5內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)(ppt34頁)(參考版)
2025-01-12 18:52本頁面
【正文】 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 35頁 演講完畢，謝謝觀看！ 。 證 H是可分 ?存在 H的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系 {e1,e2,… en}或 {e1,e2,… en,…} . 作映像 ? : H?Rn（ 或 l 2） ,? (x)=(x,e1,x,e2,…, x,en)（ 或 ? (x)=(x,e1,x,e2,…, x,en,…) ） ?? 是一一 映像且 保持線性運算和內(nèi)積不變，即 H與 Rn(或 l 2） 同構(gòu) 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 34頁 注 : (1)歐式空間 Rn任可以看作是有限維可分的希爾伯特空間的模型； (2) l 2空間可以看作是無限維可分的希爾伯特空間的模型。事實上，這個結(jié)論與可分的希爾伯特空間也是成立的。 定理 12 (正交系完全的充要條件 ) 設(shè) {en}是希爾伯特空間 H的標(biāo)準(zhǔn)正交系 , 則下列四個命題是等價的： (3) ?x?H, x關(guān)于 {en}的 Fourier級數(shù)收斂于 x,即 x可以展開成關(guān)于 {en}的 Fourier級數(shù) : 。 （ 2） 勒讓德 (Legendre)多項式表示的正交系 例如 ，（ 1） 三角函數(shù)系 ,...)2,1]()1[(!21)( 2 ??? ntdtdntP nnnnn是 L2[1,1]中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。那么，如何確認(rèn)其基向量是完全的呢？為此引入下面的定義： 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 31頁 定義 9 (完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系 ) 設(shè) H是內(nèi)積空間， {en} (n=1,2,…) 是H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，如果在 H中不再存在于所有 en(n=1,2,…) 都正交的非零元素，即如果 x?H, x?en(n=1,2,…), 必有 x=?, 則稱{en}是 H中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。只有基向量的個數(shù)等于 n時，才能認(rèn)為基向量是 “ 完全 ” 的。這時可以認(rèn)為基向量沒有選 “ 完全 ” 。記作 注： 1) ?x?H, x的 Fourier系數(shù) =x,en(n=1,2,…) 滿足 Bessel不等式 2) 微積分學(xué)中的 Fourier級數(shù)是 L2[a,b]上元素 x關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交系 ],[,...}co s1,co s1,...,sin1,co s1,21{ 2 baLntnttt ??????的 Fourier級數(shù)。 .||||in f),(|||||||||||| 222 yxMxxxxxnMynnn?????? ??2212 |,||,||||| ??????? nn exexx ?(2) 若 , 11 nnnn MeexeexxXx ?????????? ?則 （最佳逼近定理） , 11 nnnn MeexeexxXx ?????????? ?(3) ,nn Mxx ??(1) 若 ,11 nneex ?? ??? ? 。 定理 8 (GramSchmidt正交化定理 )設(shè) H是內(nèi)積空間 ,{x1,x2,..,xn,…} ?H是 H中任一個線性獨立系 ,則可將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到一個標(biāo)準(zhǔn)正交系。 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 23頁 定理 7 設(shè) H是內(nèi)積空間，若 M={e1,e2,..,en,… }?H是標(biāo)準(zhǔn)正交系 ,則{e1,e2,…, en,…} 是線性獨立系，即 {e1,e2,..,en,… }中的任何有限組是線性無關(guān)的。 , .. .}co s1,co s1, .. .,si n1,co s1,21{ ntnttt ?????是 L2[?, ? ] 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 ,0,nmnmeenm(2) 設(shè) {en}?H, 若 則稱 {en}是 H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 R3中的向量正交概念 ? 一般內(nèi)積空間中的向量正交概念 定義 7 (正交集與標(biāo)準(zhǔn)正交系 ) 設(shè) H是內(nèi)積空間 ,M?H,(1)如果對 ?x,y?M, x?y, 都有 x,y=0， 則稱 M是 H中的正交系。 (2)最佳逼近問題的幾何解釋： 記 M=span{x1, x2, …, xn}?H,則 ??? nk kk xx 1 ? 表示 x到 M上某點的距離 ??????? nk kknk kkxxxxn 1), . .. ,(1 1m i n ?? ?? 表示 x到 M的最短距離 ??? nk kkxx10? 表示 x在 M上的正交投影 最佳逼近問題實際上就是求正交投影的問題 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 19頁 (2) 最佳逼近問題的求解步驟： 設(shè) {xn}?M線性無關(guān)，記 M=span{x1, x2, …, xn}?H ??唯一的 x0: Mxx nkkk ????10 ?使得 ||xx0||=inf ||xy||, 且對 ?y?M, 有 xx0,y=0 ? xx0, xk =0 (xk?M, k =1,2,…,n ) ? x0, xk=x, xk (xk?M, k =1,2,…,n ) ? ),...2,1(,1 nkxxxx kknkkk ?????????? ),...2,1(,1nkxxxx kknkkk ??????????M是 H的閉線性子空間 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 20頁 ? ), . . .2,1(,
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