【正文】 （529） 相頻特性 （530） 式中：K 為比例系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。 慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線是一個(gè)半圓。 當(dāng)ω 從－ ∞ ～0時(shí)，得實(shí)軸上方的半圓，它是實(shí)軸下方第Ⅳ象限的半圓的鏡像。但工程上常用分段直線近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。 在高頻段,ω很大，當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性可近似為 (536) 這是一條斜率為－20 dB/dec的直線，當(dāng)時(shí)，這一直線的分貝值，稱這一直線為高頻漸近線。交接頻率精確特性高頻漸近線（斜率 20dB/dec)低頻漸近線交接頻率圖514 慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性a)對(duì)數(shù)幅頻特性b)對(duì)數(shù)相頻特性 當(dāng)ω →0時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線趨于低頻漸近線。低頻和高頻漸近線的交點(diǎn)的頻率為，稱為交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。其誤差可由下式確定。圖515繪出了慣性環(huán)節(jié)用分段直線表示的近似特性的誤差曲線。表521020100354576 、振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) （540） 式中， T為時(shí)間常數(shù)，K為比例系數(shù)，為阻尼系數(shù)，0≤ ≤1。當(dāng)K＝1時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為 （541） 實(shí)頻特性 （542） 虛頻特性 （543） 幅頻特性 （544）相頻特性 （545） 1. 振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性曲線 以為參變量，計(jì)算ω 為不同值時(shí)的 P(ω)和Q(ω)〔或A(ω)和〕，可在復(fù)平面上繪出振蕩環(huán)節(jié)的幅相特性曲線。當(dāng)ω＝ 0時(shí)，A(ω)＝ 1，＝ 0，頻率特性在正實(shí)軸上；當(dāng)時(shí)，頻率特性和負(fù)虛軸相交。即特性沿負(fù)實(shí)軸方向趨向原點(diǎn)。當(dāng)值較小時(shí)，幅頻特性有極大值，稱諧振峰值。令 dA(ω)/dω ＝0 ，可求得幅頻特性出現(xiàn)峰值的頻率 （546）顯然ωP 和 值有關(guān)。當(dāng)時(shí)，ωP ＝ 0 ；當(dāng)時(shí)，ωP 為虛數(shù)，說(shuō)明幅頻特性不存在諧振峰值。式 (550)表示一條斜率為－40dB/dec的直線，當(dāng)時(shí)，該直線和橫坐標(biāo)軸相交，稱此直線為振蕩環(huán)節(jié)的高頻漸近線。兩漸近線交點(diǎn)的頻率為，稱為振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。準(zhǔn)確曲線的形狀和值有關(guān)。 由式 (545)可繪出振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性，其特點(diǎn)是：當(dāng)ω ＝ 0時(shí)， ；當(dāng)ω →∞時(shí)，→－180176。相頻特性的這三個(gè)相角值和 無(wú)關(guān)，其它頻率的相角值均和有關(guān)，如圖518 b所示。純微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為 頻率特性分別為 （553） (554) (555) +20dB/dec圖521 純微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性當(dāng)各環(huán)節(jié)的比例系數(shù)K＝1時(shí)，上述各微分環(huán)節(jié)的頻率特性分別為積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性的倒數(shù)，所以不難繪制各微分環(huán)節(jié)的頻率特性。一階微分環(huán)節(jié)的實(shí)頻特性 (556) 虛頻特性 (557)幅頻特性 (558)相頻特性 (559)精確特性高頻漸近線低頻漸近線交接頻率+20dB/dec圖523 一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性 對(duì)數(shù)幅頻特性 (560)平面圖522 一階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線一階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線如圖522所示。精確特性高頻漸近線低頻漸近線交接頻率+40dB/dec圖525 二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性二階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線如圖524所示。平面圖524 二階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線 、延遲環(huán)節(jié)的頻率特性延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 頻率特性 （561）幅頻特性 (562)相頻特性 (563)圖526 延遲環(huán)節(jié)的幅相曲線平面延遲環(huán)節(jié)的幅相曲線是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓(即單位圓)，其相角的大小隨頻率增大而線性增加如圖526所示。 對(duì)數(shù)相頻特性為指數(shù)曲線，它不是直線。當(dāng)時(shí)，相角值為 延遲環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性如圖527所示。