【正文】 當(dāng) PC? 時(shí)，nP nC? 稱為 酉空間． 例 1 . 考慮線性空間 nR ，對(duì)任意的nR??? ,，不妨設(shè) ? ?naaa , 21 ???，? ?nbbb , 21 ???， 規(guī)定 ? ? nn bnababa ???? ?2211 2, ??， 不難驗(yàn)證線性空間 nR 對(duì)于如上規(guī)定的運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間． 由此可見，對(duì)于同一個(gè)線性空間可以引入不同的內(nèi)積，從而構(gòu)成不同的內(nèi)積空間． 例 1 . 4 . 3 設(shè)[ , ]C a b為定義在區(qū)間? ?ba ,上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所構(gòu)成的線性空間，對(duì)任意的? ? ? ? ?xgxf , [ , ]C a b，規(guī)定? ? ? ? ? ???badxxgxfgf ,． 因?yàn)? ? ? ? ?xgxf [ , ]C a b，所以? ?gf ,是唯一確定的實(shí)數(shù)． 并且 （ 1 ）? ? ? ? ? ???badxxgxfgf , ? ? ? ???badxxfxg ? ?,gf? ? ?,gf?； （ 2 ）? ? ? ? ? ? ? ?, ( )baf g h f x g x h x d x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?bbaaf x h x dx g x h x dx????=? ? ? ?hghf , ?。 ? ?1 3 ,1 , 0? ?，? ?2 0 ,1 ,1? ?，? ?3 1 , 0 , 4? ?． 試證明? ?321 , ???，? ?321 , ???都是 3R的基，并求由? ?321 , ???到? ?321 , ???的過渡矩陣． 解 因?yàn)橛?3R的標(biāo)準(zhǔn)基到這兩個(gè)基的過渡矩陣分別為： 1 0 11 1 00 1 2A????????????和3 0 11 1 00 1 4B??????????? 亦即 ? ? ? ? A321321 , ?????? ?，? ? ? ? B321321 , ?????? ?； 所以 ? ? ? ? BA 1321321 , ?? ??????， 故所求過渡矩陣為 15 2 24 3 22 2 3AB???????? ? ????????． 前面我們討論了線性空間的定義及其基、維數(shù)、坐標(biāo)．本節(jié)將對(duì)線性空間的子空間做一些介紹． 線性子空間的概念 定義 設(shè) W是線性空間 V的一個(gè)非空子集合，如果W對(duì)于 V中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱 W是 V的 線性子空間 . 根據(jù)上述定義，要驗(yàn)證線性空間 V的非空子集合 W是 V的子空間，需驗(yàn)證 W對(duì)于 V中運(yùn)算封閉且滿足運(yùn)算規(guī)律（ 3）、(4)即可．因?yàn)檫\(yùn)算規(guī)律（ 1）、（ 2）、（ 5）、（ 6）、（ 7）、（ 8）顯然是成立的，而由線性空間的性質(zhì)可知，只要 W對(duì)于 V中運(yùn)算封閉，運(yùn)算規(guī)律（ 3）、 (4)也就自然滿足，故有下面定理 . 線性子空間 定理 線性空間 V的非空子集 W構(gòu)成 V的子空間的充分必要條件是： W對(duì)于 V中的線性運(yùn)算封閉． 根據(jù)上述定理，設(shè) V是線性空間， 0為 V的零元素，那么W={0}就是 V的一個(gè)子空間． 當(dāng)然 V也是 V的子空間． 例 1 . 3 . 1 設(shè)s??? , 21 ?是線性空間 V 中一組向量，不難看出這組向量所有可能的線性組合所成集合 )},2,1(|{ 2211 siRkkkk is ?? ????? ??? 是非空的，而且對(duì)線性運(yùn)算封閉，從而構(gòu)成 V 的一個(gè)子空間，稱為由s??? , 21 ?生成的子空間，記為),( 21 ss p a n ??? ?． 考慮 n 維向量空間 nR 中的 n 個(gè)向量 Tii??????? 0,0,1,0,0)(???（ni ,2,1 ??） ． 對(duì)任意的nn Raaa ?? ),( 21 ??，有nnaaa ???? ???? ?2211，所以 ? ?nn s p a nR ??? , 21 ?? ． 由此可知n??? , 21 ?是 nR 的一組生成元． 顯然， nR 的任何一 個(gè) 基均可生成 nR ． 例 1 . 3 . 2 在nxP ][中所有次數(shù)不大于 ? ?nrr ?? 1 的多項(xiàng)式的全體1][ ?rxP構(gòu)成nxP ][的一個(gè) r 維子空間，并且 ? ?121 ,1][ ?? ? rr xxxs p a nxP ?． 例 .3 在 nR 中，前 k 個(gè)分量為 0 的一切 n 元有序數(shù)組? ? Tnkk xxx ,0,0 21 ?? ?? )( nk ? 的全體構(gòu)成一個(gè) kn ? 維子空間，如果記 Tii??????? 0,0,1,0,0)(???（ni ,2,1 ??），則上述子空間為 ? ?nkks p a n ??? , 21 ???． 例 . 4 n 元 齊次線性方程組 0?Ax 的全體解向量構(gòu)成 nR 的一個(gè)子空間，我們稱這個(gè)子空間為該方程組的解空間，其基是該方程組的基礎(chǔ)解系，維數(shù)為 rn ? ，其中 r 為系數(shù)矩陣的秩． 定理 1 . 3 . 2 設(shè)21 , VV是線性空間V的子空間，用21 VV ?表示1V與2V中公共元素的集合，則21 VV ?也是V的子空間，稱這個(gè)子空間為1V與2V的交． 證明 因?yàn)?1 , VV是線性空間V的子空間，所以21 0,0 VV ??，因此210 VV ??