第五章線性空間與線性變換-在線瀏覽
2024-08-30 21:51本頁(yè)面
【正文】 ?????????????1 2 nα , α , .. ., α C 且由基 ?1, ?2, ?3 到基?1, ?2, ?3的過(guò)渡矩陣為 (?1, ?2, ?3), 所以 , ?=(1, 2, 3)T在基?1, ?2, ?3下的坐標(biāo)為 : (?1, ?2, ?3)1(1, 2, 3)T=(2, 1/2, 1/2)T 作 業(yè) 習(xí)題 A 第 98頁(yè) 1 、 6 、 8 練習(xí)題 習(xí)題 B 第 100頁(yè) 4 、 5 167。 線性變換 ?具有下列簡(jiǎn)單性質(zhì) : (1) ?(0)=0。 4 歐幾里得空間 歐幾里得空間就是在實(shí)線性空間上定義了數(shù)量積 . 一 . 定義和例子 定義 設(shè) V是實(shí)數(shù)域 R上的一個(gè)線性空間 , 在 V上定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù) [?, ?], 滿足 : ??, ?, ??V, k?R, 有 則稱(chēng) 二元實(shí)函數(shù) [?, ?]是 V上的內(nèi)積 , 此時(shí)的線性空間 V稱(chēng)為 Euclid(歐幾里得 )空間 . (1) 對(duì)稱(chēng)性 : [?, ?]=[?, ?] (2) 線性性 : [?+?, ?]=[?, ?]+[?, ?] [k?, ?]=k[?, ?] (3) 正定性 : [?, ?]?0, 且僅當(dāng) ?=0時(shí) , [?, ?]=0. 例如 : 在 Rn中 , ??=(a1, a2,… ,an)T, ?=(b1, b2,… ,bn)T?Rn, 定義 : [?, ?]=a1b1+2a2b2+… +nanbn, 則 Rn也成為 Euclid空間 ,但它是與上面不同的 Euclid空間 . 在 R[x]n中 , ?f(x) , g(x) ?R[x]n, 定義 內(nèi)積為 : 在 Rn中 , ??=(a1, a2,… ,an)T, ?=(b1, b2,… ,bn)T?Rn, 定義 : [?, ?]=a1b1+a2b2+… +anbn, 則 Rn成為 Euclid空間 . 則 R[x]n也成為 Euclid空間 . 11[f (x),g (x)] = f( x )g(x )dx? 利用內(nèi)積的概念 , 可以定義 Euclid空間中向量的長(zhǎng)度 , 向量的夾角等概念 . 向量的長(zhǎng)度具體下列性質(zhì) : 定義 設(shè) V是 Euclid空間 , ??V, 非負(fù)實(shí)數(shù) [?, ?]1/2稱(chēng)為向量 ?的長(zhǎng)度 (或范數(shù) , 或模 ), 記為 |?|(或 ?????). 還有下面的 CauchySchwarz不等式 : (1) 非負(fù)性 : |?|?0, 且僅當(dāng) ?=0時(shí) , |?|=0 。 (3) 三角不等式 : |?+?|?|?|+|?|. |[?, ?]|?|?||?|. 若 |?|=1, 稱(chēng) ?為單位向量 . 若 ??0, 則 (1/|?|)?是單位向量 . 定義 在 Euclid空間中 , 兩個(gè)非零向量 ?, ?的夾角記為 ?, ?, 規(guī)定為 : 定義 在 Euclid空間中 , 一組兩兩正交的非零向量稱(chēng)為正交向量組 , 由單位向量構(gòu)成的正交向量組稱(chēng)為規(guī)范正交向量組 . 可見(jiàn) , ?, ?=?/2當(dāng)且僅當(dāng) [?, ?]=0. 定義 如果 [?, ?]=0, 則稱(chēng) ?與 ?正交 . 可見(jiàn) , ?1, ?2,… , ?n為規(guī)范正交組 ?[?i, ?j]=?ij . [ , ], = a r c c os , 0 ,| | | |??? ? ? ? ??? ?? 定理 正交向量組必線性無(wú)關(guān) . 在線性空間 R3中 , 取標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積 [?, ?]=x1y1+x2y2+x3y3, 使 R3成為一個(gè) Euclid空間 . 解之得一個(gè)解為 , ?=(2, 1, 1)T, 將 ?單位化得 : 解 先求與 ?1, ?2都 正交的向量 ?, 記 ?=(x1, x2, x3)T, 則 [?1, ?]= x1+x2+x3=0, [?2, ?]=x2x3=0 1 1 2 1 1( 2 , 1 , 1 ) ( , , ) .|| 6 6 6 6TT???? ? ? ? ? 例 3 在 Euclid空間 R3中 , 求一個(gè)單位向量 ?, 使其與 兩個(gè)向量 ?1=(1, 1, 1)T, ?2=(0, 1, 1)T 都正交 . 1 1 1[ , ] [ , ] [ , ] 0?122 2 111[ β , α ]β β = β α β β[ β , β ]二 . 規(guī)范正交基 定理 在 Euclid空間中 , 如果向量組 ?1, ?2,… , ?m線性無(wú)關(guān) , 則有規(guī)范正交向量組 ?1, ?2,… , ?m與之等價(jià) . 證明 先正交化 , 取 ?1 =?1, ,122 2 111[ β , α ]β = α β[ β , β ]3 2 33 3 222,1 111[ β , α ][ β , α ]β = α β β[ β , β ][ β , β ]21212 2 1 1...m m m mm m mmm????? ? ? ?1 111[ β , α ][ β , α ][ β , α ]β = α β β β[ β , β ][ β , β ][ β , β ] 再將 ?1, ?2,… , ?m單位化 , 取 1 2 221 1 1, , ,| | | | | |mm m11ε = β ε = β ε = ββ β β
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