53 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性的繪制及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)時(shí)頻率特性和它在閉環(huán)時(shí)的頻率特性是有密切聯(lián)系的，因此可以利用開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)分析研究系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)的工作特性，如可以利用開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。將 s ＝j(luò)ω代入(564)式，可得系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 (565) 可用復(fù)數(shù)運(yùn)算求得它的實(shí)頻、虛頻特性。 開(kāi)環(huán)幅相特性有如下特點(diǎn)： （1）開(kāi)環(huán)幅相特性曲線的起點(diǎn)，即ω ＝ 0的點(diǎn)：起點(diǎn)與系統(tǒng)的類型有關(guān)，也就是與系統(tǒng)積分個(gè)數(shù) v 有關(guān)。由此可知，曲線由實(shí)軸上的(K，j0)點(diǎn)開(kāi)始，如圖528所示。對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)ω →0時(shí)，或者由ω→0,A(0) → ∞，可知曲線起始于負(fù)實(shí)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)的幅相特性如圖 528所示。 同理，可推知其它各型系統(tǒng)幅相曲線的起始情況，即若系統(tǒng)有 v 個(gè)積分環(huán)節(jié)，則開(kāi)環(huán)幅相特性將開(kāi)始于相位為，幅值為 ∞ 的地方。 （2）開(kāi)環(huán)幅相曲線的終點(diǎn)：對(duì)最小相位系統(tǒng)(開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)都在左半復(fù)平面上的系統(tǒng))來(lái)說(shuō)，當(dāng)ω 由0～∞時(shí)，各一次因子的相位為，都由0176。(顯然，若有二次因子，它的相位將變化290 176。 因此，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的相位將由 － v 90176。例如對(duì)0型系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，特性曲線由正實(shí)軸處開(kāi)始，順時(shí)針轉(zhuǎn)了 (n－m) 個(gè)象限，且由于 n＞m ，故必有ω → ∞時(shí)，A(ω)→0，即最后轉(zhuǎn)到原點(diǎn)上。處的始點(diǎn)開(kāi)始，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(n－v－m)個(gè)象限后到達(dá)原點(diǎn)，如圖529所示。交點(diǎn)確定方法如下：由P(ω)＝ 0求得ω 值，它就是特性曲線和虛軸相交時(shí)的頻率。 由Q(ω ) ＝ 0求解出曲線與實(shí)軸相交時(shí)的ω 值，用此ω 求得的P(ω)即為曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)值。 已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，根據(jù)不同的ω 值，計(jì)算出相應(yīng)的P(ω)和Q(ω)或 A(ω) 和，可在復(fù)平面上得到不同的點(diǎn)并連成頻率特性曲線。 解： 分母有理化 實(shí)頻特性 (567) 虛頻特性 (568) 幅頻特性 (569) 相頻特性  (570) 1. 起點(diǎn) 當(dāng)ω ＝ 0時(shí)，P(0)＝K，Q(0)＝0，A(0)＝ K,＝0176。 3. 與虛軸的交點(diǎn) 令P(ω)＝ 0，即，得，將ω１代入式(568)得 設(shè)K＝10 ,＝1,＝ 5時(shí)，代入(567)和 (568)式，取 ω 為不同值時(shí)P (ω)和Q (ω)結(jié)果如表53。 例52 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為平面圖530 例題51的幅相曲線試?yán)L出幅相曲線。 1. 起點(diǎn) 當(dāng)ω ＝0時(shí)，由式(573)和式(574)可計(jì)算出，Q (0) ＝－∞，A (0)＝∞ 。 2. 終點(diǎn) 當(dāng)ω → ∞ 時(shí)，P(∞) ＝ 0 ，Q(∞) ＝0， A(∞) ＝ 0 。 3. 幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)圖531 例題52的幅相曲線平面 令Q(ω)＝0，可得，將此ω１ 值代入式(571) ，可得幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)為，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為。幅相曲線如圖531所示。否則，稱為非最小相位系統(tǒng)。例如最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 式中 0＜T ＜T１。 最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性直接關(guān)聯(lián)，也即一個(gè)幅頻特性只能有一個(gè)相頻特性與之對(duì)應(yīng)；反之亦然。 例53 某最小相角系統(tǒng)，其近似對(duì)數(shù)幅頻曲線如圖533所示。圖533 某最小相位系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻曲線 解：由圖533可見(jiàn)，最左端直線斜率是－20dB/dec，故系統(tǒng)包含一個(gè)積分環(huán)節(jié) v ＝1。 因?yàn)棣?為2時(shí)，近似特性從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故2是慣性環(huán)節(jié)交接頻率。