【正文】 ( ) ( )( ) ( )D F SD F TNNx n X kx n X k? ???? ???1~~0101( ) ( ( ) ) ( )1()NknN N NkNknNkNx n x n X k WNX k WN???????????因?yàn)?X(k)是 xN(n)以 N為周期 周期延拓后序列 的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù) 的主值序列， 即 ~ ()Xk將式 ()代入上式得 ~ ()Nxn22( ) ( ) ( ) , 0 k N 1 ( 3 . 5 . 1 )jk Nkj k nNze nX z x n e X k??? ?? ? ? ?? ? ? ??求 xN(n)與 x (n)之間的關(guān)系。 1()01,10Nk m nNkm n rN rWN?????????? 為 整 數(shù)其 它~~( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )rN N NrNNx n x n rNx n x n R n x n rN R n?? ? ??? ? ???? ? ???1~01()01( ) [ ( ) ]1()Nk m k nNNkmNk m nNmkNx n x m W WNx m WN???? ? ? ????? ? ? ???????式中 所以，若 x (n)為 M長(zhǎng)，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù) N≥ M時(shí)，才有 即可由頻域采樣 X（ K）恢復(fù)原序列 x (n)。這就是所謂的頻域采 樣定理 ~( ) ( ) ( ) ( )NNNx n x n R n x n??可看出：時(shí)域取樣時(shí)， 時(shí)域離散，頻域周期 。 時(shí)域抽樣定理 和 頻域抽樣定理 為利用數(shù)字化方式 分析和處理信號(hào)奠定了理論基礎(chǔ)。求 XN(K)的IDFTxN(n) ()jwXe( ) ( ) ( )NNrx n x n r N R n?? ? ????( ) { 1 0 , 8 , 6 , 5 , 4 , 3 }Nxn??例： 已知有限序列 x[n]={1,1, 4, 3； n= 0,1,2,3}，序列 x[n]的DTFT為 X(ej?)。k=0,1,2}的取樣值為 X[k]，求 IDFT{X[k]} 。 n=0,1,2} nn解： X(ej?)在頻域的離散化導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列 x[n]的周期化 . IDFT{X[k]} 問題 ： 由 X（ K）能否完整地表達(dá) X（ Z） 2. 內(nèi)插公式 101( ) ( )N knNkx n X k WN ? ??? ?1 1 10 0 01( ) ( ) ( )N N Nn k n nNn n kX Z x n z X k W zN? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?11001 ()NN k n nNknX k W zN?? ????? ??11011 ()1k N NNNkk NWzXkN W z??????????設(shè)序列 x(n)長(zhǎng)度為 M， N≥M， 則有 X（ Z）的內(nèi)插公式，它說明已知 X（ K），可根據(jù)內(nèi)插公式求任意 Z點(diǎn)的 X（ Z）。 令： 11011()1( ) ( ) ( )Nk kNNkkzzN W zX z X k z??????????? ?內(nèi)插函數(shù) 2110111( ) ( )1j k NkN NNNNkk NWezX z X kN W z???????????????1111)(???????zWzNz kNNk稱為內(nèi)插函數(shù)。 而分母為零 ， 則有 z=WNk= 的一個(gè)極點(diǎn) ， 它將和第 k個(gè)零點(diǎn)相抵消 。 而它在 z=0 處還有 （ N1） 階極點(diǎn) . kNje ?210( ) ( ) ( )NkkX z X k z???? ?進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得 101()22( ) ( ) ( )1 si n( / 2 )()si n( / 2 )NjkNjX e X k kNNeN????????????????當(dāng) z=ejω時(shí) ( 2 / )1011()1( ) ( ) ( )jNk j k NNjkkeNeX e X k????????????????? ?內(nèi)插函數(shù)幅度特性與相位特性 (N=5) 當(dāng)變量 ω=0 時(shí) ， Φ(ω)=1， 當(dāng) （ i=1, 2, …, N1)時(shí) ， Φ(ω)=0。 所以 ， 在每個(gè)采樣點(diǎn)上 X(ejω)就精確地等于 X(k)（ 因?yàn)槠渌c(diǎn)的插值函數(shù)在這一點(diǎn)上的值為零 ， 沒有影響 ） ?????? ? Nkk ?? 2?????? ?? kiNii ,2 ???????? ?? Nk ?? 212 ??????? ?? Nkk ?? 各采樣點(diǎn)之間的 X(ejω)值由各采樣點(diǎn)的加權(quán)插值函數(shù) 在所求 ω點(diǎn)上的值的疊加得到的。 圓周卷積 DFT 乘積 線性卷積 FT 乘積 而 圓周卷積比起線性卷積，在運(yùn)算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用離散傅立葉變換的乘積實(shí)現(xiàn)，而快速付里葉變換（ FFT）技術(shù)又大大提高了離散傅立葉變換的計(jì)算速度，所以利用圓周卷積求線性卷積 . 用 DFT計(jì)算線性卷積 設(shè)： x (n)、 h(n)為兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，其長(zhǎng)度分別為 N1和 N2，線性卷積的定義為： 1 1120( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) 0 2Nmly n x n h n h m x n m n N N??? ? ? ? ? ? ??而循環(huán)卷積的定義：要求 L≥max(N 1,N2) 即 yc(n)的長(zhǎng)度為 L。 由于 DFT有快速算法 FFT， 當(dāng) N很大時(shí)， 在頻域計(jì)算的速度快得多， 因而常用 DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。