第五章線性空間與線性變換-資料下載頁
2025-07-20 21:51本頁面
【正文】 , ?m就是所求規(guī)范正交向量組 . 上述由線性無關(guān)向量組 ?1, ?2,… , ?m,得到正交向量組?1, ?2,… , ?m的方法稱為 Schimidt(斯密特 )正交化過程 . 定義 在 n維 Euclid空間 V中 , 含 有 n個向量的正交向量組稱為 V的正交基 . 由單位向量構(gòu)成的正交基稱為規(guī)范正交基 . 例 4 在線性空間 R[x]3中 , 定義內(nèi)積 11[ ( ), ( )] ( ) ( )f x g x f x g x d x?? ?試求 R[x]3的一組規(guī)范正交基 . 解 取 R[x]3的一組基 , ?1=1, ?2=x, ?3=x2, 將其正交化得 : ?1 =?1=1, 122 2 111[ β , α ]β = α β[ β , β ]111111x d xxdx?????= x=11232 1121111x d x x d xxxd x x d x?????????3β = 2 1 / 3x ?=?1, ?2,… , ?m就是 R[x]3的一組規(guī)范正交基 . 11|| 11ε = ββ11111 dx???=22=2221||ε = ββ1 211xx d x??=62x=3331||ε = ββ21 2213111()3()xx d x????=210 ( 3 1 )4x ?=再將 ?1, ?2, ?3單位化 , 取 例 5 求 L(?1, ?2, ?3, ?4)的一組規(guī)范正交基 . 其中 解 由于 ? ?1 2 3 41 1 1 11 2 0 1, , ,0 1 1 21 0 2 1??????????? ?????A α α α α1 2 3 41 1 1 11 2 0 1, , ,0 1 1 21 0 2 1? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?α α α α 可見 , ?1, ?2, ?4是 L(?1, ?2, ?3, ?4)的一組基 , 正交化 32421 1 1 10 1 1 20 0 0 00 0 0 2rrrr??????????????????21411 1 1 10 1 1 20 1 1 20 1 1 0rrrr???????????????????A ?1 =?1 122 2 111[ β , α ]β = α β[ β , β ]1 1 02 1 131 0 130 1 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?=1101?????????????再單位化得 L(?1, ?2, ?3, ?4)的一組規(guī)范正交基為 : 4 2 43 4 2221111[ β , α ][ β , α ]β = α β β[ β , β ][ β , β ]1 1 01 1 1142 0 1331 1 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?=2 / 3 100 22 / 3 132 / 3 1? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?=1113,031?????????????ε2013,131???????????????ε3103131??????????????ε 定義 若實方陣 A滿足 AAT=E, 則稱 A是正交矩陣 . 若記 ????????????12nααA=α則 ,由于 ? ?????????????12T T T T1 2 nnααA A = α , α , αα22 2 2 22nnn n n n????????T T T1 1 1 1T T T1T T T1α α α α α αα α α α α α=α α α α α α可見 , AAT=E的充分必要條件是 : 1,0,Ti j i jijij? ???? ???α α 所以說 , n階實矩陣 A是正交矩陣 ?A的行 (列 )向量組是 Euclid空間 Rn的一組規(guī)范正交基 . 注意 : ?i?jT=ai1aj1+ai2aj2+… +ainajn=[?i, ?j] 例如 , 下列矩陣都是正交矩陣 : c o s s i n,s i n c o s???????????112211221 0 00,0???????????1 2 212 2 132 1 2??????????在 Euclid空間中 , 兩組規(guī)范正交基的過渡矩陣是正交矩陣 . 作 業(yè) 習(xí)題 A 第 98頁 1 13 、 1 1 17 、 18 練習(xí)題 習(xí)題 B 第 100頁 8 、 9 、 1 12 、 13 、 1 15 、 1
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