于是系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性1. 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 頻率法穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，稱為奈奎斯特判據(jù)(簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù))。 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性可由分析法給出，在系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式不能確切知道時(shí)，也可用實(shí)驗(yàn)測(cè)得。 奈奎斯特判據(jù)及其證明 奈氏判據(jù)可以通過(guò)對(duì)輔助函數(shù)F (s)應(yīng)用復(fù)變函數(shù)幅角原理得到證明。圖中設(shè)G (s)和H (s)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比圖534 反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如果G (s)和H (s)無(wú)極點(diǎn)與零點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) (575)閉環(huán)傳遞函數(shù) (576) 奈氏判據(jù)是從研究閉環(huán)和開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式之比這一函數(shù)著手的，這個(gè)函數(shù)仍是復(fù)變量 s的函數(shù)，并稱之為輔助函數(shù)，記作F (s)，即 (577)輔助函數(shù)和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有以下簡(jiǎn)單關(guān)系考慮到物理系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪必小于分母的最高次冪，故F (s)可改寫(xiě)為 (578)式Zi和Pi 分別為F (s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。 ②. 幅角原理 在 s 平面上任選一點(diǎn) s ，通過(guò)復(fù)變函數(shù)F (s)的映射關(guān)系，在F (s)平面可以找到相應(yīng)的象。相應(yīng)地，F(xiàn) (s)則從F (s)平面上 B 出發(fā)且回到 B ，也描出一條封閉曲線ΓＦ ，如圖535 b所示。由圖535 a可知， 除外， 式(579)右端其他各項(xiàng)都為零。同理，當(dāng) s 從 s 平面 A 開(kāi)始，繞著F (s)的某個(gè)極點(diǎn)Pk順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F (s)平面上，F(xiàn) (s)曲線繞其原點(diǎn)0反時(shí)針轉(zhuǎn)一圈。 ③. 奈氏判據(jù) 如果把 s 平面虛軸和半徑ρ為無(wú)窮大的右半圓取為封閉曲線Γs ，那么Γs 就擴(kuò)大為包括虛軸的整個(gè)右半 s 平面。幅角原理表達(dá)式(581)中的P和 Z 則分別表示輔助函數(shù)F (s)位于右半 s 平面的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)。此外，由于物理系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分母的最高次冪總大于分子的最高次冪，當(dāng) s 沿ρ為無(wú)窮的半圓取值時(shí)，通過(guò)GK(s)映射到GK(s)平面的象是原點(diǎn)，這恰好是 s 平面虛軸無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射到GK(s)平面的象。 P —— 輔助函數(shù)F (s)在右半 s 平面極點(diǎn)數(shù)；即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)。 根據(jù)第三章所得結(jié)論可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：Z ＝0，由式(581)可知，此即要求 R ＝ P。 奈氏判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時(shí)針包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)R 等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù) P ，即 R ＝ P ，Z ＝0；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Z ≠0，存在閉環(huán)正實(shí)部的特征根，閉環(huán)正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù) Z 可按下式確定： (582) 2. 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過(guò)例題說(shuō)明例54 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試用奈氏判據(jù)判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)ω ＝3時(shí)，曲線與負(fù)實(shí)軸相交，交點(diǎn)為－。當(dāng)ω從－∞～＋∞ 時(shí)，奈氏曲線以順時(shí)針包圍(－1，j0 )點(diǎn)兩圈，即 R ＝－2。 三、奈氏判據(jù)在Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)具有 v 重極點(diǎn)。為使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而且仍然能包圍整個(gè)右半 s 平面，現(xiàn)以原點(diǎn)為圓心作一半徑為無(wú)窮小的右半圓。