【正文】 ???二階)()()1()2(: 01 kxkyakyaky ??????改寫為x(k) y(k) y(k＋ 1) ?1a?y(k＋ 2) 0a?D D若差分方程中不僅含 x(k)還有 x(k+m)項，引入輔助函數(shù) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 24 3)有復(fù)根 ，差分方程系數(shù)為實數(shù) ??? je?1??? je ??2,1 ?jeAA ? ?jeAA ??2則 也是一對共軛復(fù)數(shù) ][ )()(2211 ??????? ??? ???? kjkjkkk eeAAA對零輸入提供的分量 )c o s (2 ??? ??? kA k?? ???? jkkjkkkk eAeAAA ????212211或者]s i nc o ss i nc o s[ 2211 ????? kjAkAkjAkAk ????]s i nc o s[ 21 ??? kckck ?? 都為實數(shù)21 , cc2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 29 離散系統(tǒng)的全響應(yīng)的初始條件 )()()( nynyny zszi ??計算差分方程的零輸入響應(yīng)時，必須判別已知初始條件那些是僅由初始儲能引起的，找出所需的零輸入初始條件 與微分方程初始條件不同的是 ：差分方程沒 有 0－ 和 0＋ 的區(qū)別。 Systems 35 }1,2,1{)(},3,1,3,1{)( ?? ?? khkx ?????knzs nkhnxky0)()()(:解2 1 0 1 1 2 n )( nh ?2 1 0 1 1 2 n )(nh)(nx1 2 3 3 3 1 1 0 n ?(1).圖解法 卷積分析法的幾種方法 1)0( ?zsy例 ：求 x(k)*h(k) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 43 (2).把 h(k)作為一個特殊的零輸入響應(yīng)來計算 )()()1()1()( 011 kxkyakyankyankya nn ????????? ? ?于是則令 )()(),()( khkykkx ?? ?)()()1()1()( 011 kkhakhankhankha nn ?????????? ? ?由于 k0時 ,故 k0時 ,h(k)是一個特殊的零輸入響應(yīng) .按照零輸入響應(yīng)的方法 .找初始條件 0)( ?k?令 k=n,有 0)()()1()1()0( 011 ??????????? ? nnhanhahaha nn ??令 k=n+1, 得 h(1)=0 …... 可得 h(0)=0 h(0)=h(1)=…=h(n 1)=0 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 51 )(])(12)(15[ 11 kkk ??????? ??? ? )(])(1[])(1[10 11 kkk ??? ????)(])()([ kkk ????故全響應(yīng) )()()( kykykyzszi ??0])()( ???? kkk思考 :若初始條件改為 y(0)=9,y(1)= 又如何？ )1(,7)0()( ?? zszszs yyky 得先求)(,4)1(,2)0( kyyy zizizi 再求于是 ??2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 58 55 Z 反變換 k1 zzzZ ?????0)()()]([)(kkfFFkf .(長除法 ) F(Z)是 z的有理分式，將分子分母按 z的降冪排列，長除后得 z1表示的冪級數(shù) F(z)=A0 +A1 z1 +A2z2?? f(0)=A0 , f(1)=A1 , f(2)= A2 ? 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 64 56. Z變換的性質(zhì) : 若 ?(k)? F(z), 則 左移 (前移 ): ?(k+1)? zF(z)zf(0) )(kkkkfkf 100)1()1( ??????? ??? k zzz證明：)]0()([)(01fjfjfjj??? ??????jj zZzz2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 71 )]0()([lim)1()(lim)0( fzFzfzFf ??????? zz])()([lim)(10???????nkzkfzFnf knzz?????0)()(kkzkfzF?存在，則且若 )(lim)()( zFzFkf z ???=f(0) + f(1) z1 + f(2) z2?? f(n) zn ?? 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 78 由 (1) ,代入 (2) 32)()(2 z zzXzQ??)(3241)(22zXzzzYz ???差分方程為 : y(k+2) +2y(k+1) 3y(k)=x(k) +4x(k+2) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 86 )1(1)1(231)1()( 22221 ????????? zzzzzzzzzzF)1(1223????zzzz323432)1)(1()1(11)( zzzzzzzzzzF ????????? ?由卷積定理 )1()1)(1)(1()()()(523221 ???????zzzzzzzFzFzF???kii0)1()2(1?zz1)(1)( 221 ???? zzzFzzzF 求和性 解 ：設(shè) f1(k)=(1) k?