【文章內(nèi)容簡介】 的 坐 標(biāo) 為Tnxxx ),( 21 ?， ? 在基? ?n??? , 21 ?下的坐標(biāo)為Tnyyy ),( 21 ?，設(shè)矩陣 A 為由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣，那么 ? 在上述兩個(gè)基下的坐標(biāo)滿足關(guān)系式（ 1 . 2 . 6 ） ． 設(shè)? ?n??? , 21 ?，? ?n??? , 21 ?，? ?n??? , 21 ?都是線性空間nV的基；并且設(shè)由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣為? ?ijaA ?；由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣為? ?ijbB ?，則由以上的討論可知 ???niiikka1??（nk ,2,1 ??）， ( 1 . 2 . 7 ) ???nkkkjjb1??（nj ,2,1 ??）． ( 1 . 2 . 8 ) 將式（ 1 . 2 . 7 ）代入式（ 1 . 2 . 8 ）有 ???nkkjjb1? ??niiika1?=? ?? ?niinkkjikba1 1)( ?=??niiijc1?， （ 1 . 2 . 9 ） 其中 ???nkkjikijbac1． （ 1 . 2 . 1 0 ） 過渡矩陣的性質(zhì) 令? ?ijcC ?，根據(jù)以上的討論可知：由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣為? ?ijcC ?；同時(shí)由（ 1 . 2 . 1 0 ）式亦可看出 ABC ? ． 事實(shí)上，由（ 1 . 2 . 7 ）、（ 1 . 2 . 8 ）式有 ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ? A， ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ? B， 所以 ),( 21 n??? ?= （),( 21 n??? ? A） B =),( 21 n??? ?AB ． 由此可見，我們所熟悉的矩陣乘法的定義正反映了這種線性代入過程 ． 過渡矩陣反映了線性空間的不同的基之間的關(guān)系，這是一個(gè)很重要的概念，下面進(jìn)一步討論過渡矩陣的一些性質(zhì) . 如果由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣為A ，則有 ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ?A ； 再設(shè)基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣為 B ，則有 ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ?B ． 比較上面兩式， 得 ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ?BA ； ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ?AB ． 因?yàn)? ?n??? , 21 ?，? ?n??? , 21 ?都 是 基 ， 所 以A B B A I?? ． 矩陣 A 可逆，并且 1?? AB ． 反之，設(shè)? ?ijaA ?為任意一個(gè)可逆矩陣，任意取定 nV 的一個(gè)基? ?n??? , 21 ?，并取 ???niiijj a1??(nj ,2,1 ??) ， 則有 ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ?A ， 即 ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ?1?A ． 所以，? ?n??? , 21 ?也是 nV 的一個(gè)基． 因此有以下的定理． 定理 1 . 2 . 4 設(shè) A 是 n 維線性空間 nV 中由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣，那么 A 是一個(gè)可逆矩陣；反之，任意一個(gè) n 階可逆矩陣 A 都可以作為 nV 中一個(gè)基到另一個(gè)基的過渡矩陣． 如果由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣為A ，那么，由基 ? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過渡矩陣就是 1?A ． 例 1 . 2 . 9 設(shè)向量組? ?1 1 ,1 , 0? ?，? ?2 0 , 1 ,1? ??，? ?3 1 , 0 , 2? ?． 試證明? ?321 , ???是 3R的一個(gè)基，并求出向量? ?3 ,1 , 0? ?在此基下的坐標(biāo)． 解 取 3R中的標(biāo)準(zhǔn)基? ?0,0,11 ??，? ?0,1,02 ??，? ?1,0,03 ??；令 1 0 11 1 00 1 2A????????????， 所以? ? ? ? A321321 , ?????? ?，因?yàn)锳可逆，所以? ?321 , ???是 3R的一個(gè)基，且A為標(biāo)準(zhǔn)基到基? ?321 , ???的過渡矩陣． 又因? ?3 , 1 , 0T是?關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)基? ?321 , ???的坐標(biāo)，若設(shè)?關(guān)于基? ?321 , ???的坐標(biāo)為??????????321xxx，由310??????????=A??????????321xxx，可得 ??????????321xxx= 1?A310??????????