5內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)(ppt34頁)-資料下載頁
2025-01-10 18:52本頁面
【正文】 .}co s1,co s1,...,sin1,co s1,21{ 2 baLntnttt ??????的 Fourier級數(shù)。 ?????1,~nnn eexx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 28頁 3) ?x?H, x的 Fourier系數(shù) =x,en (n=1,2,…) 是平方可和的， 即 {}?l 2. 問題 ： 由定理 8 可知，對 ?x?H, 及任何 n,xn=x,e1e1+…+ x,enen 到 x的距離最小，那么當(dāng) n??時， xn是否收斂于 x呢？ 即 x的 Fourier級數(shù) x,e1e1+…+ x,enen+… 是否收斂于 x？或者說 x能否展開成傅立葉級數(shù)？ 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 29頁 4 內(nèi)積空間中的傅立葉級數(shù)的收斂性 定理 11(Fourier級數(shù)收斂的充要條件 ) 設(shè) {en}是內(nèi)積空間 H的標準正交系 ,x?H,則 x關(guān)于 {en}的 Fourier級數(shù)收斂于 x的充要條件是成立巴塞弗 (Parseval)等式： ??????122,ii xex證 由定理 8知 ,若 ?x?X, 取 xn=x,e1e1+…+ x,enen,則 xxn?xn,且 222nn xxxx ??????????????????122222 ,li m0)(li miinnnn exxxxx,122 ?????niin exx 0,lim0limlim1????????? ????????ninnnnnn exxxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 30頁 問題： 對于 n維歐氏空間而言，如果基向量的個數(shù)小于 n,則空間中的一些向量就無法用這些基向量線性表示。這時可以認為基向量沒有選 “ 完全 ” 。此時不能保證 Parseval等式成立，而只有Bessel不等式成立。只有基向量的個數(shù)等于 n時，才能認為基向量是 “ 完全 ” 的。 對于一般的無限維內(nèi)積空間，也只有當(dāng)基選完全時，才能保證 Parseval等式成立，從而使得空間中的任何元素都能由這組完全的基線性表示，其傅立葉級數(shù)才能收斂于自身，或者說， H中的任何元素都可以展開成傅立葉級數(shù)。那么，如何確認其基向量是完全的呢？為此引入下面的定義： 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 31頁 定義 9 (完全的標準正交系 ) 設(shè) H是內(nèi)積空間， {en} (n=1,2,…) 是H中的標準正交系，如果在 H中不再存在于所有 en(n=1,2,…) 都正交的非零元素，即如果 x?H, x?en(n=1,2,…), 必有 x=?, 則稱{en}是 H中的完全標準正交系。 , .. .}co s1,co s1, .. .,si n1,co s1,21{ ntnttt ?????是 L2[?, ?]中的完全標準正交系。 （ 2） 勒讓德 (Legendre)多項式表示的正交系 例如 ，（ 1） 三角函數(shù)系 ,...)2,1]()1[(!21)( 2 ??? ntdtdntP nnnnn是 L2[1,1]中的完全標準正交系。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 32頁 ??????1,nnn eexx(4) ?x?H, Parseval等式成立。 定理 12 (正交系完全的充要條件 ) 設(shè) {en}是希爾伯特空間 H的標準正交系 , 則下列四個命題是等價的： (3) ?x?H, x關(guān)于 {en}的 Fourier級數(shù)收斂于 x,即 x可以展開成關(guān)于 {en}的 Fourier級數(shù) : 。},2,1|s p an { )2( Hnen ?? ?(1) {en}是 H中的完全標準正交系； 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 33頁 五、可分希爾伯特空間 根據(jù)前面的討論， L2[?, ?]上的確存在至多可列的完全標準正交系。事實上，這個結(jié)論與可分的希爾伯特空間也是成立的。 定理 15 (H可分的充要條件 — 完全標準正交系的存在性 ) H是可分的希爾伯特空間 ?H有至多可列的完全標準正交系 {en}. 定理 16 (可分希爾伯特空間的同構(gòu)性 ) (1) 任意有限維可分的希爾伯特空間必與 Rn同構(gòu)； (2) 任意無限維可分的希爾伯特空間必與 l 2同構(gòu)。 證 H是可分 ?存在 H的完全標準正交系 {e1,e2,… en}或 {e1,e2,… en,…} . 作映像 ? : H?Rn（ 或 l 2） ,? (x)=(x,e1,x,e2,…, x,en)（ 或 ? (x)=(x,e1,x,e2,…, x,en,…) ） ?? 是一一 映像且 保持線性運算和內(nèi)積不變，即 H與 Rn(或 l 2） 同構(gòu) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 34頁 注 : (1)歐式空間 Rn任可以看作是有限維可分的希爾伯特空間的模型； (2) l 2空間可以看作是無限維可分的希爾伯特空間的模型。 (3) 對可分的希爾伯特空間的研究可以轉(zhuǎn)化為對 Rn或 l 2的研究，要研究某可分的希爾伯特空間中的函數(shù)，只要研究該函數(shù)的傅立葉系數(shù)就夠了。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 35頁 演講完畢，謝謝觀看！
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