【正文】 ???? ? rnlll ?， 故0? ?， 即 ???? rrhhh ??? ?2211rnrnkkk ????? 112211 ??? ?=0 ， 又因?yàn)? 21 r??? ?rn ?1, 21 ??? ?也線性無關(guān)，所以 ???? rhhh ?21rnkkk ???? 121 ?=0 ， 所以, 21 r??? ? ,121 rn ???? ? rn ?2, 21 ??? ?線性無關(guān)，作成21 VV ?的一個(gè)基． 因此， ? ? ?? 21d i m VV rnn ?? 21=d im1V+d im2V)d i m ( 21 VV ?． 推論 1 . 3 . 2 若21 , VV是線性空間nV的兩個(gè)子空間，d im nV n ?，并且 d im1V+d im2Vn?， 則必存在0??，且21 VV ???． 證明 因?yàn)?1 , VV是nV的子空間，所以 ? ? ?? 21d i m VV d im 1V+d im2V)d i m ( 21 VV ?， 即 )d i m ( 21 VV ?=d im1V+d im2V? ?21d i m VV ?． 又因?yàn)閐 im1V+d im2Vn?，所以 d im1V+d im2V? ?21d i m VV ? ? ?21d i m VVn ???， 因?yàn)? ?21 VV ?是 nV的子空間，所以 ? ? ?? 21d i m VV d im nVn ? ， 故 )d i m ( 21 VV ?=d im1V+d im2V? ?21d i m VV ? ? ?21d i m VVn ??? 0? 所以0)d i m ( 21 ?VV ?，即21 VV ?為非零子空間，必含有非零向量． 定義 . 2 設(shè)21 , VV是線性空間 V 的兩個(gè)子空間，若其和21 VV ?中每個(gè)向量的分解式 21 ??? ?? ? ?2211 , VV ?? ?? 是 唯一 的，則稱21 VV ?為 直和 ，記作21 VV ?． 定理 1 . 3 . 9 21 VV ?是直和的充分與必要條件是? ?021 ?VV ?． 證明 必要性 設(shè)21 VV ?是直和，因? ?00?， 并且?021 VV ?，所以? ?0 ? 21 VV ?， 又 因???21 VV ?，1V??且2V??，而? ? ???? ??0 21 VV ?，由定義 1 . 3 . 3 分解式的唯一性有0??? ??， 故21 VV ? ? ?0?， 即21 VV ? ? ?0?． 充分性 設(shè)21 VV ? ? ?0?，?? ?21 VV ?，若有 2121 ????? ???? ? ?222111 , VV ?? ????， 則必有)()( 2211 ???? ????，即0)()( 2211 ???? ????， 若22 ?? ?，則0)()( 2211 ???? ????，并且 ??? 2211 , ???? 21 VV ?，這與假設(shè)矛盾． 所以2211 , ???? ??，由此可知?的分解式唯一，所以21 VV ?是直和 . 定理 1 . 3 . 1 0 21 VV ?是直和的充分與必要條件是 ? ? ?? 21d i m VV d im 1V + d im 2V ． 證明 由定理 1 . 3 . 8 ，定理 1 . 3 . 9 得證 ． 由 此 可 知 ， 在21 , VV中 分 別 取 一 個(gè) 基1, 21 r??? ?與2, 21 r??? ?組成的向量組 { ,121 r??? ? 2, 21 r??? ?} 即為21 VV ?的一個(gè)基． 定理 1 設(shè) 1V 是線性空間 nV 的一個(gè)子空間，則一定存在著 nV的另一個(gè)子空間2V，使得 ?nV21 VV ?． 證明 取1V的一個(gè)基 ,21 r??? ?將其擴(kuò)充為 nV 的一個(gè)基 { ,1 r?? ? nr ?? ,1 ??} ， 令2V= Span {nr ?? ,1 ??} ，則2V即為所求． 定義 .3 若 nV =21 VV ?，則稱1V與2V互補(bǔ)，1V與2V分別稱為 2V 與 1V 的 補(bǔ)空間 ，并且稱 nV = 21 VV ? 為 直和分解 ，也稱為 空間分解 ． 以下我們將這一部分做一個(gè)小結(jié)． 定理 . 12 設(shè)21 , VV是線性空間 V 的任意兩個(gè)子空間，21 VV ?