【文章內(nèi)容簡介】 ?對偶關(guān)系 第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 36 例 13：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 232( ) 3 . 5 7 3()( ) 3 . 5 3 . 5 1N s s sGsD s s s s????? ? ?請寫出系統(tǒng)的對角型實現(xiàn)。 解： 1）求系統(tǒng)極點： 32( ) 3. 5 3. 5 1 ( 1 ) ( 2) ( 0. 5 ) 0D s s s s s s s? ? ? ? ? ? ? ? ?故系統(tǒng)有三個單實極點，即 1 2 31 , 2 , 0. 5? ? ?? ? ? ? ? ?2）對傳遞函數(shù)進行部分分式展開為 ( ) 1 2 ()( ) 1 2 NsGsD s s s s? ? ? ?? ? ?即： 1 2 31 , 2 , 0 .5c c c? ? ?第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 37 3）對角型實現(xiàn)為： ? ?1 0 0 10 2 0 1 1 2 0 0 1uy?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?；x x x? ?1 0 0 10 2 0 2 1 1 10 0 0. 5 0. 5uy?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?；x x x或 第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 38 5 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn) 當(dāng)傳遞函數(shù)除含有單實極點以外 ， 還 含有重極點時 ， 不能作對角型實現(xiàn) ， 但總可以作成分塊對角形實現(xiàn) ， 稱之為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn) ， 其系統(tǒng)矩陣 A是一個含有約當(dāng)塊的矩陣 。 第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 39 3 2 2( ) 1 1 0 1 1 1( ) ( 3 ) ( 3 ) 3 ( 2) 2 1NsD s s s s s s s?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?即： 1 1 1 2 1 3 4 1 4 2 61 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1c c c c c c? ? ? ? ? ? ?例 14：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。 32( ) 2 1 1()( ) ( 3 ) ( 2) 1N s s sGsD s s s s??? ? ? ?? ? ?解： 系統(tǒng)極點為： 3重極點 λ1= 3， 2重極點 λ4 = 2， 單極點 λ6 = 1。 部分分式改寫為： 第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 40 11 1112 1213 1341 4142 42663 1 0 0 0 0 00 3 1 0 0 0 00 0 3 0 0 0 10 0 0 2 1 0 00 0 0 0 2 0 10 0 0 0 0 1 1xxxxuxx? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?111213414261 1 0 1 1 1xxxyxxx?????????? ????????????約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)為： 第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 41 或 11 1112 1213 1341 4142 42663 0 0 0 0 0 11 3 0 0 0 0 10 1 3 0 0 0 00 0 0 2 0 0 10 0 0 1 2 0 10 0 0 0 0 1 1xxxxuxx? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?111213414260 0 1 0 1 1xxxyxxx????????? ????????????第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 42 總結(jié)： 1） 對角型實現(xiàn)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn) ， 需要計算系統(tǒng)的極點 (特征值 )和特征向量 ， 很不方便 。 2） 在線性系統(tǒng)理論中 ， 許多定理或性質(zhì)的證明過程中 ， 使用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是很方便的 。 3） 在作狀態(tài)實現(xiàn)時選用可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測標(biāo)準(zhǔn)型最為方便 。 如需要其它標(biāo)準(zhǔn)型式 ， 可通過非奇異變換來獲取 。 第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 43 由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式 （ 自學(xué) P405409） 由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式的整個思路與由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式的思路是類似的 ， 所以這里不再詳細介紹 ， 請參看教材 P405407。 另外 ， 當(dāng)給定系統(tǒng)微分方程時 ， 可先求出其傳遞函數(shù) ， 然后按照前面推導(dǎo)的公式直接寫出其可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn) ， 例如我們在 例 12種所做的那樣 。 第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 44 方法一： （ 1） m=0（ 微分方程右邊不含輸入變量的導(dǎo)數(shù)項 ） ubyyyy 00)1(1)1n(1n)n( ????? ?? ??? ?選取系統(tǒng)的 n個狀態(tài)變量為 ??????????????????)1n(1nn)2(23121yxxyxxyxxyx?????第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 45 1021n1n00)1(1)1n(1n0)n(nxxxubyyyubyx?????????????????????寫成向量方程的形式： ub00xxx10010xxxx0n1n11n10n1n1????????????????????????????????????????????????????????????????????????第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 46 （ 2） m=n（ 微分方程右邊含輸入變量的導(dǎo)數(shù)項 ） ubububyyyy 01)(1)n(n0)1(1)1n(1n)n( ???????? ?? ?? ???按如下方法選取狀態(tài)變量組： ???????????????????????????uuuuyxuuuyxuuyxuyx1n)1(2n)2n(1)1n(0)1n(n2)1(1)2(0)2(31)1(0201?????????????第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 47 經(jīng)推導(dǎo)可得： uxxxxuxxuxuuyxuxuyxn1021n1nn1nn1n23( 1 )1)2(0( 2 )212( 1 )0( 1 )1????????????????????????????????????????第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 48 可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為： ? ? uxxx001uxyuxxx10010xxxx0n1n101n1n1n1n11n10n1n1????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 49 方法二（中間變量法） ubububyyyy 01)(1)n(n0)1(1)1n(1n)n( ???????? ?? ?? ???令系統(tǒng)的輸入輸出描述微分方程如下： 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 011n1nn01nnsssbsbsb)s(u)s(y)s(g??? ??????????? ??第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 50 引入中間變量 z(t),則上式表示為： 01nn011n1nnbsbsb)s(z)s(ysss1)s(u)s(z????????????? ???對上面兩式求拉氏反變換： )t(zb)t(zb)t(zb)t(zb)t(y)t(uz ( t ))t(z)t(z)t(z0)1(1)1n(1n)n(n0)1(1)1n(1n)n(???????????????? ???第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 51 按方法一的方法選取狀態(tài)變量： uxxx)t(zxzxxzxxzxxzx1021n1n)n(n)1n(1nn)2(23121????????????????????????????? ???????第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 52 可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為： u100xxx10010xxxxn1n11n10n1n1????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?? ? ? ? xbbxbubxbbb]uxx[by1n01n0nn1n10n1n10n???????????????????????第 1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述