【正文】 s i n ()16s i n ()4s i n (11)(X (k ) 16316828483016215016 ???????????????????kkekkeeeeeWnxkjkjkjkjkjnknjnkn?????????? 0, 1,. ..1 5k ,)16s i n ()4s i n ()16s i n ()4s i n (11)(X (k ) 16316828483016215016 ???????????????????kkekkeeeeeWnxkjkjkjkjkjnknjnkn?????????? 結(jié)論 ：離散傅立葉變換(DFT)結(jié)果與變換區(qū)間長(zhǎng)度 N有關(guān)。 (2)X(k)是 x(n)的傅里葉變換 X(ejw)在區(qū)間[0, 2?]上的 N點(diǎn)等間隔采樣 ,采樣間隔為 2? /N。 (4)當(dāng) N足夠大時(shí)， |X(k)|的包絡(luò) 可逼近|X(ejw)|曲線 ； (5)|X(k)|表示 wk=2?k/N頻點(diǎn)的幅度譜線。 (1) 旋轉(zhuǎn)因子 WknN的周期性 (周期為 N) (2) X(k)隱含的周期性 (周期為 N) (3) 序列 x(n)隱含的周期性 (周期為 N) 離散傅里葉變換的定義 () , , ,k k m NNNW W k m N??K,m,N均為整數(shù) 1()010( ) ( )( ) ( )Nk m N nNnNknNnX k m N x n Wx n W X k???????????1()010( ) ( )( ) ( )Nk m N nNnNknNnX k m N x n Wx n W X k???????????x(n+mN)=x(n) 任何周期為 N的 周期序列 都可以看作長(zhǎng)度為 N的 有限長(zhǎng)序列x(n)的 周期延拓序列 ， 而 x(n)則是 的一個(gè)周期 ， 即 : 一般定義周期序列 中從 n=0到 N1的 第一個(gè)周期 為 的 主值區(qū)間 ， 而主值區(qū)間上的序列稱為 的 主值序列 。 5))(()(~ nxnx ?設(shè)~5~5( 5 ) ( ( 5 ) ) ( 0 )( 6 ) ( ( 6 ) ) ( 1 )x x xx x x????~5~5( 5 ) ( ( 5 ) ) ( 0 )( 6 ) ( ( 6 ) ) ( 1 )x x xx x x????DFT和周期序列的 DFS的關(guān)系 設(shè) x(n)的長(zhǎng)度為 N，且 ，則周期序列 的離散傅立葉級(jí)數(shù)表示式： 上式中： 說明： 有限長(zhǎng)序列 x(n)的離散傅立葉變換 X(k)，正好是 x(n)的周期延拓序列 的離散傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù) 的主值序列 離散傅里葉變換的定義 Nnxnx ))(()(~ ? )(~ nx??? ?????????101010)())(()(~)(~NnknNNnknNNNnknN WnxWnxWnxkX?? ?????? ??1010)(1)(~1)(~NkknNNkknN WkXNWkXNnx注意 ： 是一周期序列 )(~ kX?????? ???? kenxkX NnknNj ,)(~)(~ 102?)()(~)( kRkXkX N??Nnx ))(( )(~ kX總結(jié) ~~( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( )NNX k DFT x n DFT x n R n X k R k? ? ?~~( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( )NNX k DFT x n DFT x n R n X k R k? ? ?DFT ( ) ( ) jj zeX e X z ?? ??FT ( ) ( ) jj zeX e X z ?? ??ZT 單位圓上的 N點(diǎn)等間隔采樣 [0, 2?]上的 N點(diǎn)等間隔采樣 單位圓上的 Z變換 ,Z=ejw ~()xn =DFS[ ]=DFS[x((n))N] ~~21~ ~ ~022( ) [ ( )] ( ) ( )( ) [ ( )] ( )jkN j knNnX e FTx n X k kNNX k DFSx n x n e??????????? ??? ? ????? ~~21~ ~ ~022( ) [ ( )] ( ) ( )( ) [ ( )] ( )jkN j knNnX e FTx n X k kNNX k DFSx n x n e??????????? ??? ? ?????X(k) = RN(n) ~~21~ ~ ~022( ) [ ( )] ( ) ( )( ) [ ( )] ( )jkN j knNnX e FTx n X k kNNX k DFSx n x n e??????????? ??? ? ?????= X((k))N [例 1]： 若 N=5， x(n)=R4(n)，畫出 x((n))N圖形。另一個(gè)長(zhǎng)度為 2N的序列 y(n) 定義為： y(n)= x()， n為偶數(shù)； 0， n為奇數(shù)； 試用 X(k)表示 y(n)的 2N點(diǎn)離散傅立葉變換 Y(k)。()39。n,n39。39。39。()39。n,n39。39。39。()39。n,n39。39。39。()39。