【正文】 ?? ? kyakyankyankya nn ?kzi Aky ??)(設(shè) ( 為待定常數(shù)， A由初始 (邊界 )條件確定， 取決于給定的差分方程 ) ?,A?)()1( 1 kryAAky zikkzi ???? ? ???)()( kyrAAnky zinknnkzi ???? ? ???... 代入差分方程中 0)()( 0111 ????? ?? kyaaaa zinnnn ??? ?00)( 0111 ?????? ?? aaaaky nnnnzi ??? ?，則若上式稱差分方程的 特征方程 ，它的根稱特征根 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 24 3)有復(fù)根 ，差分方程系數(shù)為實(shí)數(shù) ??? je?1??? je ??2,1 ?jeAA ? ?jeAA ??2則 也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù) ][ )()(2211 ??????? ??? ???? kjkjkkk eeAAA對(duì)零輸入提供的分量 )c o s (2 ??? ??? kA k?? ???? jkkjkkkk eAeAAA ????212211或者]s i nc o ss i nc o s[ 2211 ????? kjAkAkjAkAk ????]s i nc o s[ 21 ??? kckck ?? 都為實(shí)數(shù)21 , cc2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 26 例 ：兔子問(wèn)題。 解 ：從第三月起，每月對(duì)數(shù)為前兩月之和，得差分方程 )()1()2( kykyky ????特征方程為 012 ??? ??特征根為 2512,1???kkAAky ???????? ?????????? ??251251)(21代入初始條件 5121 ??? AA得對(duì)11235 月12345 1)1()2( ?? yy2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 28 例 ：求齊次解。 Systems 29 離散系統(tǒng)的全響應(yīng)的初始條件 )()()( nynyny zszi ??計(jì)算差分方程的零輸入響應(yīng)時(shí)，必須判別已知初始條件那些是僅由初始儲(chǔ)能引起的，找出所需的零輸入初始條件 與微分方程初始條件不同的是 ：差分方程沒(méi) 有 0－ 和 0＋ 的區(qū)別。 Systems 30 例 . )()(8)1(12)2(6)3( kxkykykyky ??????? x(k)為單位階躍序列，初始條件為 :y(1)=1，y(2)=2， y(3)=23，求零輸入響應(yīng)。 Systems 31 可見(jiàn)， y(3)與激勵(lì)有關(guān)是初始儲(chǔ)能和激勵(lì)共同作用，不能用來(lái)確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)，將 y(1)=1,y(2)=2,y(3)=23代入差分方程求得 )0(0)0( ziyy ??于是 10)0( Ay zi ??321 2221)1( AAAy zi ?????321 16842)2( AAAy zi ????可解得： 43A,45A,0A321 ????故 k2zi )2)(k43k45()k(y ????1)1()1(2)2()2( ????? zizi yyyy令 k=0 1)0()0()0(8)1(12)2(6)3( ?????? ?xyyyy2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 33 3）卷積和（離散卷積） )()()()()( ttxdtxtx ????? ???? ? ????? ???????? )1()1()2()2()( kxkxkx ?????????nnknx )()( ?)()()( kkxkx ???記h(t) 單位沖激響應(yīng) ?(t) S h(k) 單位函數(shù)響應(yīng) ?(k) S 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 35 }1,2,1{)(},3,1,3,1{)( ?? ?? khkx ?????knzs nkhnxky0)()()(:解2 1 0 1 1 2 n )( nh ?2 1 0 1 1 2 n )(nh)(nx1 2 3 3 3 1 1 0 n ?(1).圖解法 卷積分析法的幾種方法 1)0( ?zsy例 ：求 x(k)*h(k) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 37 求兩個(gè)離散函數(shù)的卷積和的步驟 ⑴ 換元⑵折疊 .h(n). ⑶ 移位 .h(kn). ⑷ 相乘 .x(n)h(kn). (5)求和 (2)就地乘法 若兩個(gè)序列都是有限序列 }2,4,1,3{)(},5,1,2{)(:???? khkx如)()( khkx ?求就地相乘就地相加 —不進(jìn)位 ? 6 5 24 13 22 10 ? = yzs(k) ? 3 1 4 2 ? = h(k) ? 2 1 5 ? = x(k) 15 5 20 10 3 1 4 2 6 2 8 4 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 39 （ 3）閉式解 )()()()( 2211 tttftttf ??? ??)()()()( 2211 kkkfkkkf ??? ??? ? ???? 21)()()( 2121ttttttdtff ???????????21)()()( 2121kkknkkknkfnf ?2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 41 下面的公式是有用的： aaann ??? ? ? ?0111aaaann nn??? ? ? ?1111aa aaan n ann nn n n??? ????? ? ??????112 1 2 12 1111 12022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 43 (2).