【正文】 （ 3 ）? ? ? ? ? ???badxxgxkfgkf )(, ? ? ? ? ? ?gfkdxxgxfkba,?? ?； （ 4 ）? ? ? ? 0, 2 ?? ?badxxfff，當(dāng)且僅當(dāng)? ? 0?xf時(shí)，? ? 0, ?ff． 所以線性空間[ , ]C a b是一個(gè)歐氏空間． 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的內(nèi)積空間， 對(duì)于任意的 , V? ? ? ? ， aP? ， 由定義 1 . 4 . 1 不難導(dǎo)出如下性質(zhì)． （ 1 ） ? ? ? ? ? ?, , ,? ? ? ? ? ? ?? ? ?； （ 2 ） ( , ) ( , )aa? ? ? ?? ； （ 3 ） ( , 0 ) (0 , ) 0?? ?? ． 現(xiàn)在把幾何空間中向量的長(zhǎng)度、夾角等概念推廣到內(nèi)積空間． 定義 1 . 4 . 2 在內(nèi)積空間 V 中，非負(fù)實(shí)數(shù) ? ??? , 稱為 V 中向量 ?的長(zhǎng)度（或模、或范數(shù)），記為 ?? ? ??? , ( 或 ? ) ． 例 1 . 4 . 4 在 歐 氏 空 間 nR 中 ， 對(duì) 任 意 的 向 量? ? ?? naaa , 21 ?? nR ，有 22221 naaa ???? ??． 在 歐 氏 空 間[ , ]C a b中 ， 對(duì) 任 意 的 向 量 ? ??xf [ , ]C a b，有? ??? badxxfxf 2)(． 長(zhǎng)度為 1 的向量叫做單位向量．如果 0?? ，用向量 ? 的模 ? 除? ，則得到一個(gè)與 ? 同方向的單位向量?? ，這一運(yùn)算我們稱之為將向量 ? 單位化或規(guī)范化． 定理 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的內(nèi)積空間， 則向量的長(zhǎng)度?具有如下性質(zhì)． （ 1 ）0? ?，當(dāng)且僅當(dāng) 0? ? 時(shí)，0? ?； （ 2 ）對(duì)任意的 aP? ，有| | | |aa?? ?； （ 3 ）對(duì)任意的, V?? ?，有 | ( , ) | | || |? ? ? ??， （ 1. ） 并且等號(hào)成立的充分必要條件是,??線性相關(guān)． 證明 ： （ 1 ）和（ 2 ）顯然成立。 （ 4 ） 0?? ?? ，當(dāng)且僅當(dāng) 0?? 時(shí)， 0?? ?? ． 將這些性質(zhì)加以抽象， 可引進(jìn)內(nèi)積的概念 ． 內(nèi)積的定義與性質(zhì) 定義 1 . 4 . 1 設(shè)V是數(shù)域 P 上的線性空間，如果對(duì)于任意兩個(gè)向量, V?? ?； 都有一個(gè)數(shù)域 P 中的數(shù)與它們相對(duì)應(yīng)， 記為? ?,??，并且對(duì)于任意的, V? ? ? ?，aP?滿足下列條件： （ 1 ）? ? ? ?,? ? ? ??； （ 2 ）? ? ? ? ? ???????? , ???； （ 3 ）? ? ? ????? , aa ?； （ 4 ) ? ? ,0, ??? 當(dāng)且僅當(dāng)0??時(shí)，? ? 0, ???， 則稱數(shù)? ??? ,為向量?與?的 內(nèi)積 ，定義了內(nèi)積的線性空間V稱 為 內(nèi)積空間 ． 特別地， 定義在實(shí)數(shù)域 R 上的內(nèi)積空間稱為 E u c li d 空間 ，簡(jiǎn)稱為 歐氏空間 ． 也稱 V 為 實(shí)內(nèi)積空間 ． 定義在復(fù)數(shù)域 C 上的內(nèi)積空間稱為 酉 空間 ，也稱 V 為 復(fù)內(nèi)積空間 ． 例 1 . 4 . 1 考慮線性空間 nP ，對(duì)任意的, nP?? ?，不妨設(shè) ? ?naaa , 21 ??? ， ? ?nbbb , 21 ??? ， 規(guī)定 ? ?1 1 2 2, nna b a b a b?? ? ? ? ?，易驗(yàn)證滿足定義 1 . 4 . 1 的條件，所以線性空間 nP 對(duì)于如上規(guī)定的運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)內(nèi)積空間． 此例中，特別當(dāng) PR? 時(shí)， nP nR? 稱為 歐氏空間 。 （ 2 ） ? ???????? ??????。,2,1 ?? ??）． )( j 對(duì)于任意的)( ijaA ?mnC ?? ，有 ? ?? ????????minjijijmnmnnnEaEaEaEaEaA1 12121111111??． 所以d im mnC m n? ?；)( ijaA ?在基? ? minjijE,2,1,2,1????下的坐標(biāo)為 Tmnn aaaaa ),( 2111211 ??． 從上例可看出，一個(gè)向量的坐標(biāo)依賴于基的選取，一個(gè)向量在不同基下的坐標(biāo)一般是不相同的． （ 2）向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)n維線性空間 nV的向量?? ,在基 {n??? , 21 ?} 下的坐標(biāo)分別為 Tnxxx ),( 21 ?，Tnyyy ),( 21 ?． 則有 nnxxx ???? ???? ?2211，nnyyy ???? ???? ?2211． 那么 nnn yxyxyx ????? )()()( 222111 ???????? ?． 設(shè) Pa ? ，那么 nnaxaxaxa ???? )()()( 2211 ???? ?． 所以有如下的定理 ． 定理 1 . 2 . 2 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的 n 維線性空間，而 {n??? , 21 ?}是 V 的一個(gè)基，向量V??? ,，它們關(guān)于基 {n??? , 21 ?} 的坐標(biāo)分別是 Tnxxx ),( 21 ?