5內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)(ppt34頁)-在線瀏覽
2025-02-11 18:52本頁面
【正文】 x?H在 M中存在唯一的正交投影 x0, 使得 x =x0+x1 (其中 x1?M?). ??{yn}?M, 使得 ||ynx||?d (n??) (下確界定義 ) 證 ?x?H, 令 x到 M的距離 0||||i n f),( ???? ? yxMxd My?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 15頁 M是 H的線性子空間 ??ym,yn?M,有 ?0 ? ||ymyn||2 = ||(ymx)+(xyn)||2 = ||(ymx)+(xyn)||2+||(ymx)(xyn)||2||(ymx)(xyn)||2 = 2||ymx||2+2||xyn||2||(ym+ yn)2x||2 (平行四邊形公式 ) ? 2||ymx||2+2||xyn||24d 2?0 (m,n??) dxyyMyy nmnm ?????? 222) 證明 {xn}在 M中收斂 1) 證明 {yn}是基本列 M 是 Hilbert空間的閉線性子空間 ?M是完備的 ??x0?M, 使 yn?x0 ,||ynx||?||x0x|| (n??) ?{xn}是基本列 0||||in f|||| 0 ????? ? yxxxd My? 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 16頁 3) 證明 x0 是 x在 M中的正交投影 記 x1=xx0, ?z?M, z??, ???C ?x0+?z?M 特取 2 020,zxxzzzxx ????????? ??2202302023 ||||||,||||||)(|||||| zzxxxxzxxzxxxx ???? ???????????0||||||, 2200 ?????? zzxxxxz ???4) 證明 x0 是唯一的，從而上述正交分解式也是唯一的 0|,|0|,| 020 ?????? zxxxxzzxxzxx ?????? 00 0,1001 xxxMxxx ??????? ?設(shè) 是 x在 M上的兩個正交投影，則 00,xx ? .,0|||| 00100 xxxxx ??????機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 17頁 注 ： 1)由定理的證明過程易知 ,只要 M是 H的完備子空間 ,而 H本身不完備 ,定理結(jié)論也成立 .從而上述正交分解式也唯一 . 2) 設(shè) {en}是內(nèi)積空間 H的標(biāo)準(zhǔn)正交系 , x?H, {ck}={x,ek}, 則 ??????? nkkknkkk execx11?即對任何數(shù)組 ?1, ?2,…, ?n,有 ???????? nkkknkkk eexecx110 ,是 x在內(nèi)積空間 H上的正交投影 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 18頁 2 正交投影的應(yīng)用 —— 最佳逼近問題 (1)最佳逼近問題的一般提法 :設(shè) H是 Hilbert空間 ,x, x1, x2, …, x n?H, 要求尋找出 n個數(shù) ?1,?2,…, ?n, 使得 ??????? nkkknkkk xxxx n1), . .. ,(1 1m i n ?? ??即要求出 }, . . .,{ 2110 nnkkk xxxsp a nxx ????? 使得 ||xx0||最小。這是解析幾何的基礎(chǔ)。 ????????. ,1。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 22頁 2 正交的性質(zhì) 例如 (1) i, j, k 是 R3中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 (3) e1=(1,0,…,0,0,0 ,… ), e2=(0,1,…,0,0,0 ,… ),…, en=(0,0,…,0,1,0 ,… ) 定理 4 (勾股定理 的推廣 )設(shè) H是內(nèi)積空間，若 {x1,x2,..,xn}?H是正交系 ，則 ||x1+x2+…+ xn||2=||x1||2+ ||x2||2+…|| xn||2 (2) 是 l 2 中的標(biāo)準(zhǔn)正交系。 證 ?n, 令 ?1e1+…+ ?nen= 0 ??1e1+…+ ?nen, ej = 0 ??jej,ej =?j = 0 ?e1,…,e n線性無關(guān) ?{e1,…,e n,… }是線性獨立系。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 24頁 定理 8 設(shè) H是內(nèi)積空間， {e1,e2,..,en,…} ?H是標(biāo)準(zhǔn)正交系， 記 Mn=span{e1,…, en}. 即為 x在 Mn上的正交投影。, ??? ii ex?則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 25頁 ?y?Mn?xny?Mn?xxn?xny 證 (1) x,ei =?1e1+…+ ?nen, ei =?iei,ei =?i (2) 顯然 xn=x,e1e1+…+ x,enen? Mn, xn,ei=x,ei ei,ei=x,ei (i=1,2,…, n) ? xxn?Mn ?xxn,e1,…, en兩兩正交 , 且 xxn?xn. ? xxn ,ei=0 (i=1,2,…,n ). ?
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