5內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)(ppt34頁)(已改無錯(cuò)字)
2023-01-29 18:52:49 本頁面
【正文】 nmnmeenm(2) 設(shè) {en}?H, 若 則稱 {en}是 H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 22頁 2 正交的性質(zhì) 例如 (1) i, j, k 是 R3中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 , .. .}co s1,co s1, .. .,si n1,co s1,21{ ntnttt ?????是 L2[?, ? ] 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 (3) e1=(1,0,…,0,0,0 ,… ), e2=(0,1,…,0,0,0 ,… ),…, en=(0,0,…,0,1,0 ,… ) 定理 4 (勾股定理 的推廣 )設(shè) H是內(nèi)積空間，若 {x1,x2,..,xn}?H是正交系 ，則 ||x1+x2+…+ xn||2=||x1||2+ ||x2||2+…|| xn||2 (2) 是 l 2 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 23頁 定理 7 設(shè) H是內(nèi)積空間，若 M={e1,e2,..,en,… }?H是標(biāo)準(zhǔn)正交系 ,則{e1,e2,…, en,…} 是線性獨(dú)立系，即 {e1,e2,..,en,… }中的任何有限組是線性無關(guān)的。 證 ?n, 令 ?1e1+…+ ?nen= 0 ??1e1+…+ ?nen, ej = 0 ??jej,ej =?j = 0 ?e1,…,e n線性無關(guān) ?{e1,…,e n,… }是線性獨(dú)立系。 定理 8 (GramSchmidt正交化定理 )設(shè) H是內(nèi)積空間 ,{x1,x2,..,xn,…} ?H是 H中任一個(gè)線性獨(dú)立系 ,則可將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 24頁 定理 8 設(shè) H是內(nèi)積空間， {e1,e2,..,en,…} ?H是標(biāo)準(zhǔn)正交系， 記 Mn=span{e1,…, en}. 即為 x在 Mn上的正交投影。 .||||in f),(|||||||||||| 222 yxMxxxxxnMynnn?????? ??2212 |,||,||||| ??????? nn exexx ?(2) 若 , 11 nnnn MeexeexxXx ?????????? ?則 （最佳逼近定理） , 11 nnnn MeexeexxXx ?????????? ?(3) ,nn Mxx ??(1) 若 ,11 nneex ?? ??? ? 。, ??? ii ex?則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 25頁 ?y?Mn?xny?Mn?xxn?xny 證 (1) x,ei =?1e1+…+ ?nen, ei =?iei,ei =?i (2) 顯然 xn=x,e1e1+…+ x,enen? Mn, xn,ei=x,ei ei,ei=x,ei (i=1,2,…, n) ? xxn?Mn ?xxn,e1,…, en兩兩正交 , 且 xxn?xn. ? xxn ,ei=0 (i=1,2,…,n ). ? ||xn||2=||x,e1e1+…+ x,enen||2 =||x,e1e1||2 +…+|| x,enen||2=|x,e1|2+…+| x,en|2 ? ||x||2=||(xxn)+xn||2=||xxn||2+||xn||2 ?||xxn||2= ||x||2 ||xn||2 ),(||||in f|||| 2 nMyn Mxyxxxn????? ?? ? ||xy||2=||(xxn)+(xny) ||2=||xxn||2+||xny||2?||xxn||2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 26頁 定理 9 (貝塞爾 (Bessel)不等式 )設(shè) H是內(nèi)積空間 ,{e1,e2,..,en,…} ?H 是標(biāo)準(zhǔn)正交系，則 ?x?H, 有 ??????122,ii xex證 由定理 8有 , xn=x,e1e1+…+ x,enen , ?x?H, ||x||2=||xxn||2+||xn||2 ? ||xn||2 =||x||2||xxn||2?||x||2 ? |x,e1|2+…+| x,en|2?||x||2 ? |x,e1|2+…+| x,en|2+… ?||x||2 (n??) 推論 設(shè) H是內(nèi)積空間 ,{e1,e2,..,en,…} ?H是標(biāo)準(zhǔn)正交系 ,則 ?x?H, 有 .0,l i m ?????? nn ex 證 根據(jù)定理 9，級(jí)數(shù) ?|x,en|2收斂 ? .0,lim ?????? nn ex機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 27頁 3 內(nèi)積空間中的傅立葉級(jí)數(shù) 定義 8(Fourier級(jí)數(shù) )設(shè) H是內(nèi)積空間 ,{en} (n=1,2,…) 是 H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系 , x?H,則稱 =x,en (n=1,2,…) 為 x關(guān)于 {en}的 Fourier系數(shù) ,而稱 ?? ???????11,nnnnnn eexec為 x關(guān)于 {en}的 Fourier級(jí)數(shù)。記作 注： 1) ?x?H, x的 Fourier系數(shù) =x,en(n=1,2,…) 滿足 Bessel不等式 2) 微積分學(xué)中的 Fourier級(jí)數(shù)是 L2[a,b]上元素 x關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交系 ],[,..
電大資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1