把 h(k)作為一個(gè)特殊的零輸入響應(yīng)來(lái)計(jì)算 )()()1()1()( 011 kxkyakyankyankya nn ????????? ? ?于是則令 )()(),()( khkykkx ?? ?)()()1()1()( 011 kkhakhankhankha nn ?????????? ? ?由于 k0時(shí) ,故 k0時(shí) ,h(k)是一個(gè)特殊的零輸入響應(yīng) .按照零輸入響應(yīng)的方法 .找初始條件 0)( ?k?令 k=n,有 0)()()1()1()0( 011 ??????????? ? nnhanhahaha nn ??令 k=n+1, 得 h(1)=0 …... 可得 h(0)=0 h(0)=h(1)=…=h(n 1)=0 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 45 ????????0)3()2(00)(21 kAAkkh kk代入初始條件 21 320)1( AAh ???21 941)2( AAh ???解得 : 31,2121 ??? AA故 )1(])3(31)2(21[)( ???? kkh kk ?)1(])3()2([ 11 ???? ?? kkk ?例 .已知差分方程 y(k+2)5y(k+1)+6y(k)=x(k),求 h(k) 解 :特征方程 3,2,065 212 ????? ????2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 47 單獨(dú)作用下產(chǎn)生的 )(3)2( kk ?? ???)(3)2()( 00 khkhkh ???)1(])3()2([3)1(])3()2([ 1111 ???????? ???? kk kkkk ??)1(])3(2)2([)( 1 ????? ? kk kk ??2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 49 10,12 21 ???? AAkkzi ky )(10)(12)( ??求 yzs(k). 先求 h(k) 原差分方程中 ,若 x(k)=?(k) ,則 y(k)=h(k) )1(2)2(7)()1()2(?????????kkkhkhkh??)()( 0 khk 作用下產(chǎn)生的響應(yīng)先求 ????????0)()(00)(210 kBBkkh kk)1(])(350)(320[)(0 ??? kkh kk ?代初始條件 1)2(,0)1(00 ??hh350,32021??? BB可得 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 51 )(])(12)(15[ 11 kkk ??????? ??? ? )(])(1[])(1[10 11 kkk ??? ????)(])()([ kkk ????故全響應(yīng) )()()( kykykyzszi ??0])()( ???? kkk思考 :若初始條件改為 y(0)=9,y(1)= 又如何？ )1(,7)0()( ?? zszszs yyky 得先求)(,4)1(,2)0( kyyy zizizi 再求于是 ??2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 53 2. 間接定義 函數(shù)抽樣后的拉氏變換導(dǎo)出 對(duì) f(t)抽樣 ??????????????kks kTtkTfkTttftf )()()()()( ?????????kk s Ts ekTfsF )()(zz ln1,Tse sT ?? 則設(shè)?????????kkTssFkTfsF )()()(ln1zzz離散函數(shù) f(kT)的 Z變換 是 f(t)抽樣后， fs(t)的拉氏變換 Fs(s) ，再令 s＝ 1 /T lnz而得 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 55 對(duì)比： 雙邊 Z變換 ??????0,0)(kbbakakfkk 為正實(shí)數(shù)kkkkkk baF ?????????? ?? zzz10)( kkkkba )()(1110zz ??????????收斂條件 : |zb1|1且 |az 1|1 , 即 a|z|b 若 ab,則無(wú)收斂域 , Z變換 不存在 單邊 Z變換 收斂域一定是某個(gè)圓的圓外區(qū)域 , 一般不加標(biāo)注 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。[ ?(t)]=1 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 58 55 Z 反變換 k1 zzzZ ?????0)()()]([)(kkfFFkf .(長(zhǎng)除法 ) F(Z)是 z的有理分式，將分子分母按 z的降冪排列，長(zhǎng)除后得 z1表示的冪級(jí)數(shù) F(z)=A0 +A1 z1 +A2z2?? f(0)=A0 , f(1)=A1 , f(2)= A2 ? 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。已知 512)(22??zzzzz..F解 :利用長(zhǎng)除法 此法求 f(k)的前幾個(gè)值很方便，缺點(diǎn)是不容易得到 f(k)的解析式 2 + + z2 z2 3 z + 1 1 z2 z + + f(k)=?2, , , ,… ? F(z)=2 + z1 + + ?? 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 61 ))(1(512512)(:2 ????? zzzzzzzz...F