( )02x n n NxnN n N N? ? ???? ? ? ? ??求 x’(n)與 h’(n)的循環(huán)卷積 x’(n)⊕h ’(n)，即為 x (n)與 h(n)的線性卷積 x(n)*h(n),所以可將求線性卷積的問題轉(zhuǎn)化為求循環(huán)卷積的問題，從而轉(zhuǎn)化為求 DFT。( )02h n n NhnN n N N? ? ???? ? ? ? ??將 x(n)、 h(n)均延長(zhǎng)至 N1+N21,變?yōu)?x’(n)、 h’(n) 求 x’(n)、 h’(n)的 DFT: X(K)、 H（ K） 求 X(K)H(K）的 IDFT: y(n)，則 y(n)=x(n)*h(n) 用 DFT求線性卷積 信號(hào) x(n)通過數(shù)字系統(tǒng) h(n)后得到輸出 y(n)=x(n)*h(n)，有時(shí) x(n)很長(zhǎng)，即長(zhǎng)序列。 將x(n)均勻分成長(zhǎng)度為 M的若干段，表示為： 0( ) ( )PkkLx n x n PM????000( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )PkkPPkkkky n h n x n h n x nh n x n y n???? ? ? ?? ? ????( ) ( ) ( )kMx n x n R n k M? ? ?重疊相加法 : 可看出，每一項(xiàng) 的長(zhǎng)度為 N+M1，大于序列分段 的長(zhǎng)度 M ( ) ( )kh n x n?()kxn 所以卷積結(jié)果求和時(shí)，每段卷積最后 N1個(gè)點(diǎn)和下一段的最前面的 N1個(gè)點(diǎn)重合，重合相加，可得到最后結(jié)果。 指在頻域中能辨認(rèn)的頻率，即頻域取樣中兩相鄰點(diǎn)間的頻率間隔或基波頻率。 截?cái)嘈?yīng) x(n)可能無限長(zhǎng) ,將 x(n)截短，相當(dāng)于 y(n)=x(n)RN(n). 則： ()1( ) [ ( )] ( ) ( )21( ) ( )2j j jNjjNY e F T y n X e R eX e R e d? ? ?? ? ? ???????? ? ?? ?其中： 1()2 s i n ( / 2 )( ) [ ( ) ] ( )s i n ( / 2 )NjjjN N NNR e F T R n e R e?? ? ?? ????? ? ?例如， x(n)=cos(ω 0n), ω 0=π/4 其頻譜為 ( ) [ ( 2 ) ( 2 ) ]44jlX e l l? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ??()1( ) [ ( )] ( ) ( )21 ( ) ( )2j j jNjjNY e F T y n X e R eX e R e d? ? ?? ? ? ????? ??? ? ?? ?其頻譜圖如圖所示： 所以，截?cái)嗪笮蛄械念l譜與原序列的頻譜有差別。 譜間干擾：在主譜線兩邊形成很多旁瓣，引起不同頻率間的干擾，影響頻譜分辨率。 截?cái)嘈?yīng) 例： 試?yán)?DFT分析一連續(xù)信號(hào) ， 已知其最高頻率 =1000Hz， 要求頻率分辨率 F?2Hz， DFT的點(diǎn)數(shù)必須為 2的整數(shù)冪次 ， 確定以下參數(shù)：最大的抽樣間隔 ， 最少的信號(hào)記錄時(shí)間 ， 最少的 DFT點(diǎn)數(shù) 。 F 例：已知語音信號(hào) x(t)的最高頻率為 fm=, 用 fsam=8kHz對(duì) x(t)進(jìn)行抽樣。 解：對(duì)連續(xù)信號(hào) x(t)按 fsam=8kHz進(jìn)行取樣，得到對(duì)應(yīng)的離散序列 x[n]，在利用離散序列 x[n]的 DFT X[k]分析連續(xù)信號(hào) x(t)的頻譜時(shí)， X[k] 與 X(j?)存在以下對(duì)應(yīng)關(guān)系： 當(dāng) k=600時(shí)，由于 0?k?N/2?1，所以 kH z36001600 8s a m1 ???? mNff當(dāng) k=1200時(shí)，由于 N/2?k?N，所以 kH z2)16 0012 00(16 008)(s a m2 ??????? NmNffkk N點(diǎn) DFT是在頻率區(qū)間 [0， 2π] 上對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行 N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn) X（ k），且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮擋，所以稱之為柵欄效應(yīng)。 0 , 1 , , 1 , 39。 )0 39。 )mN j k n r NmNMrnX k x n r N e??? ????????211 39。 0( 39。 )0 39。 )mN j k n r NmNMrnX k x n r N e??? ????????令： 21 39。0( ) ( 39。 雖然頻譜分析和 DFT運(yùn)算很重要，但在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，由于 DFT運(yùn)算復(fù)雜，并沒有得到真正的運(yùn)用，而頻譜分析仍大多采用模擬信號(hào)濾波的方法解決，直到 1965年首次提出 DFT運(yùn)算的一種快速算法以后，情況才發(fā)生了根本 變化，人們開始認(rèn)識(shí)到 DFT運(yùn)算的一些內(nèi)在規(guī)律，從而很快地發(fā)展和完善了一套高速有效的運(yùn)算方法 —— 快速付里變換（ FFT）算法 ， FFT的出現(xiàn)，使 DFT的運(yùn)算大大簡(jiǎn)化，運(yùn)算時(shí)間縮短一～二個(gè)數(shù)量級(jí)，使 DFT的運(yùn)算在實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用 DFT是 FFT的理論基礎(chǔ)， FFT只是 DFT的一種快速高效算法。則計(jì)算一個(gè) X(K)序列需要 N2次復(fù)數(shù)乘及 N（ N1）次復(fù)數(shù)加 。 knNW22 ()()j k n j k n Nk n k n NNNNNn n NNNW e e WWW??? ? ???? ? ??即 ： 提高 DFT運(yùn)算效率的依據(jù) ：