是直和的充分與必要條件是 （ 1 ）21 VV ?=0 ； （ 2 ） ?? ?21 VV ?，21 ??? ?? ? ?2211 , VV ?? ??是唯一確定的； （ 3 ）零向量的分解式唯一，即若021 ?? ??，則必有021 ?? ?? ? ?2211 , VV ?? ??； （ 4 ） nV 的基由1V與2V的基合并而成； （ 5 ）? ? ?? 21d i m VV d im 1V+ d im2V． 線性空間是解析幾何中空間概念的推廣，然而在線性空間中缺少向量的度量的概念，例如向量的長(zhǎng)度與夾角． 我們將在本節(jié)中引入這些重要的概念 . 我們先來回顧一下 3R 中內(nèi)積的概念，對(duì) 3R 中任意兩個(gè)非零向量?? ,，它們的內(nèi)積定義為?? ?=??? c o s，其中?? ,分別是?? ,的長(zhǎng)度， ? 是 ? 與?的 夾角 ． 并且當(dāng)?? ,中有一個(gè)是零向量時(shí)，0?? ??． 當(dāng)然不能由 3R 中的內(nèi)積公式直接將其推廣到一般的線性空間，與定義線性空間類似，我們用公理來引入一般線性空間的內(nèi)積 . 內(nèi)積空間 在 3R 中，對(duì)于任意的3, R? ? ? ?， aR? ， 向量的內(nèi)積具有以下性質(zhì)： （ 1 ）???? ???。 （ 2 ） ? ???????? ??????。 （ 3 ） ? ? ? ????? ??? aa。 （ 4 ） 0?? ?? ，當(dāng)且僅當(dāng) 0?? 時(shí)， 0?? ?? ． 將這些性質(zhì)加以抽象， 可引進(jìn)內(nèi)積的概念 ． 內(nèi)積的定義與性質(zhì) 定義 1 . 4 . 1 設(shè)V是數(shù)域 P 上的線性空間，如果對(duì)于任意兩個(gè)向量, V?? ?； 都有一個(gè)數(shù)域 P 中的數(shù)與它們相對(duì)應(yīng)， 記為? ?,??，并且對(duì)于任意的, V? ? ? ?，aP?滿足下列條件： （ 1 ）? ? ? ?,? ? ? ??； （ 2 ）? ? ? ? ? ???????? , ???； （ 3 ）? ? ? ????? , aa ?； （ 4 ) ? ? ,0, ??? 當(dāng)且僅當(dāng)0??時(shí)，? ? 0, ???， 則稱數(shù)? ??? ,為向量?與?的 內(nèi)積 ，定義了內(nèi)積的線性空間V稱 為 內(nèi)積空間 ． 特別地， 定義在實(shí)數(shù)域 R 上的內(nèi)積空間稱為 E u c li d 空間 ，簡(jiǎn)稱為 歐氏空間 ． 也稱 V 為 實(shí)內(nèi)積空間 ． 定義在復(fù)數(shù)域 C 上的內(nèi)積空間稱為 酉 空間 ，也稱 V 為 復(fù)內(nèi)積空間 ． 例 1 . 4 . 1 考慮線性空間 nP ，對(duì)任意的, nP?? ?，不妨設(shè) ? ?naaa , 21 ??? ， ? ?nbbb , 21 ??? ， 規(guī)定 ? ?1 1 2 2, nna b a b a b?? ? ? ? ?，易驗(yàn)證滿足定義 1 . 4 . 1 的條件，所以線性空間 nP 對(duì)于如上規(guī)定的運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間． 此例中，特別當(dāng) PR? 時(shí)， nP nR? 稱為 歐氏空間 。 當(dāng) PC? 時(shí)，nP nC? 稱為 酉空間． 例 1 . 考慮線性空間 nR ，對(duì)任意的nR??? ,，不妨設(shè) ? ?naaa , 21 ???，? ?nbbb , 21 ???， 規(guī)定 ? ? nn bnababa ???? ?2211 2, ??， 不難驗(yàn)證線性空間 nR 對(duì)于如上規(guī)定的運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間． 由此可見，對(duì)于同一個(gè)線性空間可以引入不同的內(nèi)積，從而構(gòu)成不同的內(nèi)積空間． 例 1 . 4 . 