和Tnyyy ),( 21 ?， 那么，?? ?關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)就是Tnn yxyxyx ),( 2211 ??? ?． 又設(shè) Pa ? ，那么， ?a 關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)就是Tnaxaxax ),( 21 ?． 前面講到， 一個(gè)向量的坐標(biāo)依賴于基的選取，對(duì)于線性空間的兩個(gè)基來(lái)說(shuō)，同一個(gè)向量的坐標(biāo)一般是不相同的． 那么它們之間有怎樣的關(guān)系呢 ? 下面討論這個(gè)問(wèn)題 設(shè) ? ?n??? , 21 ?和 ? ?n??? , 21 ?是 n 維線性空間 nV 的兩個(gè)基，由此可知j?作為 nV 中的元素， 可以表示為 nnaaa ???? 12211111 ???? ?， nnaaa ???? 22221122 ???? ? （ 1 . 2 . 1 ）， ? nnnnnn aaa ???? ???? ?2211， （ 1）基變換、過(guò)渡矩陣的概念 以下我們來(lái)討論，一個(gè)向量關(guān)于不同的基的坐標(biāo)的關(guān)系． 基變換與坐標(biāo)變換 這里Tnjjj aaa ),( 21 ?),2,1( nj ??是j?),2,1( nj ??在基? ?n??? , 21 ?下的坐標(biāo)．（ 1 . 2 . 1 ）式也可以表示為如下矩陣乘法形式 ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ?A ． （ 1 . 2 . 2 ） 其中 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na a aa a aAa a a?????????????， 矩陣 A 叫做由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的 過(guò)渡矩陣 ． （ 2）坐標(biāo)變換公式 設(shè)V??，?關(guān)于基? ?n??? , 21 ?的坐標(biāo)為Tnxxx ),( 21 ?，關(guān)于基? ?n??? , 21 ?的坐標(biāo)為（Tnyyy ), 21 ?．于是有如下矩陣表示 ????niiix1??),( 21 n??? ???????????????nxxx?21， （ 1 . 2 . 3 ） 以及 ????niiiy1??),( 21 n??? ???????????????nyyy?21． （ 1 . 2 . 4 ） 將（ 1 . 2 . 2 ）代入（ 1 . 2 . 4 ）， 得 (?? ),(21 n??? ?A）??????????????nyyy?21=),( 21 n??? ?12nyyAy?????????????????????????? （ 1 . 2 . 5 ） 比較（ 1 . 2 . 3 ）式與（ 1 . 2 . 5 ）式， 并由?關(guān)于一個(gè)基? ?n??? , 21 ?下的坐標(biāo)是唯一的，故得 ??????????????nxxx?21= A??????????????nyyy?21． （ 1 . 2 . 6 ） 于是有以下的定理． 定理 1 . 2 . 3 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的一個(gè) n 維線性空間，向量 ? 在基? ?n??? , 21 ?下 的 坐 標(biāo) 為Tnxxx ),( 21 ?， ? 在基? ?n??? , 21 ?下的坐標(biāo)為Tnyyy ),( 21 ?，設(shè)矩陣 A 為由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過(guò)渡矩陣，那么 ? 在上述兩個(gè)基下的坐標(biāo)滿足關(guān)系式（ 1 . 2 . 6 ） ． 設(shè)? ?n??? , 21 ?，? ?n??? , 21 ?，? ?n??? , 21 ?都是線性空間nV的基；并且設(shè)由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過(guò)渡矩陣為? ?ijaA ?；由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過(guò)渡矩陣為? ?ijbB ?，則由以上的討論可知 ???niiikka1??（nk ,2,1 ??）， ( 1 . 2 . 7 ) ???nkkkjjb1??（nj ,2,1 ??）． ( 1 . 2 . 8 ) 將式（ 1 . 2 . 7 ）代入式（ 1 . 2 . 8 ）有 ???nkkjjb1? ??niiika1?=? ?? ?niinkkjikba1 1)( ?=??niiijc1?， （ 1 . 2 . 9 ） 其中 ???nkkjikijbac1． （ 1 . 2 . 1 0 ） 過(guò)渡矩陣的性質(zhì) 令? ?ijcC ?，根據(jù)以上的討論可知：由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過(guò)渡矩陣為? ?ijcC ?；同時(shí)由（ 1 . 2 . 1 0 ）式亦可看出 ABC ? ． 事實(shí)上，由（ 1 . 2 . 7 ）、（ 1 . 2 . 8 ）式有 ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ? A， ),( 21 n??? ?=),( 21 n??? ? B， 所以 ),( 21 n??? ?= （),( 21 n??? ? A） B =),( 21 n??? ?AB ． 由此可見，我們所熟悉的矩陣乘法的定義正反映了這種線性代入過(guò)程 ． 過(guò)渡矩陣反映了線性空間的不同的基之間的關(guān)系，這是一個(gè)很重要的概念，下面進(jìn)一步討論過(guò)渡矩陣的一些性質(zhì) . 如果由基? ?n??? , 21 ?到基? ?n??? , 21 ?的過(guò)渡矩陣為A ，則有 ),( 21 n??? ?=