移并不會使 z變換收斂域發(fā)生變化。查表 )()co s ()( 0 nunnx ??0001c o s ( ) ( ) [ ] ( )2j n j nn u n e e u n??? ???)(nx11[ ( ) ] ,1nZ a u n z aaz ????第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 61 /186 由此得 綜合上述分析，得所求 z變換為 000 11[ ( ) ] , 11j n jjZ e u n z eez??? ?? ? ??000 11[ ( ) ] , 11j n jjZ e u n z eez?????? ?? ? ??000 111 1 1[ c o s ( ) ( ) ] [ ] , 12 1 1jjZ n u n ze z e z??? ???? ? ???第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 62 /186 2．移位性質(zhì) 1）雙邊 z變換 若序列 的雙邊 z變換為 ， 則移位 m后的序列 的雙邊 z變換為 ， 其中 m為任意整數(shù)，若 m為正，則為右移（延遲）；若 m為負，則為左移（超前）。 第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 59 /186 z變換是一種線性變換，滿足均勻性與疊加性，即若 則對于任意常數(shù) a、 b下式成立： 收斂域一般是 和 收斂域的重疊部分。 解 c為 收斂域內(nèi)的圍線， 如圖 。 mz1)( ?nzzX1)( ?nzzX111( ) ( ) R e [ ( ) ]2 mnnzzcmx n X z z dz s X z zj? ?? ?? ? ? ??第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 52 /186 若 是 的一階極點，則有 若 是 的多重（ s階極點），則有 kz 1)( ?nzzX11R e ( ) ( ) ( )kknnkz z z zs X z z z z X z z????? ? ? ???? ? ? ?kz 1)( ?nzzX11111R e ( ) ( ) ( )( 1 ) !kksn s nksz z z zds X z z z z X z zs d z????????? ? ? ?????? ? ? ????需要注意的是，在使用上述兩式時，一定要計算 出 位于 c內(nèi)或 c外的所有可能的極點處的留數(shù)，而且，當 n取值不同時， 處極點的階次可能會發(fā)生變化。 對 z變換定義式兩端同乘以 ，得 對上式兩端進行圍線積分，可得 )(zX1?kz11 )()( ???????? ?? knnk znxzzX? ?? ???????? ?cknnck dzznxjdzzzXj11 )(21)(21??第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 48 /186 其中 c是一條位于 收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的逆時針圍線。對于雙邊序列可先將其分解為右邊序列和左邊序列，所以先將 展開成部分分式再長除。 解 由表達式知， 只有一個極點 ，且收斂域 在極點所在圓的外部，所以 應為右邊序列，則應將 展開成 z的降冪級數(shù)。 解 : 依據(jù)冪級數(shù)展開公式 ， 以及 中的 （由收斂域得到），可得 由上式看到， 項的系數(shù)是 ，又由收斂域的形式得知， 是一個右邊序列，則所求 為 )1ln ()( 1??? azzX az ?)(nx???????11)1()1ln(nnnnxx 11 ??? x)(zX 11 ??az?????? ????111 )1()1l n ()(nnnnnzaazzXnz?na nn 1)1( ??)(nx)(nx??????????0,01,)1()(1nnnanxnn第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 39 /186 2）長除法 一般為有理分式，用 的分母多項式去除分子多項式就可得到其冪級數(shù)形式。 將 展開為冪級數(shù)常用的方法有兩種。 22)2)(1(2)(??? zzzzX 2?z)(nx2)()1(1???????? ????zzzXzA2212 )2(21)2)(1(2)(????????? zCzCzAzzzzzX 解： 第 2章離散時間信號與系統(tǒng)的 Z域分析 32 /186 2)()2(221 ??????? ????zzzXzdzdC4)()2(222 ??????? ????zzzXzC所