第五章線性空間與線性變換(參考版)
2025-07-23 21:51本頁面
【正文】 (2) 齊次性 : |k?|=|k||?|。 取 A?Rn?n, ???Rn, 定義 ?(?)=A?, 則 ?為 Rn的一個(gè)線性變換 . ???VK, 定義 ?(?)=?, 則 ?為 VK的一個(gè)線性變換 , 稱為恒等變換或單位變換 . (3) ?(x1?1+x2?2+… +xm?m) =x1?(?1)+x2?(?2)+… +xm?(?m) 二 . 線性變換的矩陣 設(shè) ?為線性空間 VK的一個(gè)線性變換 , ?1, ?2,… , ?n是 VK的一組基 , ??VK, 如果 ?=x1?1+x2?2+… +xn?n, 則 即 , ?(?)是由 ?(?1), ?(?2),… , ?(?n)唯一確定的 . 由于 ?(?1), ?(?2),… , ?(?n)?VK, 故可由 ?1, ?2,… , ?n線性表示 , 記 ?(?)=x1?(?1)+x2?(?2)+… +xn?(?n) ?(?1)=a11?1+a21?2+… +an1?n ?(?2)=a12?1+a22?2+… +an2?n …………………… ?(?n)=a1n?1+a2n?2+… +ann?n 例如 其中 ?(?1, ?2,… , ?n)=(?1, ?2,… , ?n)A 矩陣 A的第 j列為向量 ?(?j)在基 ?1, ?2,… ,?n下的坐標(biāo) . 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na a aa a aAa a a????????? 矩陣 A稱為 線性變換 ?在基 ?1, ?2,… ,?n下的矩陣 . 例如 線性空間 K[x]n中 , 求微商的變換 ??在基 1, x, x2,… , xn1下的矩陣為 : 0000A?????????????????010000001 00 20 00 00 1 00 0 00 0 10 0 0An?? 零 變換在任何基下的矩陣都是零矩陣 . 單位變換 在任何基下的矩陣都是單位矩陣 . 線性空間 K[x]n中 , 求微商的變換 ??在基 1, x, x2/2,… , xn1/(n1)下的矩陣為 : 0000A?????????????????010000001 00 10000000 1 0 00 0 1 00 0 0 20 0 0 0An?? ?A?R2?2, 定義 ?(A)=AT, 則 ?在基 E11, E12, E21, E22下的矩陣為 : 1000A?????????????10000100A ?0 00 11 00001 00 00 00 0 0 1A ?1 1 1 2 2 1 2 21 0 0 1 0 0 0 0, , ,0 0 0 0 1 0 0 1??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???E E E E 定理 設(shè)線性變換 ?在 基 ?1, ?2,… ,?n下的矩陣是 A, 向量 ?在基 ?1,?2,… ,?n下的坐標(biāo)為 x=(x1, x2,… , xn)T,則 ?(?)在這組基下的坐標(biāo)是 Ax. 證明 因?yàn)??=x1?1+x2?2+… +xn?n, 所以 =(?1, ?2,… , ?n)TAx ?(?)=x1?(?1)+x2?(?2)+… +xn?(?n) =(?(?1), ?(?2),… , ?(?n))x 所以 , ?(?)在基 ?1,?2,… ,?n下的坐標(biāo)是 Ax. 定理 設(shè) ?是線性空間 V的線性變換 , 如果 ?在兩組基 ?1, ?2,… ,?n和 ?1, ?2,… ,?n下的矩陣分別為 A和 B, 且由基?1, ?2,… ,?n到基 ?1, ? 2,… , ?n的過渡矩陣為 C, 則 B=C1AC. 證明 由于 ?(?1, ?2,… , ?n)=(?1, ?2,… , ?n)A (?1, ? 2,… , ?n)=(?1, ?2,… , ?n)C 于是 (?1, ? 2,… , ?n)B=?(?1, ? 2,… , ?n)=?[(?1, ?2,… , ?n)C] = [?(?1, ?2,… , ?n)]C=(?1, ?2,… , ?n)AC =(?1, ? 2,… , ?n)C1AC 由于線性變換在一個(gè)基下的矩陣是唯一的 , 故 B=C1AC. 例 2 設(shè)線性空間 R3的線性變換 ?在 基 ?1, ?2, ?3下的矩陣為 解 基 ?1, ?2, ?3到基 ?1, ?2, ?3的過渡矩陣為 求 ?在 基 ?1=?1, ?2=3?12?2+2?3, ?3=?1+2?2+2?3下的矩陣 . 先求 C1, 由于 1 1 20 1 20 2 1A?????? ????1 3 10 2 2022C???????????1 3 1 1 0 0( ) 0 2 2 0 1 00 2 2 0 0 1CE???????????32212321 / 21231 0 2 1 00 1 1 0 00 0 4 0 1 1rrrrr?????????? ? ?????所以 , ?在 基 ?1,
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