【正文】 區(qū)間上求和 ,便得到 x1(n)與 x2(n)的循環(huán)卷積 x(n). x2(m)的循環(huán)反轉(zhuǎn)序列 x2((m))NRN(m)移位 n, 形成 x2((nm))NRN(m). x2( ( 1 m ) )NRN( m )0 71mx2( ( 2 m ) )NRN( m )0 1 2 3 4 5 6 71m0 1 2 3 4 5 6 7n1234x ( n )1 2 3 4 5 6 圖 循環(huán)卷積過程示意圖 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X )2()()(),(2)( 4 ???? nnnxnRnh ??)()()( nxnhny l ??)5(2)4(2)1(2)(2 ??????? nnnn ????例 循環(huán)卷積的長度與結(jié)果的關(guān)系 設(shè) (1) (2) 4)()()( ??? Nnxnhny c????3044 )())(()(mnRmnhmx0?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X (3) 6)()()( ??? Nnxnhny c????5066 )())(()(mnRmnhmx2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 4) 2 ( 5 )n n n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 0 n … … )(~nh N=4 n 0 … … )(~ nh N=6 )(~ mh ?0 m … … N=6 h(n) 0 n 2 n 1 x(n) 0 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 如果 x(n)=x1(n)x2(n) 則 X1(k)=DFT［ x1(n)］ X2(k)=DFT［ x2(n)］ 0≤k≤N1 二、頻域循環(huán)卷積定理： 2112101( ) ( ) ( )1( ) ( ( ) ) ( )NNNlX k X k X kNX l X k l R kN???????1211201( ) [ ( ) ] ( ) ( )1( ) ( ( ) ) ( )NNNlX k D F T x n X k X kNX l X k l R kN??? ? ????或 其中 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 則 DFT［ x*(n)］ =X*(Nk), 0≤k≤N1 () 且 X(N)=X(0) 復(fù)共軛序列的 DFT 設(shè) x*(n)是 x(n)的復(fù)共軛序列， 長度為 N X(k)=DFT［ x(n)］ 同樣可以得到 DFT［ x*(Nn)］ =X*(k), 0≤k≤N1 () 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 則二者滿足如下定義式： xep(n)=x*ep(Nn), 0≤n≤N1 () xop(n)= x*op(Nn), 0≤n≤N1 () DFT的共軛對稱性 1. 有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列 用 xep(n)和 xop(n)分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列 . 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 式中 xep(n)=[x(n)+x*(Nn)]/2 () xop(n)=[x(n)x*(Nn)]/2 () 任何有限長序列 x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和， 即 類似的 x(n)的 DFT[x(n)]=X(k)也可以表示成其共軛對稱分量 Xep(k)和共軛反對稱分量 Xop(k)之和， 即 X(k)=DFT[x(n)]=Xep(k)+Xop(k) 其中 Xep(k) =[X(k)+X*(Nk)]/2 X(k)的共軛對稱分量 Xop(k) =[X(k)X*(Nk)]/2 X(k)的共軛反對稱分量 x(n)=xep(n)+xop(n), 0≤n≤N1 () 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 2. DFT的共軛對稱性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r i e p o px n x n jx n x n x n? ? ? ?DFT( ) ( ) ( ) ( ) ( )e p o p R IX k X k X k X k jX k? ? ? ?DFT DFT DFT DFT第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 例題 第三章 習(xí)題 12 (1) 1( ) [ ( ) * ( ) ]21( ) [ ( ) * ( ) ]2epopF k F k F N kF k F k F N k? ? ?? ? ?)()()( njynxnf ??)()]([)()()]([)(kjFnyD F TkYkFnxD F TkXopep?????解 : 由 DFT的對稱性可知 已知 而 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X kNkNNjkNNkNjkNWeWeW????????)(22??( ) ( )1 1 1 1 1[]2 1 1 1 1N N N Nk k N k N kN N N Na b a bjja W b W a W b W? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?)]()([21)( * kNFkFkF ep ???kNNkNNbWbjaWakF??????1111)(1 1 1 1 1[]2 1 1 1 1N N N Nk k k kN N N Na b a bjja W b W a W b W? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?kNNaWa???11第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 101( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )N kne p e p Nkx n I D F T X k I D F T F k F k WN???? ? ? ?? ???????1010)(1NmNknmkNm WaN? ???????1010)(1NkknNNmkmNm WWaN??????? 10 111 NkknNkNNWaWaN21()01()N j k m nNkreNm n r N??? ????? ??? ? ???01na n N? ? ? ?10()Nmmra m n r N???? ? ? ?? ? ???同理 1( ) ( )1()Nop kNnbY k jF kbWy n b?? ? ??? 01nN? ? ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X (3)設(shè) x(n)是長度為 N的實(shí)序列， 且 X(k)=DFT［ x(n)］ . 則 ① X(k)=X*(Nk),0≤k≤N1 () ② 如果 x(n)=x(Nn) 則 X(k)實(shí)偶對稱， 即 X(k)=X(Nk) () ③ 如果 x(n)= x(Nn)， 則 X(k)純虛奇對稱 ， 即 X(k)= X(Nk) () 對實(shí)序列的進(jìn)行 DFT,可以利用上述對稱性減少計(jì)算量 . 此性質(zhì)可用于求頻域序列的后半段 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 利用 DFT的共軛對稱性， 通過計(jì)算一個(gè) N點(diǎn) DFT， 可以得到兩個(gè)不同實(shí)序列的 N點(diǎn) DFT. 設(shè) x1(n)和 x2(n)為兩個(gè)實(shí)序列，構(gòu)成新序列 x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n) 計(jì)算 x(n)的 DFT， 得到 X(k)=DFT［ x(n)] 利用對稱性，有 DFT[x1(n)]= Xep(k) =[X(k)+X*(Nk)]/2 DFT[x2(n)] =Xop(k) = j[X(k)X*(Nk)]/2 第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 例如 3( ) c o s ( ) s in ( )33jnf n n j n e ???? ? ?令 2211()3600()( ) 0 16NNNj n j k n j k nNNnnF k e e eNN k k N? ? ????? ? ?????? ? ? ? ???( ) c o s ( ) , ( ) s in ( )33x n n y n n????求 兩序列的 DFT。 （ 1）求 X(k)的其余 3點(diǎn)的值； （ 2） （ 3） 1 8 1 1( ) [ ( 5 8 ) ] ( ) , ( ) [ ( ) ] 。jnx n x n e X k D F T x n??? 求解： （ 1） *( ) [ ( ) ] ( )x n D FT x n X N k? ? ?是 序 列即， *( ) ( )X N k X k??***( 7 ) ( 1 ) 0. 12 5 0. 30 18( 6) ( 2) 0( 5 ) ( 3 ) 0. 12 5 0. 05 18X X jXXX X j? ? ???? ? ?第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X （ 2） 1 8 8 8( ) [ ( 5 8 ) ] ( ) ( ( 5 ) ) ( )mx n x n m R n x n R n?? ? ?? ? ? ? ??2 5811( ) [ ( ) ] ( )jkX k D F T x n e X k???2 2 8 8( ) [ ( ) ] ( ( 1 ) ) ( )X k D F T x n X k R k? ? ?（ 3） 2 842 ( ) ( ) ( )jn jnx n x n e x n e????第 3章 離散傅里葉變換 (DFT) X 一、離散傅里葉變換（ DFT）的定義及與 Z變換、序列傅里葉變換（ DTFT）、離散傅里葉級數(shù)（ DFS）的關(guān)系。 n x1 (n) 0 1 2 n x2 (n) 0 1 2 3 1 ( ) ( ) (