n,n39。39。39。()39。n,n39。39。39。()39。n,n39。39。39。()39。n,n39。39。39。 167。 (3)取 (n＋ m)的 主值區(qū)間 得到有限長(zhǎng)序列 x(n)的循環(huán)移位 y(n) 167。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質(zhì) 1010( ) [ ( ) ]( ( ) ) ( )( ( ) )N knN N NnN knNNnY k DFT y nx n m R n Wx n m W???????????1010( ) [ ( ) ]( ( ) ) ( )( ( ) )NknN N NnNknNNnY k DFT y nx n m R n Wx n m W???????????1()1( ) ( ( ) )( ( ) )Nmk n mNNnmNmk n k nN N NnmY k x n WW x n W??????????????????1()1( ) ( ( ) )( ( ) )Nmk n mNNnmNmk n k nN N NnmY k x n WW x n W??????????????????證畢右邊 ,)())39。39。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質(zhì) 循環(huán)卷積定理 時(shí)域循環(huán)卷積定理 有限長(zhǎng)序列 x1(n)和 x2(n)， 長(zhǎng)度分別為 N1和 N2， N=max[ N1, N2 ]。X2(k) 167。 )(]))(()([)()()( nRmnxmxnxnxnyn87082121 ?????? )]))(()([)()()( nRmnxmxxnxnyn87082121 ?????? )(]))(()([)()(( nRmnxxnxnxnyn87082121 ?????? )(]))(()([()()( nRmnxmnxnnyn8708212 ????? 則： x(n)＝ ＝ 證明 ： 直接對(duì)上式兩邊進(jìn)行 DFT 令 nm=n′ ， 則有 167。 (5) n=0,1,… N1時(shí)， x1(m) 和 x2((nm))N R N(m)對(duì)應(yīng)相乘 ，并對(duì) m在 0～ N1區(qū)間 求和 。 離散傅立葉變換（ DFT）的基本性質(zhì) 110( ) [ ( )] ( )(( )) ( )NNNmx n IDFT X k x m n m R n??? ? ??x2 110( ) [ )] ( )(( )) ( )NNNmx n ID F T X k x m n m R n??? ? ??110( ) [ ( )] ( )(( )) (NNNmx n ID F T X k x m n R??? ? ??n ， m0 1 2 3 4 5 6 7x 2 ( n )n0 711x 2 (( － m )) N R N ( m )0 71x 2 ((1 － m )) N R N ( m )0 71mmx 2 ((2 － m )) N R N ( m )0 1 2 3 4 5 6 71m0 1 2 3 4 5 6 7 n1234x ( n )1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6n ， m0 1 2 3 4 5 6 7x 2 ( n )n0 711x 2 (( － m )) N R N ( m )0 71x 2 ((1 － m )) N R N ( m )0 71mmx 2 ((2 － m )) N R N ( m )0 1 2 3 4 5 6 71m0 1 2 3 4 5 6 7 n1234x ( n )1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6n ， m0 1 2 3 4 5 6 7x 2 ( n )n0 711x 2 (( － m )) N R N ( m )0 71x 2 ((1 － m )) N R N ( m )0 71mmx 2 ((2 － m )) N R N ( m )0 1 2 3 4 5 6 71m0 1 2 3 4 5 6 7 n1234x ( n )1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6n ， m0 1 2 3 4 5 6 7x 2 ( n )n0 7x 2 (( － m )) N R N ( m )0 71x 2 ((1 － m )) N R N ( m )0 71mmx 2 ((2 － m )) N R N ( m )0 1 2 3 4 5 6 71m1234x ( n )1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6n ， m0 1 2 3 4 5 6 7x 2 ( n )n0 711x 2 (( － m )) N R N ( m )0 71x 2 ((1 － m )) N R N ( m )0 71mmx 2 ((2 － m )) N R N ( m )0 1 2 3 4 5 6 71m0 1 2 3 4 5 6 7 n1234x ( n )1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6n ， m0 1 2 3 4 5 6 7x 2 ( n )n0 711x 2 (( － m )) N R N ( m )0 71