5內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)(ppt34頁)-閱讀頁
2025-01-20 18:52本頁面
【正文】 ||xn||2=||x,e1e1+…+ x,enen||2 =||x,e1e1||2 +…+|| x,enen||2=|x,e1|2+…+| x,en|2 ? ||x||2=||(xxn)+xn||2=||xxn||2+||xn||2 ?||xxn||2= ||x||2 ||xn||2 ),(||||in f|||| 2 nMyn Mxyxxxn????? ?? ? ||xy||2=||(xxn)+(xny) ||2=||xxn||2+||xny||2?||xxn||2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 26頁 定理 9 (貝塞爾 (Bessel)不等式 )設(shè) H是內(nèi)積空間 ,{e1,e2,..,en,…} ?H 是標(biāo)準(zhǔn)正交系，則 ?x?H, 有 ??????122,ii xex證 由定理 8有 , xn=x,e1e1+…+ x,enen , ?x?H, ||x||2=||xxn||2+||xn||2 ? ||xn||2 =||x||2||xxn||2?||x||2 ? |x,e1|2+…+| x,en|2?||x||2 ? |x,e1|2+…+| x,en|2+… ?||x||2 (n??) 推論 設(shè) H是內(nèi)積空間 ,{e1,e2,..,en,…} ?H是標(biāo)準(zhǔn)正交系 ,則 ?x?H, 有 .0,l i m ?????? nn ex 證 根據(jù)定理 9，級數(shù) ?|x,en|2收斂 ? .0,lim ?????? nn ex機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 27頁 3 內(nèi)積空間中的傅立葉級數(shù) 定義 8(Fourier級數(shù) )設(shè) H是內(nèi)積空間 ,{en} (n=1,2,…) 是 H中的標(biāo)準(zhǔn)正交系 , x?H,則稱 =x,en (n=1,2,…) 為 x關(guān)于 {en}的 Fourier系數(shù) ,而稱 ?? ???????11,nnnnnn eexec為 x關(guān)于 {en}的 Fourier級數(shù)。 ?????1,~nnn eexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 28頁 3) ?x?H, x的 Fourier系數(shù) =x,en (n=1,2,…) 是平方可和的， 即 {}?l 2. 問題 ： 由定理 8 可知，對 ?x?H, 及任何 n,xn=x,e1e1+…+ x,enen 到 x的距離最小，那么當(dāng) n??時(shí)， xn是否收斂于 x呢？ 即 x的 Fourier級數(shù) x,e1e1+…+ x,enen+… 是否收斂于 x？或者說 x能否展開成傅立葉級數(shù)？ 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 29頁 4 內(nèi)積空間中的傅立葉級數(shù)的收斂性 定理 11(Fourier級數(shù)收斂的充要條件 ) 設(shè) {en}是內(nèi)積空間 H的標(biāo)準(zhǔn)正交系 ,x?H,則 x關(guān)于 {en}的 Fourier級數(shù)收斂于 x的充要條件是成立巴塞弗 (Parseval)等式： ??????122,ii xex證 由定理 8知 ,若 ?x?X, 取 xn=x,e1e1+…+ x,enen,則 xxn?xn,且 222nn xxxx ??????????????????122222 ,li m0)(li miinnnn exxxxx,122 ?????niin exx 0,lim0limlim1????????? ????????ninnnnnn exxxxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 30頁 問題： 對于 n維歐氏空間而言，如果基向量的個(gè)數(shù)小于 n,則空間中的一些向量就無法用這些基向量線性表示。此時(shí)不能保證 Parseval等式成立，而只有Bessel不等式成立。 對于一般的無限維內(nèi)積空間，也只有當(dāng)基選完全時(shí)，才能保證 Parseval等式成立，從而使得空間中的任何元素都能由這組完全的基線性表示，其傅立葉級數(shù)才能收斂于自身，或者說， H中的任何元素都可以展開成傅立葉級數(shù)。 , .. .}co s1,co s1, .. .,si n1,co s1,21{ ntnttt ?????是 L2[?, ?]中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 32頁 ??????1,nnn eexx(4) ?x?H, Parseval等式成立。},2,1|s p an { )2( Hnen ?? ?(1) {en}是 H中的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系； 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 33頁 五、可分希爾伯特空間 根據(jù)前面的討論， L2[?, ?]上的確存在至多可列的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系。 定理 15 (H可分的充要條件 — 完全標(biāo)準(zhǔn)正交系的存在性 ) H是可分的希爾伯特空間 ?H有至多可列的完全標(biāo)準(zhǔn)正交系 {en}. 定理 16 (可分希爾伯特空間的同構(gòu)性 ) (1) 任意有限維可分的希爾伯特空間必與 Rn同構(gòu)； (2) 任意無限維可分的希爾伯特空間必與 l 2同構(gòu)。 (3) 對可分的希爾伯特空間的研究可以轉(zhuǎn)化為對 Rn或 l 2的研究，要研究某可分的希爾伯特空間中的函數(shù)，只要研究該函數(shù)的傅立葉系
電大資料相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1