(k)， 則 F1(z)= (3) (k+1)[?(k) ?(k3)]*[?(k) ?(k4)] 解 設(shè) f1(k)=(k+1)[?(k)?(k3)], f2(k)=?(k)?(k4),則 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 94 解 :對差分方程兩邊進(jìn)行 Z變換 初始狀態(tài)為零 ,求 H(Z) 初始狀態(tài)為零 .初始條件 y(0)和 y(1)僅由激勵引起 令差分方程 k=2,且 x(k)為有始函數(shù) 整理得 例 :二階前向差分方程 a2 y(k+2) +a1 y(k+1)+ a0 y(k) = b2x(k+2)+b1 x(k+1)+b0 x(k) (a2z2 +a1z +a0)Y(z)a2z2y(0) a2z y(1)a1 zy(0) =(b2z2 +b1z +b0)X(z)b2z2x(0) b2z x(1)b1 zx(0) =b2[z2X(z) z2x(0) zx(1)] +b1[zX(z) zx(0)]+b0X(z) a2[z2Y(z) z2y(0) zy(1)] +a1[zY(z) zy(0)]+a0Y(z) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 90 )(),2(),1(),0(,12)(2323??????? ffffzzzzzzzF 求已知)(12)(223??????zzzzzzzF,21,0 3,21 jpp ????其極點都在單位圓內(nèi)，可用終值定理 )12)(1(lim)()1(lim)( 232311??? ?????????? zzzzzzzzFzfzz解 : f(0)=1, f(1)=1 , f(2)= , … 驗證： F(z)=1+ z1 z2+… 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 82 ??)11:64(zzz求)1)(1(11)(: 2747 ?????? ?? zzzzzFzzz解= ?(k3)?(k7) =z7(z3+ z2 + z+1) =z4+z5+ z6+ z 7 ?F(z)= z3+ z4+z5+ z6 ??(k3) + ?(k4) + ?(k5) + ?(k6) 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 75 ?? ??knnfzFkf0)(),()( 求)(1)()()()(:0zFkkfknfkn ?????? zz??解利用卷積定理可得序列求和的 Z變換 )()1(21)()()(1 kkkkfkkf ?? ???22312)11)121)1)121)()()(?????????zzzzzFzFzF(z(zz(z(z例 :求 f2(k)。已知 ?????zz)( kk解： f(k)=f1(k) ?(k)+ f1(kN) ?(kN)+… ? F1(z)+zNF1(z)+ z2NF1(z) +… 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 61 ))(1(512512)(:2 ????? zzzzzzzz...F解111zz???)?????zF zzz(z512)(22??zzzzz..F 例 .求 f(k)。 Systems 55 對比： 雙邊 Z變換 ??????0,0)(kbbakakfkk 為正實數(shù)kkkkkk baF ?????????? ?? zzz10)( kkkkba )()(1110zz ??????????收斂條件 : |zb1|1且 |az 1|1 , 即 a|z|b 若 ab,則無收斂域 , Z變換 不存在 單邊 Z變換 收斂域一定是某個圓的圓外區(qū)域 , 一般不加標(biāo)注 2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 47 單獨作用下產(chǎn)生的 )(3)2( kk ?? ???)(3)2()( 00 khkhkh ???)1(])3()2([3)1(])3()2([ 1111 ???????? ???? kk kkkk ??)1(])3(2)2([)( 1 ????? ? kk kk ??2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 39 （ 3）閉式解 )()()()( 2211 tttftttf ??? ??)()()()( 2211 kkkfkkkf ??? ??? ? ???? 21)()()( 2121ttttttdtff ???????????21)()()( 2121kkknkkknkfnf ?2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 Systems 31 可見， y(3)與激勵有關(guān)是初始儲能和激勵共同作用，不能用來確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)，將 y(1)=1,y(2)=2,y(3)=23代入差分方程求得 )0(0)0( ziyy ??于是 10)0( Ay zi ??321 2221)1( AAAy zi ?????321 16842)2( AAAy zi ????可解得： 43A,45A,0A321 ????故 k2zi )2)(k43k45()k(y ????1)1()1(2)2()2( ????? zizi yyyy令 k=0 1)0()0()0(8)1(12)2(6)3( ?????? ?xyyyy2022/3/12 61 DiscreteTime Signals amp。 解 ：從第三月起，每月對數(shù)為前兩月之和，得差分方程 )()1()2( kyk