3 設(shè)[ , ]C a b為定義在區(qū)間? ?ba ,上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所構(gòu)成的線性空間，對(duì)任意的? ? ? ? ?xgxf , [ , ]C a b，規(guī)定? ? ? ? ? ???badxxgxfgf ,． 因?yàn)? ? ? ? ?xgxf [ , ]C a b，所以? ?gf ,是唯一確定的實(shí)數(shù)． 并且 （ 1 ）? ? ? ? ? ???badxxgxfgf , ? ? ? ???badxxfxg ? ?,gf? ? ?,gf?； （ 2 ）? ? ? ? ? ? ? ?, ( )baf g h f x g x h x d x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?bbaaf x h x dx g x h x dx????=? ? ? ?hghf , ?。 （ 3 ）? ? ? ? ? ???badxxgxkfgkf )(, ? ? ? ? ? ?gfkdxxgxfkba,?? ?； （ 4 ）? ? ? ? 0, 2 ?? ?badxxfff，當(dāng)且僅當(dāng)? ? 0?xf時(shí)，? ? 0, ?ff． 所以線性空間[ , ]C a b是一個(gè)歐氏空間． 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的內(nèi)積空間， 對(duì)于任意的 , V? ? ? ? ， aP? ， 由定義 1 . 4 . 1 不難導(dǎo)出如下性質(zhì)． （ 1 ） ? ? ? ? ? ?, , ,? ? ? ? ? ? ?? ? ?； （ 2 ） ( , ) ( , )aa? ? ? ?? ； （ 3 ） ( , 0 ) (0 , ) 0?? ?? ． 現(xiàn)在把幾何空間中向量的長(zhǎng)度、夾角等概念推廣到內(nèi)積空間． 定義 1 . 4 . 2 在內(nèi)積空間 V 中，非負(fù)實(shí)數(shù) ? ??? , 稱為 V 中向量 ?的長(zhǎng)度（或模、或范數(shù)），記為 ?? ? ??? , ( 或 ? ) ． 例 1 . 4 . 4 在 歐 氏 空 間 nR 中 ， 對(duì) 任 意 的 向 量? ? ?? naaa , 21 ?? nR ，有 22221 naaa ???? ??． 在 歐 氏 空 間[ , ]C a b中 ， 對(duì) 任 意 的 向 量 ? ??xf [ , ]C a b，有? ??? badxxfxf 2)(． 長(zhǎng)度為 1 的向量叫做單位向量．如果 0?? ，用向量 ? 的模 ? 除? ，則得到一個(gè)與 ? 同方向的單位向量?? ，這一運(yùn)算我們稱之為將向量 ? 單位化或規(guī)范化． 定理 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的內(nèi)積空間， 則向量的長(zhǎng)度?具有如下性質(zhì)． （ 1 ）0? ?，當(dāng)且僅當(dāng) 0? ? 時(shí)，0? ?； （ 2 ）對(duì)任意的 aP? ，有| | | |aa?? ?； （ 3 ）對(duì)任意的, V?? ?，有 | ( , ) | | || |? ? ? ??， （ 1. ） 并且等號(hào)成立的充分必要條件是,??線性相關(guān)． 證明 ： （ 1 ）和（ 2 ）顯然成立。下面證明（ 3 ）． 當(dāng)0? ?時(shí)， （ 1. ）式顯然成立． 以下設(shè)0? ?， 對(duì)任意的tP?，tV?? ??，則 20 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) | | ( , )t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， 令),(),(??????t， 代入上式得 0),(),(),(2????????，于是不等式（ 1 . ）式成立． 當(dāng),??線性相關(guān)， （ ）中等號(hào)成立， 如果,??線性無關(guān)， 則對(duì)任意的tP?， 0t?? ??， 從而