【正文】 特別地： ( 1 ) ( 1 )d ( ) d [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )ddx t x t t x t t x t ttt? ???? ? ? ? ?( ) ( ) ( )x t t x t? ????( ) ( )( ) ( ) ( )kkx t t x t???( ) ( )00( ) ( ) ( )kkx t t t x t t?? ? ? ?對沖激偶： 推廣： 微分 卷積的性質(zhì) 5. 微積分性質(zhì) 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 75 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t h t x t h t x t h t??? ? ? ? ?證明： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( ) ( ) {[ ( ) ( ) ] } [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )y t y t x t h t x t h tx t h t x t h tx t h t x t h t??????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i ix t h t x t h t x t h t??? ? ? ? ?推論： 用處：如果相卷積的兩個信號之一是奇異信號，可進行微積分變成 δ(t), 另一個信號只需單獨做相反的積微分，使卷積運算變成微積分運算 . [ ( ) ( ) ] d [ ( )d ] ( ) ( ) [ ( )d ]t t tx h x h t x t h? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?積分 微積分 卷積的性質(zhì) 5. 微積分性質(zhì) 特別地：（與階躍函數(shù)的卷積） )(d)()()( 1( txxt*tx )t ??? ?? ? ???信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 76 例 ： 求 )2(*)1()( ??? ttty ??解： 根據(jù)移位性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有 ( 1)( 1)3( ) ( ) * ( 2 1 )( ) * ( 3 )( ) * ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )( 3 ) ( 3 )tty t t tttttddtt??????? ? ?? ? ?????? ? ?????????? ? ??? 卷積的性質(zhì) 5. 微積分性質(zhì) 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 77 例 ： 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) )(e)( tth t???圖示，求系統(tǒng)響應(yīng) y (t) . 解： 輸入信號為： ????????????tttttx其余0101011)()1()()1()1()()1()1()}1()({)}()1(){1()1()2()2( ????????????????????? ttttttttttttt??????????)1()()1( )()()()1()2()2( ?????????? ththththtxty)()e1( )(]de[ d)(e)(0)1(ttthttt????????????????????)()e1( )()de(1)(0)2(tttthtt???????????????? ?? ?)1()e1()()e1()1()e()( )1()1( ????????? ????? tttttty ttt ???根據(jù)卷積的微積分性質(zhì)，得系統(tǒng)響應(yīng) : ,輸入信號如 x ( t )t11O 1 卷積的性質(zhì) 5. 微積分性質(zhì) 。有時可使卷積簡便 .在系統(tǒng)分析中，卷積的交換律意味著一個單位沖激響應(yīng)為 h(t)的 LTI系統(tǒng)對輸入 x(t)的響應(yīng)與一個單位沖激響應(yīng)為 x(t)的 LTI系統(tǒng)對輸入 h(t)的響應(yīng)是一樣的 . 交換律 、分配律、結(jié)合律 卷積的性質(zhì) 2. 交換律、分配律、結(jié)合律 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 70 )()()()()]()([)( 2121 thtxthtxththtx ??????分配律用于系統(tǒng)分析，相當于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) = 組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和 . x(t) h1(t) h2(t) )]()([)( 21 ththtx ??分配律 卷積的性質(zhì) 2. 交換律、分配律、結(jié)合律 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 71 )]()([)()(*)]()([ 2121 ththtxththtx ????)](*)([*)( 12 ththtx? 結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當于級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) = 組成級聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積 . 改變兩個系統(tǒng)的級聯(lián)順序，系統(tǒng)總的響應(yīng)保持不變 . h1(t) h2(t) x(t) )]()([)(21 ththtx ??結(jié)合律 卷積的性質(zhì) 2. 交換律、分配律、結(jié)合律 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 72 )()(*)( tythtx ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t x t d x t d x t? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )x t t t x t t d x t t d x t t? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ???1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )x t t t t x t t t d x t t t d x t t t? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???與沖激函數(shù)的卷積 兩信號卷積 )()(*)()(*)(211221tttytthttxtthttx????????)()(*)( 11 ttythttx ???h(t) h(tt2) h(t) h(tt2) x(t) y(t) x(t) y(tt1) x(tt1) x(tt1) y(tt1t2) y(tt2) 時不變性質(zhì) 卷積的性質(zhì) 3. 時間移位 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 73 若兩個起始時刻分別為 a a2的信號做卷積運算，則卷積后信號的起始時刻為 a1+a2 若兩個持續(xù)期分別為（ a1， b1）、（ a2， b2）的信號做卷積運算，則卷積后信號的終止時刻一般為（ b1+b2），故卷積后信號的長度為 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )b b a a b a b a? ? ? ? ? ? ? 卷積的性質(zhì) 4. 卷積后信號的長度 因此，兩個有限持續(xù)期信號卷積后的長度是它們兩個長度的和。 )(ty x ( t )t11O 1解 輸入信號為 ????????????tttttx其余0101011)(用下式計算響應(yīng) ? ? ?? ??? ??? d)()()(*)()( thxthtxty(2) 1t 0 區(qū)間 (3) 0t 1 區(qū)間 (4) t 1 區(qū)間 ? ?ttttty?????????????????? ??e)1ee()1e(eedede)1()(11110)(01)( ??? ??(1) t 1 區(qū)間 0)( ?ty)1(e)( ???? ttty x ( ? )t11O 1h ( t ? )t 1t11O 1h ( t ? ) 1 t 0t tt11O 1h ( t ? )0 t 1t t11O 1h ( t ? )t 1t x ( ? ) x ( ? ) x ( ? )( a ) ( b )( c ) ( d )tty ?? ??? e)1e(1)( 1τ 卷積 2. 卷積計算 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 66 例 已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) )(e)( tth t??? ,輸入信號如右圖所示，求系統(tǒng)響應(yīng) 。 )(ty x ( t )t11O 1解 輸入信號為 ????????????tttttx其余0101011)(用下式計算響應(yīng) ? ? ?? ??? ??? d)()()(*)()( thxthtxty(2) 1t 0 區(qū)間 ? ?)1(11111)(e)ee(e)1(edee)1(ede)1(ede)1()(??????????????????????????????????tttttttttttttty??????????(1) t 1 區(qū)間 0)( ?ty x ( ? )t11O 1h ( t ? )t 1t11O 1h ( t ? ) 1 t 0t tt11O 1h ( t ? )0 t 1t t11O 1h ( t ? )t 1t x ( ? ) x ( ? ) x ( ? )( a ) ( b )( c ) ( d )τ 卷積 2. 卷積計算 信號與系統(tǒng)分析（第 2版）電子教案 64 x ( ? )t11O 1h ( t ? )t 1t11O 1h ( t ? ) 1 t 0t tt11O 1h ( t ? )0 t 1t t11O 1h ( t ? )t