=542???????????． 例 1 .2. 10 在 3R中有下列兩組向量： ? ?1 1 ,1 , 0? ?，? ?2 0 , 1 ,1? ??，? ?3 1 , 0 , 2? ?。 ? ?1 3 ,1 , 0? ?，? ?2 0 ,1 ,1? ?，? ?3 1 , 0 , 4? ?． 試證明? ?321 , ???，? ?321 , ???都是 3R的基，并求由? ?321 , ???到? ?321 , ???的過渡矩陣． 解 因?yàn)橛?3R的標(biāo)準(zhǔn)基到這兩個(gè)基的過渡矩陣分別為： 1 0 11 1 00 1 2A????????????和3 0 11 1 00 1 4B??????????? 亦即 ? ? ? ? A321321 , ?????? ?，? ? ? ? B321321 , ?????? ?； 所以 ? ? ? ? BA 1321321 , ?? ??????， 故所求過渡矩陣為 15 2 24 3 22 2 3AB???????? ? ????????． 前面我們討論了線性空間的定義及其基、維數(shù)、坐標(biāo)．本節(jié)將對(duì)線性空間的子空間做一些介紹． 線性子空間的概念 定義 設(shè) W是線性空間 V的一個(gè)非空子集合，如果W對(duì)于 V中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱 W是 V的 線性子空間 . 根據(jù)上述定義，要驗(yàn)證線性空間 V的非空子集合 W是 V的子空間，需驗(yàn)證 W對(duì)于 V中運(yùn)算封閉且滿足運(yùn)算規(guī)律（ 3）、(4)即可．因?yàn)檫\(yùn)算規(guī)律（ 1）、（ 2）、（ 5）、（ 6）、（ 7）、（ 8）顯然是成立的，而由線性空間的性質(zhì)可知，只要 W對(duì)于 V中運(yùn)算封閉，運(yùn)算規(guī)律（ 3）、 (4)也就自然滿足，故有下面定理 . 線性子空間 定理 線性空間 V的非空子集 W構(gòu)成 V的子空間的充分必要條件是： W對(duì)于 V中的線性運(yùn)算封閉． 根據(jù)上述定理，設(shè) V是線性空間， 0為 V的零元素，那么W={0}就是 V的一個(gè)子空間． 當(dāng)然 V也是 V的子空間． 例 1 . 3 . 1 設(shè)s??? , 21 ?是線性空間 V 中一組向量，不難看出這組向量所有可能的線性組合所成集合 )},2,1(|{ 2211 siRkkkk is ?? ????? ??? 是非空的，而且對(duì)線性運(yùn)算封閉，從而構(gòu)成 V 的一個(gè)子空間，稱為由s??? , 21 ?生成的子空間，記為),( 21 ss p a n ??? ?． 考慮 n 維向量空間 nR 中的 n 個(gè)向量 Tii??????? 0,0,1,0,0)(???（ni ,2,1 ??） ． 對(duì)任意的nn Raaa ?? ),( 21 ??，有nnaaa ???? ???? ?2211，所以 ? ?nn s p a nR ??? , 21 ?? ． 由此可知n??? , 21 ?是 nR 的一組生成元． 顯然， nR 的任何一 個(gè) 基均可生成 nR ． 例 1 . 3 . 2 在nxP ][中所有次數(shù)不大于 ? ?nrr ?? 1 的多項(xiàng)式的全體1][ ?rxP構(gòu)成nxP ][的一個(gè) r 維子空間，并且 ? ?121 ,1][ ?? ? rr xxxs p a nxP ?． 例 .3 在 nR 中，前 k 個(gè)分量為 0 的一切 n 元有序數(shù)組? ? Tnkk xxx ,0,0 21 ?? ?? )( nk ? 的全體構(gòu)成一個(gè) kn ? 維子空間，如果記 Tii??????? 0,0,1,0,0)(???（ni ,2,1 ??），則上述子空間為 ? ?nkks p a n ??? , 21 ???． 例 . 4 n 元 齊次線性方程組 0?Ax 的全體解向量構(gòu)成 nR 的一個(gè)子空間，我們稱這個(gè)子空間為該方程組的解空間，其基是該方程組的基礎(chǔ)解系，維數(shù)為 rn ? ，其中 r 為系數(shù)矩陣的秩． 定理 1 . 3 . 2 設(shè)21 , VV是線性空間V的子空間，用21 VV ?表示1V與2V中公共元素的集合，則21 VV ?也是V的子空間，稱這個(gè)子空間為1V與2V的交． 證明 因?yàn)?1 , VV是線性空間V的子空間，所以21 0,0 VV ??，因此210 VV ??，也就是12VV ??， 即非空 ． 對(duì)任意的21, VV ????， 則有1, V???及2, V???，由21 , VV是線性空間V的子空間 ， 從而也是線性空間， 所以11,V a V? ? ?? ? ?及22 , VaV ??? ???．故12VV?? ??， 12a V V? ?， 即21 VV ?是V的子空間 ． 子空間的交與和 定理 設(shè)21 , VV是線性空間V的子空間，則 ? ?22112121 , VVVV ?????? ???? 也是V的子空間，稱這個(gè)子空間為1V與2V的和． 證明 顯然21 VV ?非空，對(duì)任意的21, VV ????， 有 2121 , ?????? ???? ? ?2,1, ?? iV iii ??， 故??? ? ? ? ? 2122112121 )()( VV ?????????? ????????． 又對(duì)任意的Pa ?，2121 VVaaa ???? ???， 所以21 VV ?是V的子空間． 如果線性空間1V與2V分別由s??? , 21 ?與t??? , 21 ?所生成，那么 21 VV ? ? ?ss p a n ??? , 21 ??+? ?ts p a n ??? , 21 ? ? ?tss p a n ?????? ,, 2121 ???， 21 VV ? ? ?ss