，也就是12VV ??， 即非空 ． 對(duì)任意的21, VV ????， 則有1, V???及2, V???，由21 , VV是線性空間V的子空間 ， 從而也是線性空間， 所以11,V a V? ? ?? ? ?及22 , VaV ??? ???．故12VV?? ??， 12a V V? ?， 即21 VV ?是V的子空間 ． 子空間的交與和 定理 設(shè)21 , VV是線性空間V的子空間，則 ? ?22112121 , VVVV ?????? ???? 也是V的子空間，稱這個(gè)子空間為1V與2V的和． 證明 顯然21 VV ?非空，對(duì)任意的21, VV ????， 有 2121 , ?????? ???? ? ?2,1, ?? iV iii ??， 故??? ? ? ? ? 2122112121 )()( VV ?????????? ????????． 又對(duì)任意的Pa ?，2121 VVaaa ???? ???， 所以21 VV ?是V的子空間． 如果線性空間1V與2V分別由s??? , 21 ?與t??? , 21 ?所生成，那么 21 VV ? ? ?ss p a n ??? , 21 ??+? ?ts p a n ??? , 21 ? ? ?tss p a n ?????? , 2121 ???， 21 VV ? ? ?ss p a n ??? , 21 ??? ? ?ts p a n ??? , 21 ? ? ?rs p a n ??? , 21 ??， 其中?r??? , 21 ? 21 VV ?，tsr ,?． 以上運(yùn)算可以推廣到n個(gè)子空間nVVV , 21 ?． 例 1 . 3 . 5 設(shè)21 , VV分別為齊次線性方程組 0?Ax ， 0?Bx 的解空間，則21 VV ?為 ?????00BxAx 的解空間 . 例 1 . 3 . 6 設(shè)? ?0,1,2,11 ??，? ?1,1,1,12 ???，? ?1,0,1,21 ???，? ?7,3,1,12 ???， 求 ? ?211 , ??s p a nV ?與 ? ?212 , ??s p a nV ?的和與交的維數(shù)以及它們的基． 解 （ 1 ) 先求和． 因?yàn)? 12VV?= ? ??21 , ??s p a n ? ? ?21 , ??s p a n ? ?2121 , ????s p a n， 向量組2121 , ????的秩為 3 ，并且121 , ???為其一個(gè)極大線性無關(guān)組， 所以 ? ?12d i m 3VV ??， 并且21 VV ?的一個(gè)基為 {121 , ???} ，即21 VV ?= ? ?121 , ???s p a n． （ 2) 再求交． 對(duì)21 VV ?而言，對(duì)于任意的??21 VV ?，有Pbbaa ?2121 ,，使 22112211 ????? bbaa ????， 即 022112211 ???? ???? bbaa， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2, 2 , , 0 , , , 2 , , 0 , , 3 , 7 0 , 0 , 0 , 0a a a a a a a b b b b b b b? ? ? ? ? ? ? 即 ?????????????????????0703020221222121212121bbabaabbaabbaa 其基礎(chǔ)解 系 為? ? T1,3,4,1 ??， 又因?yàn)? ? ?4,3,2,534 2121 ???????? ?????， 所以21 VV ?中的任意元素均可由?表示，即? ?12d i m 1VV ?，? ?4,3,2,5 ?????是21 VV ?的一個(gè)基，即21 VV ?=? ??s p a n． 以上運(yùn)算可以推廣到n個(gè)子空間nVVV , 21 ?． 定理 1. 設(shè)在線性空間 V 中向量組? ?s??? , 21 ?線性無關(guān)，并且每一個(gè)i?都可以由向量組? ?t??? , 21 ?線性表示，那么必有 ts ? ，并且在必要時(shí)可以對(duì)? ?t??? , 21 ?中的向量重新編號(hào)，使得用s??? , 21 ?替換s??? , 21 ?后，所得的向量組 {s??? , 21 ?，tss ??? , 21 ???} 與? ?t??? , 21 ?等價(jià) . 前面給出了子空間的定義，并討論了子空間的交與和，為了對(duì)子空間有進(jìn)一步的了解，我們將深入討論子空間的基和維數(shù) . 子空間的基和維數(shù) 證明 ： 對(duì)? ?s??? , 21 ?中的向量的個(gè)數(shù)s應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法． 當(dāng)0?s時(shí)，論斷顯然正確． 假設(shè)0?s，并且對(duì)向量組? ?s??? , 21 ?中含有1?s個(gè)向量的情形，結(jié)論成立． 當(dāng)向量組? ?s??? , 21 ?中含有s個(gè)向量時(shí)， 因s??? , 21 ?線性無關(guān)，所以121 , ?s??? ?也線性無關(guān)． 又歸納假設(shè)ts ?? 1，并且以121 , ?s??? ?替換? ?t??? , 21 ?中的前1?s個(gè) 向 量 ， 得 到 一 個(gè) 與? ?t??? , 21 ?等 價(jià) 的 向 量 組{121 , ?s??? ?，tss ??? , 1 ??} ，由于s?可以由? ?t??? , 21 ?線性表示，所以它也可以由與? ?t??? , 21 ?等價(jià)的向量組 {121 , ?s??? ?，tss ??? , 1 ??} 線性表示， 所以 s?=??? ?? 112211 ssaaa ??? ? ttssss bbb ??? ??? ?? ?11， 如果所有的jb都為零，則上式變?yōu)? s?=112211 ???? ssaaa ??? ?， 即s?可以由121 , ?s??? ?線性表示，而這與? ?s??? , 21 ?線性無